排列與組合二

排列與組合（二）四、解定序問題一一采用除法對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)，這其實就是局部有序問題，利用除法來“消序”.例1：由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)小于十位數(shù)字的共有（A.210個B.300個C.464個D.600個簡析：若不考慮附加條件，組成的六位數(shù)共有個，而其中個位數(shù)字與十位數(shù)字的藥種排法中只有一種符合條件，故符合條件的六位數(shù)共曲尋A*=300個，故選B例2：信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是 ^分析：5面旗全排列有種掛法，由于3分析：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故共有不同的信號種數(shù)是=10（種）說明：此題也可以用組合來解，只需5個位置中確定3個，即^=10例3：有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到4「I，

A4「I，

A-TTP種排法，剩余的3個位分析：先在7個位置上任取4個位置排男生，-4置排女生，因要求“從矮到高”，只有一種排法，故共有白］=840種.在處理分堆問題時，有時幾堆中元素個數(shù)相等，這時也要用除法，

例4：不同的鋼筆12支，分3堆，一堆6支，另外兩堆各3支，有多少種分法?解：若3堆有序號，則有2.弓，但考慮有兩堆都是3支，無須區(qū)別，故共有席’°；/^=9240種.例5：把12支不同的鋼筆分給3人，一人得6支，二人各得3,有幾種分法？解：先分堆：有3-22解：先分堆：有3-22A/33A?7_'_rl-雋本題亦可用“選位，'2；/白號種.再將這三堆分配給三人，有曳3種。共有*；.種.選項法”，即：^匚1衛(wèi)％=3匚口％.五、解“小團體”排列問題一一采用先整體后局部策略對于“小團體”排列問題，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內(nèi)部的排列.例1:三名男歌唱家和兩名女歌唱家聯(lián)合舉行一場音樂會，演出的出場順序要求兩名女歌唱家之間恰有一名男歌唱家，其出場方案共有（）A.36種B.18種C.12種D.6種簡析：按要求出場順序必須有一個小團體“女男女”，因此先在三名男歌唱家中選一名（有世種選法）與兩名女歌唱家組成一個團體，將這個小團體視為一個元素，與其余2名男歌唱家排列有種排法。最后小團體內(nèi)2名女歌唱家排列有藥種排法，所以共有留啟藥=36種出場方案，選A六、解含有約束條件的排列組合問題 采用合理分類與準確分步的策略解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連貫過程分步，做到分類標準明確、分步層次清楚，不重不漏.例1:平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有個.簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步.先在4條平行線中任取兩條，有二；種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有種取法.這樣取出的四條直線構(gòu)成一個矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有°：?'：=60個.例2：在正方體的8個頂點，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數(shù)是多少？解：依題意，共線的三點組可分為三類：兩端點皆為頂點的共線三點組共有日'誨 6勺2=28（個）；兩端點皆為面的中心的共線三點組共有上=3（個）；兩端點1脂3皆為各棱中點的共線三點組共有K=18（個）.所以總共有28+3+18=49個.例3：某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)分）.每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止?求第4只次品在第五次被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？解：先考慮第五次測試的產(chǎn)品有4種情況，在前四次測試中包含其余的3只次品和1只正品，它們排列的方法數(shù)是6婦。依據(jù)乘法原理得所求的不同情形有4X6婦=576種.七、解排列組臺混合問題一一采用先選后排對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進行排列的策略.例1：3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護土，不同的分配方法共有（）A.90種B.180種C.270種D.540種分析：（二）第一步：先將6名護士分配到3所不同學校，每所學校2名，則有弓（種）分法.第二步：再將3名醫(yī)生分配到3所不同的學校，每所學

校1人，種分法.校1人，種分法.33

A有共故'-■i54[-'"2=540(種)故選(D)例2：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有種.簡析：這是一個排列與組合的混合問題.因恰有一個空盒，所以必有一個盒子要放2個球，故可分兩步進行：第一步選，從4個球中任選2個球，有種選法。從4個盒子中選出3個，有席種選法；第二步排列，把選出的2個球視中33A為一個元素，與其余的2個球共3個元素對選出的3個盒子作全排列，有排法.所以滿足條件的放法共有席駕啟中33A八、正難則反、等價轉(zhuǎn)化策略對某些排列組合問題，當從正面入手情況復雜，不易解決時，可考慮從反面入手，將其等價轉(zhuǎn)化為一個較簡單的問題來處理.即采用先求總的排列數(shù)（或組合數(shù)），再減去不符合要求的排列數(shù)（或組合數(shù)），從而使問題獲得解決的方法.其實它就是補集思想.例1：馬路上有編號為1、2、3、…、9的9只路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有種.簡析：關(guān)掉一只燈的方法有7種，關(guān)第二只、第三只燈時要分類討論，情況較為復雜，換一個角度，從反面入手考慮.因每一種關(guān)燈的方法唯一對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與暗燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為在6只亮燈中插入3只暗燈，且任何兩只暗燈不相鄰、且暗燈不在兩端，即從6只亮燈所形成的5個間隙中選3個插入3只暗燈，其方法有二；=10種。故滿足條件的關(guān)燈的方法共有10種.例2：有2個a,3個b,46c共九個字母排成一排，有多少種排法?分析：若將字母作為元素，1—9號位置作為位子，那么這是一個“不盡相異元素的全排列”問題，若轉(zhuǎn)換角色，將1—9號位置作為元素，字母作為位子，那么問題便轉(zhuǎn)化成一個相異元素不許重復的組合問題.即共有&。匚=1260(種)不同的排法.例3：從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種.解：從這10個數(shù)中取出3個不同的偶數(shù)的取法有宜種；取1個偶數(shù)和2個奇數(shù)的取法有?雋種.另外，從這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為小于10的偶數(shù)，有9種不同取法.因此，符合題設(shè)條件的不同取法有^^^-9=51九、隔板法例1：某校準備組建一個18人的足球隊，這18人由高一年級10個班的學生組成，每個班級至少1人，名額分配方案共有種.簡析：構(gòu)造一個隔板模型.如圖，取18枚棋子排成一列，在相鄰的每兩枚棋子形成的17個間隙中選取9個插入隔板，將18枚棋子分隔成10個區(qū)間，第i(1WiW10)個區(qū)間的棋子數(shù)對應(yīng)第i個班級學生的名額，因此名額分配方案的種數(shù)與隔板插入數(shù)相等。因隔板插入數(shù)為‘％，故名額分配方案有‘％=24310種.例2：將組成籃球隊的12個名額分給7所學校，每所學校至少1個名額，問名額分配方法有多少種？解：將問題轉(zhuǎn)化成一把排成一行的12個0分成7份的方法數(shù)，這樣用6塊閘板插在11個間隔中，共有駕=462種