河北省高三模擬演練（三）數(shù)學試題

2022屆河北省高三模擬演練（三）數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接按照補集和并集運算即可.【詳解】由題意知：，.故選：B.2．復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由對應點位于第一象限及求出，再由復數(shù)的除法求解即可.【詳解】由題意知：，，解得或（舍去），故.故選：D.3．有一道民間源自于《孫子算法》的題目，筐內雞蛋若干，三三數(shù)之余一，五五數(shù)之余二，….若已知該筐最多裝200個雞蛋，則筐內雞蛋總數(shù)最多有（

）A．184 B．186 C．187 D．188【答案】C【分析】設筐內雞蛋為個，則，依次檢驗4個選項即可.【詳解】設筐內雞蛋為個，則，對于A，，解得，不合題意，錯誤；對于B，，解得，不合題意，錯誤；對于D，，解得，不合題意，錯誤；對于C，，解得，，解得，符合題意，正確.故選：C.4．已知無解，為增函數(shù)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分別由無解和為增函數(shù)解出的范圍，即可判斷.【詳解】由無解可得，解得；由為增函數(shù)可得，解得，故p是q的充要條件.故選：C.5．曲線在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】即求曲線在(0,f(0))處的導數(shù).【詳解】，.故選：B.6．如圖，在直角梯形中，，點M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，求出以為直徑的圓的方程，借助三角函數(shù)設出，由求出，表示出，進而由輔助角公式結合三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】如圖，以為原點建立直角坐標系，設中點為，易得，則中點，，故以為直徑的圓的方程為，過作軸平行線交軸于，交半圓于，則，設，則，又，故，則，其中，顯然當時，取最大值.故選：D.7．已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為右支上一點，的內切圓圓心為Q，直線交x軸于點N，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由切線長定理及雙曲線的定義求得點橫坐標為，再由直線的方程求出，再借助求得，進而求得，在，由雙曲線的定義及余弦定理即可求出.【詳解】如圖，設內切圓Q與的三邊分別切于三點，過作軸于點，易得，又由雙曲線定義得，即，又，故，即點橫坐標為，又，則，故直線的方程為，代入，解得，即，又，則，故，又，則，，在中，由余弦定理得，即，化簡得，即，解得或，又離心率大于1，故離心率為.故選：A.8．已知一組數(shù)據(jù)：，則下列各數(shù)與的差的絕對值最小的是（

）【答案】C【分析】由以及解出的范圍即可求解.【詳解】由可得，解得，由可得，解得，故的差的絕對值最小.故選：C.二、多選題9．將一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，中位數(shù)和平均數(shù)均為a，方差為，從中去掉第6項，從小到大排列為：，方差為，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．的中位數(shù)為aC．的平均數(shù)為a D．【答案】AC【分析】由中位數(shù)的定義即可判斷A、B選項；由平均數(shù)的定義即可判斷C選項；由方差的定義即可判斷D選項.【詳解】由的中位數(shù)和平均數(shù)均為a，可知，，故A正確；的中位數(shù)為，不一定等于，故的中位數(shù)不一定為a，B錯誤；，故的平均數(shù)為a，C正確；，由于，故，故，D錯誤.故選：AC.10．已知函數(shù)，則（

）A．將的圖象向左平移個單位可得的圖象B．將的圖象向右平移個單位可得的圖象C．在區(qū)間上，方程的所有解的和為D．在區(qū)間上不單調【答案】BCD【分析】A、B選項由函數(shù)的平移變換即可判斷；C選項結合圖像及正弦函數(shù)的對稱性即可判斷；D選項由正弦函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】對于A，，錯誤；對于B，，正確；對于C，當時，，結合圖像知有兩解，且兩解關于對稱，故兩解之和為，故C正確；當時，，，故在區(qū)間上不單調，D正確.故選：BCD.11．已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】直接利用基本不等式即可判斷ACD，由，可得，整理即可判斷B.【詳解】解：對于A，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，所以，即，故B正確；對于C，，當且僅當，即時取等號，故C正確；對于D，，當且僅當且，即時取等號，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間上單調遞增B．當時，取最小值C．對為增函數(shù)D．對【答案】ACD【分析】直接求導確定函數(shù)單調遞增，即可判斷A、B選項；求導由即可確定C選項；由導函數(shù)和原函數(shù)在上均為增函數(shù)，結合函數(shù)圖像即可判斷D選項.【詳解】易知定義域為，，故在區(qū)間上單調遞增，A正確；無最小值，B錯誤；當時，，易得，則，即，故為增函數(shù)，C正確；當時，，令，易得為增函數(shù)，即在為增函數(shù)，又在為增函數(shù)，故函數(shù)為“上凹”函數(shù)，結合圖像可知，D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知，則___________.【答案】【分析】將已知兩式平方相加，結合兩角和的正弦公式即可求得答案.【詳解】由于，故，兩式相加得：，故，即，故答案為：14．疫情期間，某醫(yī)院的7名護士要派往甲?乙兩個檢測點，每個檢測點至少2人，則不同的分派方式共有___________種.(用數(shù)字回答)【答案】112【分析】先將7名護士分成2組,再將兩組分配到兩個檢測點【詳解】先將7名護士分成2組，每組至少2人，則可分為（2，5）（3，4）兩種情況，故共有種分組方式，再將兩組分配到兩個檢測點，由種方式故分派方式共有56×2=112種.故答案為：112.15．已知拋物線的焦點為F，A，B為拋物線C上在第一象限的兩點，記直線與直線的斜率分別為與，且，則直線恒過定點___________.【答案】【分析】設出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，由求得，即可求出定點坐標.【詳解】易知直線的斜率必存在且不為0，設直線，聯(lián)立拋物線得，，，又，則，，，則，又，解得，故直線，恒過定點.故答案為：.16．如圖，在正三棱柱中，與平面所成的角為，則該三棱柱外接球的表面積為___________.【答案】【分析】因為是正三棱柱，所以外接球球心O在上下底面中心O1O2連線的中點，即外接球的半徑R=OA1，計算即得.【詳解】如圖，取BC的中點M，連結A1M，AM，因為是正三棱柱，所以球心O在上下底面中心O1O2連線的中點，即外接球的半徑R=OA1，又因為與平面所成的角為，所以AA1與平面所成的角為，又因為是正三棱柱，所以∠AA1M=45°，所以，所以所以外接球面積為.故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列滿足.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）直接由得，又，即可證明是等比數(shù)列；（2）先由等比數(shù)列通項公式求出，進而求得，按照分組求和和等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】(1)由可得，故，又，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；(2)由（1）知：，則，故，則.18．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求C；(2)若邊上的中線長為4，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理將已知的式子統(tǒng)一成邊的形式，化簡后，再利用余弦定理可求出角C；（2）在和中分別利用余弦定理可得，再結合（1）中的，可得，然后利用基本不等可得，再由三角形的面積公式可求出其最大值【詳解】(1)因為，所以由余弦定理得，，，，整理得，，因為，所以，所以由余弦定理得，因為，所以，(2)因為邊上的中線長為4，所以，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，，因為，所以，所以，即，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為，19．某班有男?女生各25人，某次數(shù)學考試成績分布如下表：成績男生345733女生266731(1)若不低于130分為優(yōu)秀，則從全班同學中任意抽取3人，記X為成績優(yōu)秀的同學人數(shù)，求X的分布列；(2)補充列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關系？性別是否優(yōu)秀合計數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀男生女生合計附：，其中.【答案】(1)答案見解析.(2)不能認為數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關系.【分析】（1）根據(jù)題意的取值為0、1、2、3，逐項計算概率，列出分布列.（2）填寫列聯(lián)表，計算的值，對照附表得出結論.【詳解】(1)解：由表中可知，數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)秀的同學總數(shù)為10名，數(shù)學成績非優(yōu)秀的同學總數(shù)為40名，在全班同學中任意抽取3人，故的取值為0、1、2、3.,,,.故X的分布列為：0123(2)解：根據(jù)成績分布表，補全列聯(lián)表，如下：性別是否優(yōu)秀合計數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀男生61925女生42125合計104050則：，所以不能認為數(shù)學成績優(yōu)秀與性別有關系.20．如圖，在圓臺中，上底面圓的半徑為2，下底面圓O的半徑為4，過的平面截圓臺得截面為，M是弧的中點，為母線，.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由，可求得圓臺的高，進而由坐標計算可證；（2）由坐標計算可得平面MBN的法向量為，平面ABN的法向量為，根據(jù)夾角公式可求得二面角的余弦值，進而得到正弦值.【詳解】(1)如圖建立空間直角坐標系，

設OO1的長度為t，則，，，，，，由題知，解得∴，，，∴，∴又∵，OM，OA1在平面內所以平面；(2)設平面MBN的法向量為，平面ABN的法向量為，則，∴，∴設二面角為銳二面角，∴，∴故二面角的正弦值為.21．已知為R上的增函數(shù).(1)求a；(2)證明：若，則.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）直接求導，由在R上恒成立，當時不成立，當時，由解出即可；（2）由單調遞增得，構造函數(shù)，求導確定單調性，求得即可證明.【詳解】(1)由題意知：在R上恒成立，當時，，顯然當時，，不合題意；當時，令得，當且僅當，即，時，在R上恒成立，故.(2)由（1）知，，由可得，又為R上的增函數(shù)，則，則，令，則，又，故當時，單減，當時，單增，故，即，即，即.22．已知橢圓的左，右焦點分別為，右頂點為A，M，N是橢圓上關于原點對稱且異于頂點的兩點，記直線與直線的斜率分別為，且.(1)求C的方程；(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點，記直線與直線的斜率分別為且，證明：直線l恒過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）設出，由斜率