第4章交通流理論

交通工程學(xué)（第4章交通流理論）

第一頁，共四十頁。4.1概述（了解）4.2交通流的統(tǒng)計分布特性（理解）4.3排隊論模型（理解）4.4跟馳模型（理解）4.5流體模型（熟練掌握）第4章交通流理論第二頁，共四十頁。交通流理論是交通工程學(xué)的基本理論，是借助于物理、數(shù)學(xué)的定律與方法來闡明交通流基本特性的一種理論。4.1概述第三頁，共四十頁。4.2.1交通流統(tǒng)計分布的含義4.2.2離散型分布4.2.3連續(xù)性分布4.2交通流的統(tǒng)計分布特性第四頁，共四十頁。車輛的到達(dá)在某種程度上具有隨機性，描述這種隨機性的統(tǒng)計規(guī)律的方法稱為交通流的統(tǒng)計分布。離散型分布：考察在一段固定長度的時間內(nèi)到達(dá)某場所的交通數(shù)量或一定距離內(nèi)分布的交通數(shù)量的波動性。

信號周期內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)。連續(xù)型分布：描述事件之間時間間隔的連續(xù)型分布為工具，研究事件發(fā)生的間隔時間或距離的統(tǒng)計分布特性。車頭時距分布、速度分布和可穿越空檔分布。

4.2.1交通流統(tǒng)計分布的含義第五頁，共四十頁。4.2.2離散型分布4.2.2.1泊松分布4.2.2.2二項分布第六頁，共四十頁。4.2.2.1泊松分布（1）基本公式，k＝0，1，2，…

Pk—在計數(shù)間隔t內(nèi)到達(dá)k輛車或k個人的概率；λ—單位時間間隔的平均到達(dá)率（輛/s或人/s）；t—每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間（s）。若令m=λt為計數(shù)間隔t內(nèi)平均到達(dá)的車輛（人）數(shù)，則，當(dāng)m為已知時，可求出在計數(shù)間隔t內(nèi)恰好有k輛車（人）到達(dá)的概率。第七頁，共四十頁。4.2.2.1泊松分布（續(xù)）（2）遞推公式：，（3）適用條件：車流密度不大，車輛間相互影響較弱，其他外界干擾因素基本上不存在，即車流是隨機的。（4）泊松分布的均值M和方差D都等于λt，而觀測數(shù)據(jù)的均值m和方差S2均為無偏估計，因此，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)表明S2/m顯著地不等于1.0時，就是泊松分布不合適的表示。m—在某一給定時間間隔周期內(nèi)到達(dá)車輛的平均數(shù)；S2—各車輛到達(dá)數(shù)與均值之差的平方和的平均數(shù)。第八頁，共四十頁。4.2.2.1泊松分布（續(xù)）例4-1某路段每小時有120輛車通過，假設(shè)車輛到達(dá)服從泊松分布，問在指定的某一分鐘內(nèi)有3輛車通過的概率是多大，而一分鐘內(nèi)不超過3輛車的概率又是多大。（5）應(yīng)用舉例例4-2某信號燈交叉口的周期C=97s,有效綠燈時間g=44s,在有效綠燈時間內(nèi)排隊的車流以S=900（輛/h）的交通量通過交叉口，在有效綠燈時間外到達(dá)的車輛要停車排隊。設(shè)信號燈交叉口上游車輛的到達(dá)率q=369（輛/h），服從泊松分布公式中，求到達(dá)車輛不致二次排隊的周期數(shù)占周期總數(shù)的最大百分率。第九頁，共四十頁。4.2.2.1泊松分布（續(xù)）例4－2解：一個周期內(nèi)能通過的最大車輛數(shù)A＝gS＝900×44/3600＝11輛，當(dāng)某周期到達(dá)的車輛數(shù)N?11輛時，則最后到達(dá)的（N-11）輛車就不能在本周期內(nèi)通過而發(fā)生二次排隊。在泊松分布中，一個周期內(nèi)平均到達(dá)的車輛數(shù)m=λt＝369×97/3600＝9.9輛。則可能到達(dá)車輛數(shù)大于11輛的周期出現(xiàn)的概率為即到達(dá)車輛不致兩次排隊的周期數(shù)最多占71％。第十頁，共四十頁。4.2.2.2二項分布（1）基本公式：，k＝0，1，2，…Pk—在計數(shù)間隔t內(nèi)到達(dá)k輛車或k個人的概率；λ—單位時間間隔的平均到達(dá)率（輛/s或人/s）；t—每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間（s）或距離（m）；n—觀測次數(shù)，正整數(shù)。通常記，則二項分布為：第十一頁，共四十頁。4.1.2.2二項分布（續(xù)）（2）遞推公式：（3）適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流。（4）分布的均值M和方差D分別為M=np，D=np(1-p)，顯然有M>D。用觀測數(shù)據(jù)計算出來的樣本均值m和方差S2代替M和D，當(dāng)S2/m顯著大于1.0時，就是二項分布不適的表示。第十二頁，共四十頁。4.2.3連續(xù)型分布4.2.3.1負(fù)指數(shù)分布4.2.3.2移位負(fù)指數(shù)分布第十三頁，共四十頁。4.2.3.1負(fù)指數(shù)分布（1）

基本公式：P(h>t)——到達(dá)的車頭時距h大于t秒的概率；λ——車流的平均到達(dá)率(輛/s)。推導(dǎo)：由可知，在計數(shù)間隔t內(nèi)沒有車輛（k＝0）到達(dá)的概率，這表明，在具體的時間間隔t內(nèi)，無車輛到達(dá)，則上次車到達(dá)和下次車到達(dá)之間，車頭時距至少有t，即。第十四頁，共四十頁。4.2.3.1負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）（2）負(fù)指數(shù)分布的均值M和方差D分別為M=1/λ，D=1/λ2，用樣本均值m代替M、樣本的方差S2代替D，既可算出負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)λ

。（3）適用條件：用于描述有充分超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時距分布，它常與計數(shù)的泊松分布相對應(yīng)。（4）負(fù)指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是單降的，車頭時距越短，其出現(xiàn)的概率越大，但車頭時距至少有一個車長，所以車頭時距必有一個大于零的最小值τ。第十五頁，共四十頁。4.2.3.1負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）（5）應(yīng)用舉例例4－3某交通流屬泊松分布，已知交通量為1200輛/h，求：a)車頭時距t≥5s的概率；b）在1小時內(nèi)，車頭時距t＞5s所出現(xiàn)的次數(shù)；c）車頭時t>5s時車頭間隔的平均值。第十六頁，共四十頁。4.2.3.2移位負(fù)指數(shù)分布（1）基本公式為克服負(fù)指數(shù)分布的車頭時距趨近于零其頻率出現(xiàn)愈大這一缺點，可將負(fù)指數(shù)分布曲線從原點O沿t向右移一個最小間隔長度τ，得到移位負(fù)指數(shù)分布曲線：τ—大于零的一個最小車頭時距，一般在1.0～1.5s之間。（2）移位負(fù)指數(shù)分布的均值M和方差D分別為M=1/λ+τ

，D=1/λ2，用樣本均值m代替M、樣本的方差S2代替D，則可算出移位負(fù)指數(shù)分布的參數(shù)λ和τ。第十七頁，共四十頁。4.2.3.2移位負(fù)指數(shù)分布（續(xù)）（3）適用條件用于描述不能超車的單列車流的車頭時距分布和車流量低的車流的車頭時距分布。（4）移位負(fù)指數(shù)分布的局限移位負(fù)指數(shù)分布的概率密度函數(shù)曲線是隨t-τ單調(diào)遞降的，車頭時距愈接近τ，其出現(xiàn)的可能性愈大。這在一般情況下是不符合駕駛員的心理習(xí)慣和行車特點的。從統(tǒng)計角度看，車頭時距分布的概率密度曲線一般總是先升后降的。第十八頁，共四十頁。4.3.1基本概念4.3.2基本原理4.3.3排隊系統(tǒng)的表示4.3排隊論模型第十九頁，共四十頁。（1）排隊論：是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列(即排隊)的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論。（2）排隊：單指等待服務(wù)的車輛，不包括正在被服務(wù)的車輛。（3）排隊系統(tǒng)：既包括了等待服務(wù)的，又包括了正在被服務(wù)的車輛。（4）排隊論的應(yīng)用：電話自動交換機；車輛延誤、通行能力、信號燈配時以及停車場、加油站等交通設(shè)施的設(shè)計與管理；收費亭的延誤估計。4.3.1基本概念第二十頁，共四十頁。（1）排隊系統(tǒng)的3個組成部分輸入過程：各種類型的“顧客(車輛或行人)”按怎樣的規(guī)律到達(dá)。如定長輸入；泊松輸入；愛爾郎輸入。（到達(dá)時距符合什么樣的分布）排隊規(guī)則：指到達(dá)的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。如損失制；等待制；混合制。服務(wù)方式：指同一時刻多少服務(wù)臺可接納顧客，每一顧客服務(wù)了多少時間。如定長分布；負(fù)指數(shù)分布；愛爾朗分布。4.3.2基本原理第二十一頁，共四十頁。（2）排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)隊長和排隊長：若排隊系統(tǒng)中的顧客數(shù)為n，排隊顧客數(shù)為q，正在被服務(wù)的顧客數(shù)位s，則n=q+s。隊長是排隊系統(tǒng)提供的服務(wù)水平的一種衡量。逗留時間和等待時間：逗留時間是指一個顧客逗留在排隊系統(tǒng)中的總時間。等待時間是指從顧客到達(dá)時起到他開始接受服務(wù)時止這段時間。忙期和閑期：忙期是指服務(wù)臺連續(xù)繁忙的時期，相對應(yīng)的是閑期，這關(guān)系到服務(wù)臺的工作強度。4.3.2基本原理（續(xù)）第二十二頁，共四十頁。4.3.3排隊系統(tǒng)的表示類別輸入分布服務(wù)方式服務(wù)臺數(shù)量符號含義M—泊松或負(fù)指數(shù)分布M—負(fù)指數(shù)分布1D—定長D—定長NEk—愛爾朗分布Ek—愛爾朗分布M/M/N——泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、N個服務(wù)臺M/D/1——泊松輸入、定長服務(wù)、單個服務(wù)臺第二十三頁，共四十頁。4.4.1車輛跟馳特性分析4.4.2線形跟馳模型4.4跟馳模型第二十四頁，共四十頁。（1）跟馳理論的定義：運用動力學(xué)的方法，研究在無法超車的單一車道上車輛列隊行駛時，后車跟隨前車的行駛狀態(tài)的一種理論。（2）車輛跟馳特性分析（非自由行駛狀態(tài)的車隊）制約性：后車緊隨前車前進(jìn)。傳遞性：前車的運行狀態(tài)制約著后車的運行狀態(tài)。延遲性（滯后性）：后車運行狀態(tài)的改變在前車之后。4.4.1車輛跟馳特性分析第二十五頁，共四十頁。4.4.2線形跟馳模型在t時刻，由于前車n的減速造成后車n+1的減速，由于車輛跟馳的延遲性，后車的減速滯后了T（駕駛員的反應(yīng)時間）。在t時刻，前車和后車的位置分別為xn(t)和xn+1(t)，兩車此時的距離為S(t)=xn(t)-xn+1(t)。后車在反應(yīng)時間T內(nèi)行駛的距離。表示第i輛車在時刻t的速度。第二十六頁，共四十頁。4.4.2線形跟馳模型（續(xù)）其中為后車在時刻（t＋T）的加速度，稱為后車的反應(yīng)；為敏感度；為時刻t的刺激。所以：反應(yīng)＝敏感度×刺激。假定d2＝d3，要使在時刻t兩車的間距能保證在突然剎車事件中不發(fā)生碰撞，則有：即對t微分得：或第二十七頁，共四十頁。4.5.1理論概述4.5.2車流連續(xù)性方程4.5.3波動理論4.5.4交通波理論的應(yīng)用舉例4.5流體模型第二十八頁，共四十頁。1955年，英國學(xué)者萊脫希爾和惠特漢提出。車流波動理論的定義：通過分析車流波的傳播速度，以尋求車流流量和密度、速度之間的關(guān)系，并描述車流的擁擠——消散過程。適用條件：流體力學(xué)模擬理論假定在車流中各個單個車輛的行駛狀態(tài)與它前面的車輛完全一樣，這與實際不符，因此該模型運用于車輛擁擠路段較為合適。4.5.1理論概述第二十九頁，共四十頁。假設(shè)車輛順次通過斷面Ⅰ和Ⅱ的時間間隔為dt，兩斷面的間距為dx。同時，車流在斷面Ⅰ的流入量為q，密度為K。車流在斷面Ⅱ的流出量為（q+△q），密度為（K-△K）。4.5.2車流連續(xù)性方程根據(jù)物質(zhì)守恒定律，流入量－流出量＝△x內(nèi)車輛數(shù)的變化：

或取極限得：當(dāng)車流量隨距離而降低時，車流密度隨時間而增大。

又因為q=Kv，交通流的運動方程為第三十頁，共四十頁。車流的波動：車流中兩種不同密度的分界面經(jīng)過一輛輛車向后部傳播的現(xiàn)象。波速：車流波動沿道路移動的速度。前進(jìn)波：沿道路前進(jìn)的波，波速為正。后退波；沿道路后退的波，波速為負(fù)。集結(jié)波：波陣面過后，車流密度變大。疏散波：波陣面過后，車流密度變小。集散波：包括集結(jié)波和疏散波。4.5.3車流波動理論（1）基本概念第三十一頁，共四十頁。車隊從速度Vl、密度K1(對應(yīng)于車間距離l1)轉(zhuǎn)變到速度V2，密度K2(對應(yīng)于車間距離l2)。O為第一輛車的變速點，A為第二輛車的變速點、虛線OA的斜率就是集散波的波速。4.5.3車流波動理論（續(xù)）一個車隊中前三輛車運行的時間-空間軌跡（2）交通波的基本方程第三十二頁，共四十頁。設(shè)變速點A的時刻為t，位置為x，則在時刻0到時刻t之間，兩車車間距的變化為l2－l1，第一輛車行駛的距離為tV2，第二輛車行駛的距離為tV1，則l2－l1＝tV2－tV1，t＝（l2－l1）/（V2－V1）又因x=－l1+tV1，則可得波速公式：4.5.3車流波動理論（續(xù)）如果車流前后兩行駛狀態(tài)的流量和密度非常接近，則上式叫可演化為，這個公式是微弱波的波速公式，即車流中傳播小紊流的速度公式。（2）交通波的基本方程第三十三頁，共四十頁。4.5.3車流波動理論（續(xù)）設(shè)有一個交通波以速度w沿車道穩(wěn)定地向右傳播，波陣面s前車流密度為k1，速度為u1，波傳過后車流密度變?yōu)閗2，速度為u2。以波陣面s為界面，將看到的原車流以w—u1的速度向左流過波陣面，而以w—u2的速度從波陣面流出。假設(shè)為單車道，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在波穩(wěn)定傳播的條件下，時間t內(nèi)從波陣面右側(cè)流入的車輛數(shù)應(yīng)等于從左側(cè)流出的車輛數(shù)，得到：（3）交通波的基本方程(簡單證明)第三十四頁，共四十頁。4.5.3車流波動理論（續(xù)）集散波總是從前車向后車傳播的，把單位時間內(nèi)集散波所掠過的車輛數(shù)稱為波流量。通常意義下的流量總是相對于道路的一個固定斷面而言，而波流量則是相對于移動的波界面來計算的?？梢宰C明，波流量的公式為Qw——車流波W的波流量；V2、V1——前后兩種車流狀態(tài)的車速；K2、K1——前后兩種密度。（4）波流量第三十五頁，共四十頁。4.5.3車流波動理論（續(xù)）①k2>k1，且q2>q1——集結(jié)波、前進(jìn)波相當(dāng)于以較大的間距行駛的車隊，后車催促前車依次不斷加速逐步縮小間距的情況。②k2>k1，且q2<q1——集結(jié)波、后退波相當(dāng)于車隊中的頭車減速或剎車，跟隨車輛依次采取同樣行為的情況，如車隊駛進(jìn)信號燈控制的交叉口而紅燈啟亮的情況。③k2<k1，且q2>q1——發(fā)散波、后退波相當(dāng)于停在停車線后的車隊，綠燈啟亮后逐漸啟動的情形。④k2<k1，且q2<q1——發(fā)散波、前進(jìn)波相當(dāng)于以較小間距行駛的車隊，從隊尾起，各車輛依次減速，逐步拉大車距的情況（5）波速公式的分析第三十六頁，共四十頁。4.5.4交通波理論的應(yīng)用舉例例4-4車流在一條6車道的公路上暢通行駛，其速度為