湖南省市（州）部分學(xué)校高三下學(xué)期“一起考”大聯(lián)考(三模)數(shù)學(xué)試題

湖南省市（州）部分學(xué)校2022屆高三下學(xué)期“一起考”大聯(lián)考三模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知向量，則（

）A．0 B．1 C． D．23．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．第24屆冬季奧林四克運(yùn)動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行．某特許產(chǎn)品100件，其中一等品98件，二等品2件，從中不放回的依次抽取10件產(chǎn)品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，記取出的二等品件數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲與乙相互獨(dú)立 B．甲與乙互斥C． D．5．已知為銳角，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，若，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知拋物線，P為直線上一點(diǎn)，過P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為（

）A． B．-1 C． D．-2二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上 D．的虛部為10．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．11．在正三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，，M為BD的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．AF，BE為異面直線B．平面ADFC．若，則D．若，則直線與平面所成的角為45°12．已知函數(shù)，則（

）A．曲線在點(diǎn)處的切線方程為B．函數(shù)的極小值為C．當(dāng)時，僅有一個整數(shù)解D．當(dāng)時，僅有一個整數(shù)解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若，則_____________．14．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為______________．15．若某圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，其內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為___________.16．已知A，B，C是雙曲線上的三個點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O，經(jīng)過右焦點(diǎn)F，若且，則該雙曲線的離心率是_____________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．如圖，在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延長線上有一點(diǎn)D，使得，求．19．唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史，制作工藝十分復(fù)雜，而且優(yōu)質(zhì)品檢驗(yàn)異常嚴(yán)格，檢驗(yàn)方案是：先從燒制的這批唐三彩中任取3件作檢驗(yàn)，這3件唐三彩中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果，再從這批唐三彩中任取3件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗(yàn)；如果，即取出的每件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件唐三彩是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.(1)求這批唐三彩通過優(yōu)質(zhì)品檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件唐三彩的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件唐三彩都需要檢驗(yàn)，對這批唐三彩作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的總費(fèi)用記為X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．如圖，在四棱柱中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PDC；(2)若二面角的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．21．已知橢圓，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：.參考答案：1．D【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程的解法求出集合A、B，然后根據(jù)集合交集的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【詳解】解：由題意得：集合，或，故故選：D．2．A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得，所以.故選：A.3．D【解析】【分析】先對“條件”和“結(jié)論”變形，再看由“條件”能否推出“結(jié)論”，及由“結(jié)論”能否“推出”條件，從而確定充分性和必要性．【詳解】若成立，則成立，即，即，由可得，但不一定得到，相反由也不一定能得出，故選:D．4．D【解析】【分析】根據(jù)事件獨(dú)立性和互斥性的定義和性質(zhì)以及二項(xiàng)分布和超幾何分布的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由題意得：對于選項(xiàng)A：事件甲發(fā)生與否影響事件乙的發(fā)生，故事件甲與乙不相互獨(dú)立，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：事件甲事件乙可能同時發(fā)生，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，D：由條件知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且，故C錯誤，D正確．故選：D．5．A【解析】【分析】由題意得，進(jìn)而結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最大值為，故選：A．6．D【解析】【分析】由，得故是公比為的等比數(shù)列，即可計(jì)算，則可解．【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D7．C【解析】【分析】根據(jù)和對稱軸和單調(diào)性可得的圖象關(guān)于直線對稱，且在上遞增，在上遞減，根據(jù)定義域以及離對稱軸近列不等式組即可求解.【詳解】，函數(shù)和的圖象在上都關(guān)于直線對稱，且它們都在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的圖象在上關(guān)于直線對稱，且在上遞增，在上遞減，由，得，即，所以，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.8．A【解析】【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求直線，，進(jìn)而可得，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)，.由求導(dǎo)得，則直線，直線，聯(lián)立方程可得，由P在直線上，得，且，即.因而.故選：A.9．BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理得，所以，解得，.所以，所以，故選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)?，所以，所以，B正確；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，顯然在直線上，C正確；因?yàn)?，所以的虛部為，D正確.故選：BCD.10．ACD【解析】【分析】由，代入利用作差比較，即可判定A一定成立；舉反例可判定B不一定成立；由冪函數(shù)的性質(zhì)可判定C一定成立；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定D一定成立.【詳解】由，可得，則，所以，所以A一定成立；因?yàn)?，∴可取，，，則，故B不一定成立；由，可得，又由，所以，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，故C一定成立；因?yàn)椋鶕?jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以D一定成立.故選ACD.11．BC【解析】【分析】A判斷A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面即可；B取DA的中點(diǎn)N，連接FN，MN，利用平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定證明即可；C取AB的中點(diǎn)Q，連接CQ，F(xiàn)Q，由平行四邊形、等邊三角形及勾股定理求；D由線面角定義，應(yīng)用幾何法找到直線與平面所成角的平面角，進(jìn)而求其大小.【詳解】A：如圖，連接EF，由題意得，所以A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以AF，BE不是異面直線，錯誤；B：取DA的中點(diǎn)N，連接FN，MN，得，，所以，，則四邊形EFNM是平行四邊形，所以，因?yàn)槊鍭FD，所以面ADF，正確；C：取AB的中點(diǎn)Q，連接CQ，F(xiàn)Q，由平行且相等知：四邊形EFQB為平行四邊形，則有，又，即，設(shè)，則，，，∴，解得，正確；D：由，，可知△BCE為正三角形，，連接，易知平面，故即直線與平面所成的角，，錯誤.故選：BC.12．AD【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)以及特殊點(diǎn)大致畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像分析即可.【詳解】解析：由題意，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A正確；令，得，易知當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，為，故B錯誤；當(dāng)時，有整數(shù)解x=-2，即有2個整數(shù)解x=-2，x=-1，(作出與的大致圖象如圖所示)，易故C錯誤；當(dāng)時，在上，設(shè)的圖象在點(diǎn)處與直線相切，所以消去k，得，而，函數(shù)大致圖像如下圖：故若有唯一整數(shù)解，則,，故D正確．故選：AD．13．1【解析】【分析】首先令，可得的值，分別令，，兩式相減可得所求式子的值.【詳解】令，可得，所以．令，得；令，得，兩式相減求得．故答案為：1.14．4【解析】【分析】根據(jù)已知條件可以求出首項(xiàng)和公差，從而求出，通過的表達(dá)式即可判斷【詳解】解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為．由題意可知解得，則的前項(xiàng)和，而函數(shù)的零點(diǎn)為和，故當(dāng)接近或時，取得最小值．又，所以當(dāng)時，的最小值為．故答案為：415．【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，其內(nèi)切球的半徑為R，則由圓錐側(cè)面展開圖為一個半圓可得，由內(nèi)切球的表面積為可求得，再將圓錐軸截面三角形的面積作為等量關(guān)系可求r，h，從而可求得體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，其內(nèi)切球的半徑為R.由題意，得，所以，因?yàn)閳A錐內(nèi)切球的表面積為，所以，因?yàn)閳A錐內(nèi)切球半徑R等于圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑，且，由三角形的面積公式得，解得，所以，所以圓錐的體積.故答案為：16．【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合且，設(shè)左焦點(diǎn)為，可知在中利用勾股定理可得，由已知即可算出雙曲線的離心率.【詳解】解：由題意得：如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為，，連接又，則．因?yàn)?，且?jīng)過原點(diǎn)O，所以四邊形為矩形．所以在中，，即，化簡得．又在中，，所以，化簡得，即．故答案為：17．(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）利用得出關(guān)系即可證明；（2）利用錯位相減法結(jié)合分組求和法即可求出.(1)令，得，由，得，兩式相減得，即，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．(2)由（1）得，，記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．則，，兩式相減得，故數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理邊化角可求得，進(jìn)而結(jié)合同角基本關(guān)系的平方關(guān)系即可求出結(jié)果.（2）求出，進(jìn)而在中結(jié)合正弦定理即可求出結(jié)果.(1)在中，由正弦定理得，又在中，，所以上式可化為．因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭卿J角三角形，．解得．(2)由（1）得：，又是銳角三角形，所以，所以．在中，由正弦定理得：，即，解得．19．(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）設(shè)第一次取出的3件唐三彩中恰有2件優(yōu)質(zhì)品為事件，第一次取出的3件唐三彩全是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的3件唐三彩都是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的1件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品為事件，這批唐三彩通過檢驗(yàn)為事件A，由，可求得答案；（2）X可能的取值為300，400，600，可分別根據(jù)題目條件求隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，利用期望公式求出所需花費(fèi)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望.(1)解：（1）設(shè)第一次取出的3件唐三彩中恰有2件優(yōu)質(zhì)品為事件，第一次取出的3件唐三彩全是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的3件唐三彩都是優(yōu)質(zhì)品為事件，第二次取出的1件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品為事件，這批唐三彩通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有，所以.(2)解：X可能的取值為300，400，600，，，.所以X的分布列為X300400600P.20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，利用勾股定理的逆定理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面PDC．即可證明；(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出平面PAC和平面EAC的法向量，根據(jù)二面角的余弦值和空間向量數(shù)量積的定義求出，再次利用空間向量的數(shù)量積計(jì)算，直接得出結(jié)果.(1)∵平面ABCD，平面ABCD，∴．∵，，∴．∴，∴．又平面PDC，平面PDC，，∴平面PDC．∵平面EAC，∴平面平面PDC；(2)由（1）知，，又平面ABCD，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，則，，，，．取，則，所以為平面PAC的一個法向量．設(shè)為平面EAC的法向量，則，即，則，取，則，，依題意，，則，于是，，設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為，則，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．21．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率、三角形的面積求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)直線的斜率是否為進(jìn)行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及列方程，求得關(guān)于的不等式，由此求得的取值范圍.(1)由題意得，則，．的面積為，則．將，代入上式，得，則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由（1）知，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，，，將代入橢圓方程得，化簡得，則，所以①，②．由得，即，則．得，所以，即，易知，故，易知恒成立，由，得，解得．當(dāng)直線的斜率等于0時，，或，，則或．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，有兩個不相等的零點(diǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)法討論單調(diào)性最值結(jié)合零點(diǎn)的個數(shù)即可求解；（2）利用基本不等式得出，要證，只需證不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性，求得，進(jìn)而可得，求出在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性函數(shù)值自變量的關(guān)系即可證明結(jié)論成立.(1)由題可得的定義域?yàn)椋?，令，因?yàn)橛袃蓚€不同的極值點(diǎn),，所以函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn),，易知，①當(dāng)時，，單調(diào)遞減，至多有一個零點(diǎn)，不符合題意.②當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以要使有兩個不相等的零點(diǎn)，需滿足，解得.當(dāng)時，，所以在上存在唯一零點(diǎn)；，令，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所