圖形變換共頂點旋轉(zhuǎn).知識精講(2014-2015)

一輪復(fù)習(xí)課程·旋轉(zhuǎn)·旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)·知識精講 Page共頂點旋轉(zhuǎn)共頂點旋轉(zhuǎn)中考中考大綱中考內(nèi)容中考要求ABC圖形的旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識解決簡單問題知識網(wǎng)絡(luò)圖知識網(wǎng)絡(luò)圖知識精講知識精講一、旋轉(zhuǎn)1、定義把一個圖形繞著某一點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c，那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的的對應(yīng)點．如下圖．【注意】1、研究旋轉(zhuǎn)問題應(yīng)把握兩個元素：旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角．2、每一組對應(yīng)點所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．2、性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形是全等的；（進(jìn)而得到相等的線段、相等的角）（2）旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（進(jìn)而得到等腰三角形）（3）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角；（若特殊角則得到等邊三角形、等腰直角三角形）3、作圖的重要條件由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)作圖必須具備兩個重要條件（1）旋轉(zhuǎn)中心（2）旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度．4、作圖的基本步驟具體步驟分以下幾步連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心．轉(zhuǎn)：即把連線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點．連：即連接所得到的各點．二、中心對稱1、中心對稱的定義把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做中心對稱點，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點（如下圖）【注意】1、圖形成中心對稱是旋轉(zhuǎn)角為定角（）的旋轉(zhuǎn)問題，它是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，反映的是兩個圖形的一種特殊關(guān)系．2、中心對稱闡明的是兩個圖形的特殊位置關(guān)系．2、中心對稱的性質(zhì)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分．關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等．如果連接兩個圖形的對應(yīng)點的線段都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對稱．3、中心對稱圖形把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．（如下圖）【例題】下面簡單說明如何找點使它到三個頂點的距離之和最??？這就是所謂的費(fèi)爾馬問題．【解析】如圖1，把繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′，連接PP′．則△APP′為等邊三角形，AP=PP′，P′C′=PC，所以=PP′+PB+P′C′．點C′可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點，BC′為定長，所以當(dāng)B、P、P′、C′四點在同一直線上時，最小．這時∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．解題方法技巧解題方法技巧1、利用旋轉(zhuǎn)思想構(gòu)造輔助線（1）根據(jù)相等的線段先找出被旋轉(zhuǎn)的三角形．（2）根據(jù)對應(yīng)邊找出旋轉(zhuǎn)角度，畫出旋轉(zhuǎn)三角．2、四大旋轉(zhuǎn)全等模型（關(guān)鍵找伴隨全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)出全等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等）（2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等）（3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等）（4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似）（5）正方形共頂點旋轉(zhuǎn)3、旋轉(zhuǎn)秘籍（1）圖形中出現(xiàn)等腰三角形，?？紤]將以腰為邊的某三角形繞等腰三角形的頂角所在的頂點旋轉(zhuǎn)一頂角后與另一腰重合．（1）圖形中出現(xiàn)等邊三角形，?？紤]將含有等邊三角形邊長的某個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)角后與另一邊重合．（2）圖形中出現(xiàn)正方形時，?？紤]將含有正方形邊長的某個三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)角后與另一邊重合．4、正方形等面積結(jié)論（1）（2）為中點，則（3）為中點，5、等邊三角形手拉手共線的結(jié)論（和均為等邊三角形，三點共線）（1）（2）（3）（4）（5）（6），（7）為等邊三角形（8）平分（9）6、等腰直角三角形共頂點旋轉(zhuǎn)常見的變式（1）基本模型：和均為等腰直角三角形結(jié)論：，（2）變式一：在上面模型的基礎(chǔ)上連接，分別取、、的中點、、，連接、結(jié)論：，（3）變式二：在上面模型的基礎(chǔ)上連接、，則和均為等腰直角三角形，如下圖去掉別的線段結(jié)論：，

（4）變式三：在上面模型的基礎(chǔ)上分別取、的中點、，分別以、為邊作正方形結(jié)論：，7、等邊三角形共頂點旋轉(zhuǎn)常見的變式（1）基本模型：和均為等腰三角形結(jié)論：，與所夾銳角為（2）變式：在上面模型的基礎(chǔ)上連接，分別取、、的中點、、，連接、結(jié)論：，

8、等腰三角形共頂點旋轉(zhuǎn)常見的變式（1）基本模型：和均為等腰三角形，結(jié)論：，與的夾角等于（2）變式：在上面模型的基礎(chǔ)上連接，分別取、、的中點、、，連接、結(jié)論：