無(wú)理數(shù)的存在性證明及應(yīng)用(本科)大學(xué)論文

PAGEPAGE17本科畢業(yè)論文無(wú)理數(shù)的存在性證明及應(yīng)用目錄 TOC\o"1-3"\h\u200901引言 1272282文獻(xiàn)綜述 1136232.1國(guó)內(nèi)外研究狀況現(xiàn)狀 122592.2國(guó)內(nèi)研究狀況現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 16103的發(fā)現(xiàn)及定義 1178583.1的發(fā)現(xiàn)及符號(hào)表示 110073.2的定義 5100283.2.1收斂級(jí)數(shù)定義 5203.2.2極限定義 6229653.3的意義 7233534的存在性與無(wú)理性證明 8146304.1的存在性證明 838124.2的無(wú)理性證明 11149245的應(yīng)用 111615.1在求極限中的應(yīng)用 11104095.2正態(tài)分布——概率論中的 133625.3生活實(shí)際問題 13324605.4銀行復(fù)利率問題 14166766結(jié)論 1657116.1主要發(fā)現(xiàn) 1679766.2啟示 1653136.3局限性 16184196.4努力方向 1625880參考文獻(xiàn) 171引言一位著名的學(xué)者曾說過：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或其與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解”.確實(shí)，人類文明的發(fā)展與進(jìn)步得益于人們對(duì)數(shù)的研究與實(shí)踐.甚至有些數(shù)極為重要，譬如大家所熟悉的0和1，還有其它更加重要的常數(shù)，如，，，，人們習(xí)慣分別稱它們?yōu)閳A周率、虛數(shù)單位、黃金分割數(shù)、納皮爾常數(shù).關(guān)于前三者的論述文章非常多，而似乎是一個(gè)習(xí)以為常的數(shù),不被人們所重視.它隨著科技發(fā)展越來(lái)越多地出現(xiàn)在微積分、概率統(tǒng)計(jì)等學(xué)科中；它是今天銀行業(yè)中對(duì)銀行家最有幫助的一個(gè)數(shù)，此外在考古學(xué)中古生物年限的鑒定中也有涉及.目前，初等數(shù)學(xué)教材以及理工科相關(guān)教材中對(duì)于通常作如下定義：“在科學(xué)技術(shù)中常常使用無(wú)理數(shù)，它的前十位小數(shù)是2.7182818284……，以其為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便，N的自然對(duì)數(shù)記為，以為底的指數(shù)函數(shù)和自然對(duì)數(shù)函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中占有極重要地位”.那么，常數(shù)到底是一個(gè)怎樣的一個(gè)數(shù)呢？其值是如何而來(lái)的？在十進(jìn)制的數(shù)系統(tǒng)里，用這樣奇怪的數(shù)為底，難道會(huì)比以10為底的常用對(duì)數(shù)更自然嗎？它還有哪些方面的應(yīng)用？2文獻(xiàn)綜述2.1國(guó)內(nèi)外研究狀況現(xiàn)狀在所查閱到的國(guó)內(nèi)外參考文獻(xiàn)[1-15]中，文獻(xiàn)[1]論述了對(duì)數(shù)與的起源之間的關(guān)系、表示形式、無(wú)理性與超越性；文獻(xiàn)[2]論述了無(wú)理數(shù)的極限表示形式；文獻(xiàn)[3]簡(jiǎn)單介紹了數(shù)的近似計(jì)算及超越性證明；文獻(xiàn)[4-7]介紹了數(shù)的對(duì)數(shù)表的編制及發(fā)展過程；文獻(xiàn)[8]論述了無(wú)理數(shù)在科學(xué)技術(shù)中占有重要地位及其應(yīng)用并給出了的無(wú)理性簡(jiǎn)潔證明；文獻(xiàn)[9-15]介紹了的發(fā)現(xiàn)歷史過程和性質(zhì).2.2國(guó)內(nèi)研究狀況現(xiàn)狀評(píng)價(jià)在所查閱到的國(guó)內(nèi)外參考文獻(xiàn)[1-15]中，大多是針對(duì)的無(wú)理性證明進(jìn)行研究，研究比較分散，沒有系統(tǒng)地歸納和研究，對(duì)的產(chǎn)生背景及應(yīng)用的研究不多.3的發(fā)現(xiàn)及定義3.1的發(fā)現(xiàn)及符號(hào)表示早在15,16世紀(jì)，隨著天文和航海等技術(shù)研究的廣泛興起，解決天文計(jì)算的困難成了當(dāng)時(shí)最緊迫的任務(wù).如何把大數(shù)的乘、除、乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加、減、運(yùn)算成為當(dāng)時(shí)的一種迫切要求，也引起了大家的思考.1544年，德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》一書中論述了等差數(shù)列和等比數(shù)列的關(guān)系.對(duì)于下面兩個(gè)數(shù)列他把上面一行命名為指數(shù)，并指出：“上行的加、減、乘和除分別對(duì)應(yīng)于下行的乘、除、乘方和開方”.若將上行的數(shù)記為，下行的數(shù)記為，則上、下兩行中相應(yīng)的數(shù)滿足，一般地，若以1為公差的等差數(shù)列與以為公比的等比數(shù)列相互對(duì)應(yīng)，則等比數(shù)列中任意兩數(shù)的積或商就可以用等差數(shù)列中對(duì)應(yīng)上述兩數(shù)的和或差求得，且兩行中相應(yīng)的數(shù)恒有關(guān)系：.在此關(guān)系中，以為真數(shù)，為底，為對(duì)數(shù)，則可利用與進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.但是，這種關(guān)系對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算而言尚不具有實(shí)用價(jià)值，因?yàn)樵谏媳碇兄荒茏雠c偶數(shù)及的整數(shù)冪有關(guān)的計(jì)算，而不可能做其他數(shù)的計(jì)算.因此，要把這種想法發(fā)展到能夠?qū)嵱玫某潭?，就必須使兩個(gè)數(shù)列的數(shù)間距足夠小，假如在等差數(shù)列中插入中項(xiàng)：，還必須算出對(duì)應(yīng)的數(shù)列.然而，因當(dāng)時(shí)還不能計(jì)算指數(shù)為小數(shù)的冪，因此這種想法就不可能推廣使用.1614年，英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾在愛丁堡出版他的著作《論述奇妙的對(duì)數(shù)》，成為歷史上第一個(gè)給對(duì)數(shù)命名的人.瑞士鐘表制造者比爾吉于1620年以《算術(shù)與幾何級(jí)數(shù)表》為題也公布了對(duì)數(shù)表.早在1647年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家圣文森特就計(jì)算了等軸雙曲線下圖形的積分，至于他是否發(fā)現(xiàn)了它與對(duì)數(shù)的聯(lián)系，這在數(shù)學(xué)史上是有爭(zhēng)議的.直到1661年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯清楚解釋了等軸雙曲線的面積與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系.1667年，英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷戈里也通過計(jì)算雙曲線和漸進(jìn)線所圍成的圖形面積來(lái)計(jì)算對(duì)數(shù).用圖1或圖2的面積表示對(duì)數(shù)時(shí)圖1的面積不是的連續(xù)函數(shù)，而圖2的面積卻是的連續(xù)函數(shù).可以想象，圖2表示的對(duì)數(shù)比圖1表示的對(duì)數(shù)有著許多簡(jiǎn)便的地方，所以丹麥數(shù)學(xué)家買卡托在1668年出版的《對(duì)數(shù)技術(shù)》中將圖形2所表示的新對(duì)數(shù)取名為“自然對(duì)數(shù)或雙曲對(duì)數(shù)”.若在圖1中以代替，且趨向于無(wú)窮大時(shí)便得到圖2的面積，即在比吉爾的對(duì)數(shù)底數(shù)中用代替，再令無(wú)限變大，取極限就得到自然對(duì)數(shù)的底數(shù)[1].代替當(dāng)無(wú)限變大時(shí)，底數(shù)就是.圖1曲線下面積近似圖圖2曲線下面積圖1683年，瑞士著名數(shù)學(xué)家雅各·伯努利提出復(fù)利問題，在檢查這個(gè)連續(xù)的復(fù)利時(shí)，他努力尋找當(dāng)時(shí)的極限.利用二項(xiàng)式定理，他指出這個(gè)極限在之間.這是對(duì)的近似值的首次估計(jì)，也是數(shù)學(xué)史上第一次用極限來(lái)定義一個(gè)數(shù)，即.1690年，德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茨在給惠更斯的一封信中首次用字母來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底，使得“自然對(duì)數(shù)的底”終于有了它的名字而被認(rèn)同，而現(xiàn)在用來(lái)表示對(duì)數(shù)的底應(yīng)歸功與瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉.在俄羅斯彼得堡科學(xué)院寫的一部手稿中，歐拉建議“將對(duì)數(shù)為1的數(shù)記作，即”.并在書中16次出現(xiàn)代替，至于歐拉為什么用字母來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底有人認(rèn)為來(lái)自他自己名字的首字母；也有人認(rèn)為，來(lái)自于指數(shù)（exponential）的首字母；還有人認(rèn)為，是第二個(gè)元音字母，因?yàn)闅W拉在其著作中已經(jīng)使用了第一個(gè)元音字母.而符號(hào)首次公開出現(xiàn)是在1731年歐拉寫給哥德巴赫的一封信中.是一個(gè)特殊的重要極限，在高等數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域中起著奠基般的舉足輕重的作用.但如此重要的極限，在一般的教科書中對(duì)它的存在性的證明卻敘述得較少，甚至不證明，只讓去死記硬背一個(gè)十分難記難懂的結(jié)論.是作為一個(gè)數(shù)列的極限而出現(xiàn)的.“”這個(gè)符號(hào)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1727年首先引進(jìn)的.為什么用來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底，至今原因還不明.有人猜測(cè)，可能是因?yàn)槭恰爸笖?shù)的第一個(gè)字母.另一種猜測(cè)是：，，和經(jīng)常有其他用途，接下來(lái)的”就成了首選.第一次在出版物中用來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底，是歐拉在1736年出版的《力學(xué)》第一卷中.在1747-1751年的文章中，歐拉都用來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底.后來(lái)，有研究者用字母表示自然對(duì)數(shù)的底，但較常用，于是最終成為“標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)”.接著，以下幾位數(shù)學(xué)家也用來(lái)表示自然對(duì)數(shù)的底：瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利在1760年，蘭伯特在1764年，法國(guó)數(shù)學(xué)家孔多塞在1771年，法國(guó)貝祖在1779年，法國(guó)克拉姆在1808年.在17世紀(jì)對(duì)數(shù)傳入中國(guó)以后，又有了幾種專門表示的符號(hào).例如，李善蘭在1859年翻譯的《代數(shù)學(xué)》卷首就有：“又訥（今簡(jiǎn)化為訥）字代二、七一八二八一八，為訥白爾（即納皮爾）的對(duì)數(shù)率.”由此可見，他用“訥”代表自然對(duì)數(shù)的底，但卻誤以為納皮爾對(duì)數(shù)的底是2.7182818.又如：1873年，華蘅芳翻譯的《代數(shù)術(shù)》卷十八中就有：“則得其常數(shù)為二·七一八二八一八四五九〇四五不盡，此數(shù)以戊代之……可見戊即為訥對(duì)之底.”可以看出，他用“戊”表示自然對(duì)數(shù)的底.顯然，這與當(dāng)時(shí)把ABCD翻譯成甲乙丙丁戊有關(guān).后來(lái)，中國(guó)的數(shù)學(xué)書用橫排和西文方式，采用了.3.2的定義3.2.1收斂級(jí)數(shù)定義定義[4]：如果級(jí)數(shù)是收斂的，那么.（3-1）以下首先證明（3-1）的收斂性.顯然，（3-1）的前項(xiàng)和.（3-2）容易看出而且有，，所以有.用等比數(shù)列的求和公式，就得到.再結(jié)合（3-2）可以看出，數(shù)列雖然逐漸增大，但始終小于3，所以（3-1）是收斂的，而且，就是.證畢.3.2.2極限定義定義：當(dāng)為自然數(shù)時(shí)，.根據(jù)二項(xiàng)式定理，把展開得：仿照這種方法，也可以這樣展開：比較和的展開式各項(xiàng)可以看到，除了第一項(xiàng)相等以外，的每一項(xiàng)都小于的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，并且還多了最后的一個(gè)正項(xiàng).于是得到，即數(shù)列是遞增的.此外，用較大的數(shù)1代替的展開式右邊各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)，就得到從這個(gè)式子中可以看出，不論取什么值，數(shù)列總是小于3，即有上界.顯然，的極限存在.現(xiàn)在用字母來(lái)表示這個(gè)極限，就是對(duì)于的結(jié)論，不但在是自然數(shù)時(shí)成立，而且可以證明，當(dāng)是連續(xù)變量的時(shí)候也成立.3.3的意義對(duì)數(shù)的引進(jìn)對(duì)于簡(jiǎn)化運(yùn)算有很大的好處，除1以外的正數(shù)都可以作為對(duì)數(shù)的底，由于人們習(xí)慣使用十進(jìn)制的數(shù)，因此從實(shí)際計(jì)算的角度看，采用以10為底的“常用對(duì)數(shù)”是比較方便的，但是，常用對(duì)數(shù)的真數(shù)N與其對(duì)數(shù)lgN的增長(zhǎng)表現(xiàn)出明顯的不對(duì)稱性，而且當(dāng)真數(shù)均勻增長(zhǎng)時(shí)，lgN的增長(zhǎng)卻不均勻，從美學(xué)的角度講，這是不十分理想的.而在尋求表現(xiàn)對(duì)稱美的對(duì)數(shù)底數(shù)的嘗試中，發(fā)現(xiàn)了以數(shù)列中各項(xiàng)依次作底，會(huì)使對(duì)稱性越來(lái)越好，因此若采用為底，就可以達(dá)到完全的對(duì)稱.另一方面，在理論研究中，使用以為底的對(duì)數(shù)比常用對(duì)數(shù)更為方便.特別的是，反映自然界規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，若是以指數(shù)形式或?qū)?shù)形式出現(xiàn)，則必定是而且只是以為底的.所以為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù).微積分的出現(xiàn)，使人們對(duì)使用以為底的指數(shù)函數(shù)及其反函數(shù)的好處有了更為清醒的認(rèn)識(shí)，如下列運(yùn)算中不可避免地要出現(xiàn)以為底的自然對(duì)數(shù)：，.而以為底的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在形式上卻簡(jiǎn)單的多：從而；更為特殊，它有任意階導(dǎo)數(shù)且形式不變，即，它是唯一具有這一特性的函數(shù).并有，這一性質(zhì)在求解微分方程中得到充分地應(yīng)用.因此對(duì)研究具有重要的意義.4的存在性與無(wú)理性證明4.1的存在性證明證明極限首先給出關(guān)于極限存在的兩個(gè)基本準(zhǔn)則.（I）夾逼準(zhǔn)則：如果函數(shù)且，，那么.（II）單調(diào)有界數(shù)列必有極限.這個(gè)函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，人們稱之為冪指數(shù)函數(shù).只有當(dāng)時(shí)這個(gè)函數(shù)才有定義，故只對(duì)與來(lái)證明.EQ\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí)，首先讓取正整數(shù)，即若而有伯努利不等式，這個(gè)不等式可由二項(xiàng)式定理推出，并且對(duì)時(shí)不等式仍然成立，可由由數(shù)學(xué)歸納法證明.因此，對(duì)伯努利不等式將換成，便有或者故對(duì)有說明是隨的增加而增加的，即是單調(diào)增加數(shù)列，另一方面由二項(xiàng)定理知說明是單調(diào)增加有界數(shù)列，根據(jù)準(zhǔn)則II，的極限存在，用表示，即（1）其次，對(duì)任意，必存在兩個(gè)相鄰的整數(shù)與，使得，因而從而

或者當(dāng)時(shí)，并且，，，由準(zhǔn)則I知（2）EQ\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，，所以（3）綜合(1)，(2)，(3)對(duì)于與，極限得到了證明.接下來(lái)討論極限的確定與其值的求法.由二項(xiàng)定理及(1)可得到的表達(dá)式或者由此可知是個(gè)無(wú)理數(shù)，整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù).數(shù)的近似值可以通過的麥克勞林展開式：，[5]當(dāng)時(shí)，如取，可得，由此計(jì)算方法可見，若要求精度越高，則取的越大，且計(jì)算每一項(xiàng)的精確度比要求的精度要高，當(dāng)時(shí)高一位，時(shí)高二位，如此類推.4.2的無(wú)理性證明證明是無(wú)理數(shù)的方法很多，這里只介紹一種簡(jiǎn)單易懂的方法.首先有：，那么，說明不是一個(gè)整數(shù).為了證明是一個(gè)無(wú)理數(shù)，可用反證法，假設(shè)是有理數(shù)，那么就令，其中、均為正整數(shù).由于不是整數(shù)，故≥2.

于是有：顯然等式左邊的為整數(shù)，而等式左邊的第一項(xiàng)也為整數(shù)，故等式右邊第二項(xiàng)也為整數(shù)從知

因此，這與整數(shù)的性質(zhì)矛盾，故為無(wú)理數(shù).5的應(yīng)用5.1在求極限中的應(yīng)用在4.1中我們已經(jīng)證明了，這是一個(gè)重要的極限，它在求解一些極限時(shí)有著重要的作用。例1:求極限解：因?yàn)?，所以?:求極限解：注：即例3:求極限分析：這道題不易直接運(yùn)用極限四則運(yùn)算法則求解，看似與也沒什么聯(lián)系.但是我們注意到在形式上與特別相似，考慮把分解為與相類似的因式的積或商.解：因?yàn)樗钥偨Y(jié)：在求解一些極限時(shí)，有著重要的應(yīng)用.它可以使問題化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的效果.5.2正態(tài)分布——概率論中的最先使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科的數(shù)學(xué)家是瑞士的雅格布·伯努利和他的侄兒尼古拉·伯努利，以及法國(guó)—英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗等[4].其中棣莫弗用這個(gè)逼近式研究了二項(xiàng)分布的極限式，最終得到次試驗(yàn)中出現(xiàn)次事件的概率的期望值滿足的關(guān)系式，式子中是次試驗(yàn)中出現(xiàn)次事件的概率.也就是說，棣莫弗首次發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)分布的極限形式是一個(gè)正態(tài)分布.顯然，這個(gè)公式中又有.棣莫弗還首次處理了概率積分，得到（和都是常數(shù)）的結(jié)果.這個(gè)式子可以具體化為這就是著名的正態(tài)密度函數(shù)公式即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度.顯然，它是當(dāng)和時(shí)的特例.此外，隨機(jī)變量的密度函數(shù)是，其中是常數(shù)，那么就是說服從“對(duì)數(shù)正態(tài)分布”.如果，則.正態(tài)分布與實(shí)際生活有著密切的聯(lián)系，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.5.3生活實(shí)際問題當(dāng)今，形形色色的彩票吸引著無(wú)數(shù)“彩民”.那么，如何正確認(rèn)識(shí)中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（中獎(jiǎng)概率）呢？例如，假設(shè)某種彩票中獎(jiǎng)的概率是10%，只買一張就中獎(jiǎng)和連續(xù)買10張全都不中獎(jiǎng)的概率，哪一種更大呢？設(shè)只買一張就中獎(jiǎng)為事件,連續(xù)買10張全都不中獎(jiǎng)為事件，則,顯然即只買一張就中獎(jiǎng)的概率小于連續(xù)買10張全都不中獎(jiǎng)的概率，這似乎是一個(gè)令人難以接受的結(jié)果.而買20張不中獎(jiǎng)的概率也高達(dá)約.那么，更一般的問題是：中獎(jiǎng)概率不是而是，買張彩票不中獎(jiǎng)的概率又是多少呢？因?yàn)樗?例如，假設(shè)某種彩票的中獎(jiǎng)概率為萬(wàn)分之一，那么，買2萬(wàn)張不中獎(jiǎng)的概率就高達(dá)約當(dāng)中獎(jiǎng)概率足夠?。醋銐虼螅r(shí)，都是這個(gè)和同在的值.對(duì)于這個(gè)結(jié)果，每個(gè)“彩民”都應(yīng)有足夠的思想準(zhǔn)備.5.4銀行復(fù)利率問題在復(fù)利問題中產(chǎn)生，在銀行中應(yīng)用頗廣.假定有一家銀行，年利率為，允許以任意周期進(jìn)行復(fù)利計(jì)息.很顯然，存入1塊錢，一年后的本利和為2塊錢.有人想：我每半年存取一次，一年存取兩次，那么本利和為多少呢？很容易計(jì)算：，這樣顯然比一次存一年要多.他繼續(xù)想：如果每季度存取一次，一年存取四次，那么本利和又是多少呢？同樣比一年存取兩次又多了一些.他想：我每月存取一次，一年存取十二次，本利和為，果然又增加了一些.如果計(jì)息周期無(wú)限制地縮短，比如說每分鐘計(jì)息一次，甚至每秒，或者每一瞬間（理論上來(lái)說），會(huì)發(fā)生什么狀況？本利和會(huì)無(wú)限制地加大嗎？答案是不會(huì)的.因?yàn)橛蓸O限的定義.當(dāng)然，實(shí)際生活中，銀行的利息沒有這么高，如果利率只有5%，那么1塊存一年最多可以拿到多少錢呢？在100%利率的情況下，當(dāng)所得到的數(shù)值非常接近..為了便于思考，取,有.因此，利率相當(dāng)于的20分之一次方注：20分之一正好等于利率，所以公式可以寫成：式中就是利率.這說明只要是持續(xù)不斷的復(fù)合式增長(zhǎng)，可以用于任何增長(zhǎng)率的計(jì)算.再考慮時(shí)間因素，如果把錢在銀行里存年，最多可以得到多少錢呢？此式為計(jì)算本利和的萬(wàn)能公式，可以適用于任何時(shí)間，任何利率.如果銀行利率是的復(fù)利，請(qǐng)問1元存款翻倍需要多少時(shí)間？求解需要多少時(shí)間等價(jià)于解方程：結(jié)果是13.86年.上式最后一個(gè)等號(hào)，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致時(shí)間，這就是經(jīng)濟(jì)學(xué)上著名的72法則.在自然科學(xué)中有著重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物質(zhì)的衰變，生物增殖問題，地質(zhì)科學(xué)中考察地球年齡，天文學(xué)中計(jì)算火箭速度，物體的冷卻等等.6結(jié)論6.1主要發(fā)現(xiàn)本文在文獻(xiàn)[1-15]的基礎(chǔ)上，對(duì)的無(wú)理性和存在性進(jìn)行了證明，并結(jié)合例題討論了在微積分、概率、及銀行復(fù)利等方面的應(yīng)用，較為系統(tǒng)的、全面的對(duì)進(jìn)行了研究，有助于人們對(duì)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).6.2啟示從事數(shù)學(xué)研究在于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，解決問題，只我們刻苦鉆研，善于觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多問題值得去研究，尤其是看似習(xí)以為常的問題.鑒于本文用到數(shù)學(xué)分析相關(guān)知識(shí)，啟迪我們必須把數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)打牢，才能將數(shù)學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用.6.3局限性由于作者自身的知識(shí)儲(chǔ)備和能力有限，文中不可能對(duì)的無(wú)理性證明的所有不同的方法進(jìn)行研究，也不可能把無(wú)理數(shù)所有在學(xué)術(shù)或生活中的應(yīng)用實(shí)例研究完.這些，都有待今后繼續(xù)深入學(xué)習(xí)來(lái)提高知識(shí)水平和能力.6.4努力方向無(wú)理數(shù)的應(yīng)用實(shí)例很多，今后，我將更加努力深入學(xué)習(xí)，繼續(xù)探究無(wú)理數(shù)在生活實(shí)踐中的應(yīng)用，以做出更好的結(jié)果.參考文獻(xiàn)[1]桂德懷.數(shù)e探源[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2003,(6):117-119.[2]梁洪亮.數(shù)e簡(jiǎn)介[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004:49-52.[3]劉琳.數(shù)e漫談[J].河北理科教學(xué)研究,2005,4:70-72.[4]陳仁政.e的密碼[M].北京:科學(xué)出版社,2011:132-137.[5]劉玉璉,傅沛仁,林玎,苑德馨,劉寧.數(shù)學(xué)分析講義上冊(cè)[M]第五版.北京:高等教育出版社,2008:67-68.[6][英]斯科特著,侯德潤(rùn),張?zhí)m譯.數(shù)學(xué)史[M].廣西:師范大學(xué)出版社,2002:133-142.[7]趙吉才.神奇的數(shù)e[J].科學(xué)世界.2003,(11):68-69.[8]吳耀強(qiáng).關(guān)于無(wú)理數(shù)e概念教學(xué)之拓展性研究[J].西昌學(xué)院學(xué)報(bào),23,(3):54-55.[9]周勇.揭開數(shù)e的神秘面紗[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào).2010,(401):28-29.[10]李純白.數(shù)e的教育功能[J].達(dá)縣師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),12,(2):67-68.[11]汪曉勤,韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社,2002:94-108.[12]李忠.數(shù)e的來(lái)龍去脈[J].北京大學(xué)數(shù)學(xué)通報(bào),2008,47,(5):1-2.[13]馮貝葉.多項(xiàng)式和無(wú)理數(shù)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社.2008:45-48.[14]王慶平.無(wú)理數(shù)e[J].北京大學(xué)數(shù)學(xué)通報(bào),2005,44,(6):40-42.[15]梁之舜,吳偉賢[M].數(shù)學(xué)古今縱橫談.北京:科學(xué)普及出版社,1982:50-62.TheProofoftheExistenceandApplicationoftheIrrationalNumbere Abstract:eisoneofthemostimportantmathematicalconstants,ithasbeenwidelyusedinscientificresearchandnumericalcalculations.thispaperdescribesthebackgroundoftheconstan