【人教版】高中數(shù)學(xué)說課稿 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 說課稿

平面向量數(shù)量的物理景及其含義說課內(nèi)容：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教A版《數(shù)學(xué)必修4》第二章第四節(jié)“平面向量的數(shù)量積”的第一課時(shí)---平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義。下面，我從背景分析、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、教學(xué)過程設(shè)計(jì)、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)及教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)六個(gè)方面對(duì)本節(jié)課的思考進(jìn)行說明。一背分1、學(xué)習(xí)任務(wù)分析平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對(duì)物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。2、學(xué)生情況分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算備功等物理知識(shí)且步體會(huì)了研究向量運(yùn)算的一般方法先由特殊模主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的理解一方面對(duì)于線性運(yùn)算而言量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)是很難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，特別是對(duì)性質(zhì)

和運(yùn)算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)數(shù)量積的概念。二教目設(shè)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)本節(jié)課的要求有以下三條：（）過物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（）會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（）用運(yùn)數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，首先無論是在概念的引入還是應(yīng)用過程中，物理中“功”的實(shí)例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運(yùn)算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念同也是進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和斷的理論依據(jù)后無是數(shù)量積的性質(zhì)還是運(yùn)算律，都希望學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，通過主動(dòng)探究來發(fā)現(xiàn)，因而對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。綜上所述，結(jié)合“課標(biāo)”要求和學(xué)生實(shí)際，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為：1、了解平面向量數(shù)量積的物理景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算和判斷；3、體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。三課結(jié)設(shè)本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學(xué)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，結(jié)合本節(jié)課的知識(shí)的邏輯關(guān)系，我按照以下順序安排本節(jié)課的教學(xué)：創(chuàng)

設(shè)

問

題

情

景

量的的性回顧向量線性運(yùn)算的研究方物理背景抽象概念探究性質(zhì)探究運(yùn)算律應(yīng)用概念

幾何意物理意性證性質(zhì)運(yùn)算律證明運(yùn)算律例題與練習(xí)小結(jié)提升即先從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度創(chuàng)設(shè)問題情景過納和抽象得到數(shù)量積的概念此礎(chǔ)上研究數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律學(xué)進(jìn)步加深對(duì)概念的理解后通過例題和練習(xí)使學(xué)生鞏固概念，加深印象，最后通過課堂小結(jié)提高學(xué)生認(rèn)識(shí)，形成知識(shí)體系。四

教媒設(shè)和“大綱”教材相比課標(biāo)”材在本節(jié)課的內(nèi)容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理一節(jié)提前做了紹但將原來分兩節(jié)課完成的內(nèi)容合并成一節(jié)相比較而言本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)加重了許多證教學(xué)任務(wù)的完成實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，考慮到本節(jié)課的實(shí)際特點(diǎn)，在教學(xué)媒體的使用上，我的設(shè)想主要有以下兩點(diǎn)：1、制作高效實(shí)用的電腦多媒體件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來節(jié)約課時(shí)，增加課堂容量。2、設(shè)計(jì)科學(xué)合理的板書（見下，一方面使學(xué)生加深對(duì)主要知識(shí)的印象，另一方面使

學(xué)生清楚本節(jié)內(nèi)容知識(shí)間的邏輯關(guān)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一、數(shù)積的概念1、概念：2、概念強(qiáng)調(diào)（1記法（）規(guī)”3、何意義

二、數(shù)量積的性質(zhì)三、數(shù)量積的運(yùn)算律

四、應(yīng)用與提高例1：例2：例3：五

教過設(shè)課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程，是教師和學(xué)生間互動(dòng)的過程，是師生共同發(fā)展的過程。為有序、有效地進(jìn)行教學(xué)課我主要安排以下六個(gè)活動(dòng)：活一創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣正如教材主編寄語所言，數(shù)學(xué)是自然的，而不是強(qiáng)加于人的。平面向量的數(shù)量積這一重要概念和量的線性運(yùn)算一也有其數(shù)學(xué)背景和物理背景為體現(xiàn)這一點(diǎn)，我設(shè)計(jì)以下幾個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：我們已經(jīng)研究了向量的些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？問題2：我們是怎么引入向量的法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用問題3：如圖所示，一物體在力F的用下產(chǎn)生位移S，（）F所的功W=。

Fα

（）請(qǐng)學(xué)們分析這個(gè)公式的點(diǎn)：W（功）是量（力是（位）是

量，量，α是。問1的計(jì)圖于學(xué)了數(shù)積數(shù)背，學(xué)生白節(jié)所研的數(shù)積向的法減及乘樣都向的算但向量線運(yùn)相，量運(yùn)又其殊，就其果生本的化問題2的計(jì)意圖在于使學(xué)生在向量加法類比的基礎(chǔ)上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學(xué)活動(dòng)指明方向。問題3的計(jì)意圖在于使學(xué)生了數(shù)量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的而生了進(jìn)一步研究這種新運(yùn)算的愿望。同時(shí)，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊?；疃骄繑?shù)量積的概念1、概念的抽象在分析“功”的計(jì)算公式的基礎(chǔ)上提出問題問題4你能用文字語言來表述的計(jì)算公式?果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？學(xué)生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學(xué)生事實(shí)上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步明晰數(shù)量積的概念。2、概念的明晰已知兩個(gè)非零向量a與們夾角為們把數(shù)量︱a︱b︱os做

11與

b

的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：a

·

b

，即：

·

b

=︱

︱·︱

b

︱cos

在強(qiáng)調(diào)記法和“規(guī)定”后，為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一概念，提出問題5問題5：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？并完成下表：角范0°≤°

=90°0°<180°

·

b

的符號(hào)通過此環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識(shí)到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律做好鋪墊。3、探究數(shù)量積的幾何意義這個(gè)問題教材是這樣安排的出向量數(shù)量積的概念后紹了向量投影的定義，直到講完例1后了明運(yùn)算的第三條才直接以結(jié)論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學(xué)生自己歸納出，所以做了調(diào)整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出題5。

得問如圖，我們把│

b

│（│a

│）叫做向量

b

在a

方向上（a

在

b

方向上）的投影，記做：=│

b

│cos

問題6：數(shù)量積的幾何意義是什？這樣做不僅讓學(xué)生“形的度重新認(rèn)識(shí)數(shù)量積的概念中體會(huì)數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時(shí)也更符合知識(shí)的連貫性，而且也節(jié)約了課時(shí)。4、研究數(shù)量積的物理意義

數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的習(xí)了數(shù)量積的概念后生會(huì)明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。為此，我設(shè)計(jì)以下問題一面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時(shí)也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。問題7：（）請(qǐng)同們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。（）試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運(yùn)動(dòng)：①、在水平面上位移為10米②、豎直下降10米③、豎直向上提升10米④、沿傾角為30度斜面向上運(yùn)動(dòng)10米；分別求重力做的功?；钊骄繑?shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的很好地完成這一探究活動(dòng)，在完成上述練習(xí)后，我不失時(shí)機(jī)地提出問題8（）嘗試練習(xí)中的①②③結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？（）較︱·與︱a︱×︱b︱大小，你有么結(jié)論？在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動(dòng)。2、明晰數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a和b都是非零向量，則1⊥b

·2當(dāng)與同向時(shí)，a·︱=b︱；當(dāng)a與b反向時(shí)，︱b=-︱b︱，特別地，·=a︱或︱=3︱a︱≤×b︱

aa

數(shù)量積的性質(zhì)3、性質(zhì)的證明這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識(shí)，更培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)?；钏奶骄繑?shù)量積的運(yùn)算律1、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)關(guān)于運(yùn)算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問題9問題9：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？通過此問題主要是想使學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，猜測(cè)提出數(shù)量積的運(yùn)算律。學(xué)生可能會(huì)提出以下猜測(cè)：①a

·

b

=

b

·a

②（

·

b

）

=

b

·

③（

+

b

）·c

·

b

·c猜測(cè)①的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜測(cè)②的正確性，我提示學(xué)生思考下面的問題：猜測(cè)②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？學(xué)生通過討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測(cè)②是不正確的。這時(shí)教師在肯定猜測(cè)③的基礎(chǔ)上明晰數(shù)量積的運(yùn)算律：2、明晰數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a、b、和實(shí)數(shù)，則：（1a=b

（2）（）·=λ（·b)=·（λ）（3（a+）·c=a·c+b·

3、證明運(yùn)算律學(xué)生獨(dú)立證明運(yùn)算律2）我把運(yùn)算運(yùn)算律（2）證明交學(xué)生完成，在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況為幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當(dāng)λ<0時(shí)量

與λ

，b

與λ

b

的方向的關(guān)如何？此時(shí)λ

與

b

及與λ的角與向a與的角相等嗎？師生共同證明運(yùn)算律3）運(yùn)算律3）的證明對(duì)學(xué)生來說比較困難的，為了節(jié)約課時(shí)，這個(gè)證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類比創(chuàng)新的意識(shí)，將知識(shí)的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起?；钗鍛?yīng)用與提高例1、（師生共同完成）已知︱︱，︱b︱4,a與b的角為60，求（+2）·（a-3，并思考此算過程類似于哪種運(yùn)算？例2、（學(xué)生獨(dú)立完成）對(duì)任意量

，否有以下結(jié)論：

（）

+

b

2

=

2

·

b

b2（）

+

b

·(

-

b

)=

2—

b2例3師生共同完成已知︱︱3b=4,且a與不線為值時(shí)，向量b與a-k互垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？本節(jié)教材共安排了四道例題根學(xué)生實(shí)際選擇了其中的三道對(duì)例1和例3增加了題后反思。例1是量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，我重點(diǎn)從對(duì)運(yùn)算原理的分析和運(yùn)算過程的規(guī)范書寫兩個(gè)方面加強(qiáng)示范。完成計(jì)算后，進(jìn)一步提出問題：此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？目的是想讓學(xué)生在類比多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上自己猜測(cè)提出例2給出兩個(gè)公式，由學(xué)生獨(dú)立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生通過類比這一思維模式達(dá)到創(chuàng)新的目的。例3的要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運(yùn)算律的同時(shí)，教給學(xué)生如何利用數(shù)量積來判斷兩個(gè)向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)給學(xué)生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理。為了使學(xué)生更好的理解數(shù)量積的含義練掌握性質(zhì)及運(yùn)算律能應(yīng)用數(shù)量積解決有關(guān)問題，再安排如下練習(xí)：1、下兩個(gè)命題正確嗎？為么？①、若≠0，則對(duì)任一非零向量，·≠．②、若≠0，·＝·，b＝c．2、已知△ABC中

AB

=

a

b

，a

·

b

<0或

·

b

＝時(shí)，試判斷△ABC的形狀。安排練習(xí)1的要目的是，使學(xué)在與實(shí)數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面認(rèn)識(shí)數(shù)量積這一重要運(yùn)算，通過練習(xí)2使生學(xué)會(huì)用數(shù)量積示兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價(jià)值。

1212活六小結(jié)提升與作業(yè)布置1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容什么？2、面向量數(shù)量積的兩個(gè)基本應(yīng)用是什么？3們是按照怎樣的思維模式進(jìn)概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運(yùn)算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？4、類比向量的線性運(yùn)算，我們應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？通過上述問