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第高三數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)歸納大全
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合A={-1,0,1},,則AB等于
A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{-1,0,1}
2.如是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)畫出的頻率分布直方,若80分以上為優(yōu)秀,根據(jù)形信息可知:
這次考試的優(yōu)秀率為
A.B.C.D.
3.給出如下四個(gè)命題:
①若且為假命題,則、均為假命題;
②命題若,則的否命題為若,則
③的否定是
④若,則.其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是
A.4B.3C.2D.1
4.三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.若三棱柱的正視(如所示)的面積為8,則側(cè)視的面積為
A.8B.4C.D.
5.已知平面向量、為三個(gè)單位向量,且.滿足(),則x+y的最大值為
A.1B.C.D.2
6.設(shè)F是拋物線C1:y2=2px(p0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A是拋物線與雙曲線C2:0,b0)的一條漸近線的一個(gè)公共點(diǎn),且AFx軸,則雙曲線的離心率為
A.B.C.D.2
7.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知總營(yíng)業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R=R(x)=則總利潤(rùn)最大時(shí),每年生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)是
A.100B.150C.200D.300
8.設(shè),若恒成立,則k的最大值為
A.6B.7C.8D.9
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.
(一)必做題(9~13題)
9.計(jì)算:=__________.
10.已知cos31=m,則sin239tan149的值是________
11.若滿足不等式組時(shí),恒有,則k的取值范圍是___.
12.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列中,使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的排列方式共有________種.(用數(shù)字作答)
13.設(shè)M1(0,0),M2(1,0),以M1為圓心,|M1M2|為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M3(不同于M2),記作⊙M1;以M2為圓心,|M2M3|為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M4(不同于M3),記作⊙M2;
以Mn為圓心,|MnMn+1|為半徑作圓交x軸于點(diǎn)Mn+2(不同于Mn+1),記作⊙Mn;
當(dāng)nN_時(shí),過原點(diǎn)作傾斜角為30的直線與⊙Mn交于An,Bn.考察下列論斷:
當(dāng)n=1時(shí),|A1B1|=2;
當(dāng)n=2時(shí),|A2B2|=;
當(dāng)n=3時(shí),|A3B3|=;
當(dāng)n=4時(shí),|A4B4|=;
由以上論斷推測(cè)一個(gè)一般的結(jié)論:對(duì)于nN_,|AnBn|=.
(二)選做題(14~15題,考生只能從中選做一題)
14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直線與直線平行,則直線的斜率為.
14..(幾何證明選講選做題)如,在△ABC中,AB=AC,以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D,切線DEAC,垂足為點(diǎn)E.則_______________.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
若的像與直線相切,并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列.
(1)求和的值;
(2)在⊿ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊。若是函數(shù)象的一個(gè)對(duì)稱中心,且a=4,求⊿ABC外接圓的面積。
17.(本小題滿分12分)
某地農(nóng)民種植A種蔬菜,每畝每年生產(chǎn)成本為7000元,A種蔬菜每畝產(chǎn)量及價(jià)格受天氣、市場(chǎng)雙重影響,預(yù)計(jì)明年雨水正常的概率為,雨水偏少的概率為.若雨水正常,A種蔬菜每畝產(chǎn)量為2023公斤,單價(jià)為6元/公斤的概率為,單價(jià)為3元/公斤的概率為;若雨水偏少,A種蔬菜每畝產(chǎn)量為1500公斤,單價(jià)為6元/公斤的概率為,單價(jià)為3元/公斤的概率為.
(1)計(jì)算明年農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率;
(2)在政府引導(dǎo)下,計(jì)劃明年采取公司加農(nóng)戶,訂單農(nóng)業(yè)的生產(chǎn)模式,某公司未來不增加農(nóng)民生產(chǎn)成本,給農(nóng)民投資建立大棚,建立大棚后,產(chǎn)量不受天氣影響,因此每畝產(chǎn)量為2500公斤,農(nóng)民生產(chǎn)的A種蔬菜全部由公司收購(gòu),為保證農(nóng)民的每畝預(yù)期收入增加1000元,收購(gòu)價(jià)格至少為多少
18.(本小題滿分14分)如,已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,DC平面ABC,AB=2,tanEAB=
(1)證明:平面ACD平面ADE;
(2)當(dāng)AC=x時(shí),V(x)表示三棱錐A-CBE的體積,當(dāng)V(x)取得最大值時(shí),求直線AD與平面ACE所成角的正弦值。
19.(本題滿分14分)已知:函數(shù)在點(diǎn)(0,)處的切線與x-y-1=0平行,且g(2)=,若為g(x)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求、的值及函數(shù)的解析式;
(2)如果關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20(本題滿分14分)
已知橢圓和圓,過橢圓上一點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為.
(1)(ⅰ)若圓過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求橢圓的離心率的值;
(ⅱ)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求橢圓離心率的取值范圍;
(2)設(shè)直線與軸、軸分別交于點(diǎn),問當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否為定值請(qǐng)證明你的結(jié)論.
21.(本題滿分14分)
設(shè)二次函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),有恒成立;數(shù)列滿足.
(1)求函數(shù)的解析式和值域;
(2)試寫出一個(gè)區(qū)間,使得當(dāng)時(shí),數(shù)列在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列,并說明理由;
(3)已知,是否存在非零整數(shù),使得對(duì)任意,都有恒成立,若存在,求之;若不存在,說明理由
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模擬試題
一、選擇題:(8小題,每小題5分,共40分)
1.tan(-990°)=()
A.0B.C.D.不存在
2.在一次運(yùn)動(dòng)員的選拔中,測(cè)得到7名選手身高(單位:cm)分布的莖葉圖如圖.已知記錄的平均身高為174cm,但有一名候選人的身高記錄不清楚,其末位數(shù)記為x,那么x的值為()
A.5B.6C.7D.8
3.一幾何體的正視圖和側(cè)視是全等的等腰梯形,上下底邊長(zhǎng)分別為2和4,腰長(zhǎng)為,俯視圖為二個(gè)同心圓,則該幾何體的體積為()
A.14πB.C.D.
4.定義:適合條件ab的復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)稱為“實(shí)大復(fù)數(shù)”,若復(fù)數(shù)為“實(shí)大復(fù)數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(2,+∞)
5.在數(shù)列{an}中,a1=1,數(shù)列{anan+2}是以3為公比的等比數(shù)列,則log3a2023等于()
A.1003B.1004C.1005D.1006
6.某通信公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼,卡號(hào)的前七位數(shù)字固定007,后四位從“0000”到“9999”共10000個(gè)號(hào)碼,公司規(guī)定:凡卡號(hào)的后四位帶數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠”卡來銷售,則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為()
A.2023B.4096C.5904D.8320
7.設(shè)雙曲線(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M、N,若=0,=,則該雙曲線的離心率為()
A.B.C.D.
8.若函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+1)+f(x)=1,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=1-x2,函數(shù)g(x)=,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,10]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()
A.9B.11C.13D.14
二、填空題:(7小題,每小題5分,共35分)
9.已知隨機(jī)變量X~N(2,σ2)(σ0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.3,則X在(4,+∞)內(nèi)的概率為。
10.當(dāng)a=1,b=3時(shí)執(zhí)行完右邊這段程序后x的值是。
11.已知函數(shù)f(x)=|x-k|+|x-2k|,若對(duì)任意的x∈R,f(x)≥f(3)=f(4)都成立,則k的取值范圍為。
12.已知函數(shù)的定義域是非零實(shí)數(shù),且在(-∞,0)上是增函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù),則最小的自然數(shù)a等于。
13.已知:如下圖,⊙O與⊙P相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P在⊙O上,⊙O的弦BC切⊙P于點(diǎn)B,CP及其延長(zhǎng)線交⊙P于D、E兩點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥CD交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若CD=2,CB=2,則CE=,EF=。007
14.已知點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部,且滿足,向△ABC內(nèi)任拋一點(diǎn)M,則點(diǎn)M落在△AOC內(nèi)的概率為。
15.某資料室在計(jì)算機(jī)使用中,如下表所示以一定規(guī)則排列的編碼,且從左至右以及從上到下都是無限的,此表中,主對(duì)角線上數(shù)列1,2,5,10,17,…的通項(xiàng)公式為,編碼100共出現(xiàn)次。
三、解答題:(6小題,第16,17,18題每題12分,第19,20,21題每題13分,共75分)
16.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,f`(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。
⑴求函數(shù)F(x)=f(x)f`(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;
⑵若f(x)=2f`(x),求的值。
17.某校參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖形的信息,回答下列問題:
⑴求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
⑵統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分;
⑶若從60名學(xué)生中隨抽取2人,抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)赱40,60)記0分,在[60,80)記1分,在[80,100]記2分,用ξ表示抽取結(jié)束后的總記分,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。
18.如圖,圓柱的軸截面ABCD是正方形,點(diǎn)E在底面圓周上,點(diǎn)F在DE上,且AF⊥DE,若圓柱的側(cè)面積與△ABE的面積之比等于4π.007
(Ⅰ)求證:AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A―BD―E的正弦值.
19.某電視生產(chǎn)企業(yè)有A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動(dòng),若企業(yè)投放A、B兩種型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值分別為a、b萬元,則農(nóng)民購(gòu)買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為萬元(m0且為常數(shù)).已知該企業(yè)投放總價(jià)值為10萬元的A、B兩種型號(hào)的電視機(jī),且A、B兩種型號(hào)的投放金額都不低于1萬元.
(1)請(qǐng)你選擇自變量,將這次活動(dòng)中農(nóng)民得到的`總補(bǔ)貼表示為它的函數(shù),并求其定義域;
(2)求當(dāng)投放B型電視機(jī)的金額為多少萬元時(shí),農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大
20.在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1:的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其中右焦點(diǎn)F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè),是否存在斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C1交于A、B兩點(diǎn),且|AE|=|BE|若存在,求k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
21.已知,其中x∈R,為參數(shù),且0≤≤。
(1)當(dāng)cos=0時(shí),判斷函數(shù)是否有極值;
(2)要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間(2a–1,a)內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)試題
一、選擇題
1.若點(diǎn)P是兩條異面直線l,m外的任意一點(diǎn),則()
A.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都平行
B.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都垂直
C.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都相交
D.過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都異面
答案:B命題立意:本題考查異面直線的幾何性質(zhì),難度較小.
解題思路:因?yàn)辄c(diǎn)P是兩條異面直線l,m外的任意一點(diǎn),則過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都垂直,故選B.
2.如圖,P是正方形ABCD外一點(diǎn),且PA平面ABCD,則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()
A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直
B.它們兩兩垂直
C.平面PAB與平面PBC垂直,與平面PAD不垂直
D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直
答案:A解題思路:DA⊥AB,DAPA,AB∩PA=A,DA⊥平面PAB,又DA平面PAD,平面PAD平面PAB.同理可證平面PAB平面PBC.把四棱錐P-ABCD放在長(zhǎng)方體中,并把平面PBC補(bǔ)全為平面PBCD1,把平面PAD補(bǔ)全為平面PADD1,易知CD1D即為兩個(gè)平面所成二面角的平面角,CD1D=APB,CD1D90°,故平面PAD與平面PBC不垂直.
3.設(shè)α,β分別為兩個(gè)不同的平面,直線lα,則“l(fā)β”是“αβ”成立的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案:A命題立意:本題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系的判定與充分必要條件的判斷,意在考查考生的邏輯推理能力.
解題思路:依題意,由lβ,lα可以推出αβ;反過來,由αβ,lα不能推出lβ.因此“l(fā)β”是“αβ”成立的充分不必要條件,故選A.
4.若m,n為兩條不重合的直線,α,β為兩個(gè)不重合的平面,則下列結(jié)論正確的是()
A.若m,n都平行于平面α,則m,n一定不是相交直線
B.若m,n都垂直于平面α,則m,n一定是平行直線
C.已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若mα,則nβ
D.m,n在平面α內(nèi)的射影互相垂直,則m,n互相垂直
答案:B解題思路:本題考查了空間中線面的平行及垂直關(guān)系.在A中:因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬芍本€可以平行,相交,異面,故A為假命題;在B中:因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,故B為真命題;在C中:n可以平行于β,也可以在β內(nèi),也可以與β相交,故C為假命題;在D中:m,n也可以不互相垂直,故D為假命題.故選B.
5.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng),另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),則MN的中點(diǎn)的軌跡的面積為()
A.4πB.2π
C.πD.-π
答案:D解題思路:本題考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.如圖可知,端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),連接ND,由ND,DM,MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形,設(shè)P為NM的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度為斜邊的一半可得,不論MDN如何變化,點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離始終等于1.故點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以D為中心,半徑為1的球的球面,其面積為.
技巧點(diǎn)撥:探求以空間圖形為背景的軌跡問題,要善于把立體幾何問題轉(zhuǎn)化到平面上,再聯(lián)合運(yùn)用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識(shí)去求解,實(shí)現(xiàn)立體幾何到解析幾何的過渡.
6.如圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為PA,PD的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論:
直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是()
A.1B.1
C.3D.4
答案:B解題思路:本題考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.畫出幾何體的圖形,如圖,由題意可知,直線BE與直線CF是異面直線,不正確,因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PA與PD的中點(diǎn),可知EFAD,所以EFBC,直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面直線,滿足異面直線的定義,正確;直線EF平面PBC,由E,F(xiàn)是PA與PD的中點(diǎn),可知EFAD,所以EFBC,因?yàn)镋F平面PBC,BC平面PBC,所以判斷是正確的;由題中條件不能判定平面BCE平面PAD,故不正確.故選B.
技巧點(diǎn)撥:翻折問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來,然后考查立體幾何的常見問題:垂直、角度、距離、應(yīng)用等問題.此類問題考查學(xué)生從二維到三維的升維能力,考查學(xué)生空間想象能力.解決該問題時(shí),不僅要知道空間立體幾何的有關(guān)概念,還要注意到在翻折的過程中哪些量是不變的,哪些量是變化的.
二、填空題
7.如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形CEFB為正方形,平面ABCD平面CEFB,CE=1,AED=30°,則異面直線BC與AE所成角的大小為________.
答案:45°解題思路:因?yàn)锽CAD,所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.
因?yàn)槠矫鍭BCD平面CEFB,且ECCB,
所以EC平面ABCD.
在RtECD中,EC=1,CD=1,故ED==.
在AED中,AED=30°,AD=1,由正弦定理可得=,即sinEAD===.
又因?yàn)镋AD∈(0°,90°),所以EAD=45°.
故異面直線BC與AE所成的角為45°.
8.給出命題:
異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;
兩異面直線a,b,如果a平行于平面α,那么b不平行于平面α;
兩異面直線a,b,如果a平面α,那么b不垂直于平面α;
兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線.
上述命題中,真命題的序號(hào)是________.
答案:解題思路:本題考查了空間幾何體中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.根據(jù)異面直線的定義知:異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線,故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個(gè)平面,故命題為假命題;若bα,則ab,即a,b共面,這與a,b為異面直線矛盾,故命題為真命題;兩條異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可以是:兩條平行直線、兩條相交直線、一點(diǎn)一直線,故命題為假命題.
9.如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個(gè)正六棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上,則該正六棱錐的體積的最大值為________.
答案:16命題立意:本題以球的內(nèi)接組合體問題引出,綜合考查了棱錐體積公式、利用導(dǎo)數(shù)工具處理函數(shù)最值的方法,同時(shí)也有效地考查了考生的運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力.
解題思路:設(shè)球心到底面的距離為x,則底面邊長(zhǎng)為,高為x+3,正六棱錐的體積V=_(9-x2)_6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中0≤x3,則V′=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.
10.已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,則三棱錐與球的體積之比為________.
答案:命題立意:本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計(jì)算方法,意在考查考生的空間想象能力與基本運(yùn)算能力.
解題思路:依題意,AB=2R,又=,ACB=90°,因此AC=R,BC=R,三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=PO·SABC=_R__R_R=R3.而球的體積V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=.
三、解答題
11.如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是正方形,點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn),A′A平面ABCD.
(1)求證:A′C平面BDE;
(2)求證:平面A′AC平面BDE.
解題探究:第一問通過三角形的中位線證明出線線平行,從而證明出線面平行;第二問由A′A與平面ABCD垂直得到線線垂直,再由線線垂直證明出BD與平面A′AC垂直,從而得到平面與平面垂直.
解析:(1)設(shè)AC交BD于M,連接ME.
四邊形ABCD是正方形,
M為AC的中點(diǎn).
又E為A′A的中點(diǎn),
ME為A′AC的中位線,
ME∥A′C.
又ME?平面BDE,
A′C?平面BDE,
A′C∥平面BDE.
(2)∵四邊形ABCD為正方形,BD⊥AC.
∵A′A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
A′A⊥BD.
又AC∩A′A=A,BD⊥平面A′AC.
BD?平面BDE,
平面A′AC平面BDE.
12.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC.
(1)求證:D1CAC1;
(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E平面A1BD,并說明理由.
命題立意:本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定,考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過已知條件中的線線垂直關(guān)系和線面垂直的判定證明線面垂直,從而證明線線的垂直關(guān)系.并通過線段的長(zhǎng)度關(guān)系,借助題目中線段的中點(diǎn)和三角形的中位線尋找出線線平行,證明出線面的平行關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)作圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造.
解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,連接C1D,DC=DD1,
四邊形DCC1D1是正方形,
DC1⊥D1C.
又ADDC,ADDD1,DC∩DD1=D,
AD⊥平面DCC1D1,
又D1C平面DCC1D1,
AD⊥D1C.
∵AD?平面ADC1,DC1平面ADC1,
且AD∩DC1=D,
D1C⊥平面ADC1,
又AC1平面ADC1,
D1C⊥AC1.
(1)題圖
(2)題圖
(2)連接AD1,AE,D1E,設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連接MN.
平面AD1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E平面A1BD,
可使MND1E,又M是AD1的中點(diǎn),
則N是AE的中點(diǎn).
又易知ABN≌△EDN,
AB=DE.
即E是DC的中點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí),可使D1E平面A1BD.
13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足BAC=90°,AB=AC=AA′=2,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(1)證明:MN平面A′ACC′;
(2)求三棱錐C-MNB的體積.
命題
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