高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目

高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目2011學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)五版）》期末模擬試卷一．填空題（共5小題，每小題4分，共計(jì)20分）1lim(exx)x2x01．.dxx.1xx1ee2005x2．1xyedyt2dtxyy(x)3．設(shè)函數(shù)由方程確定，則dxx0.1f(0)1fx，，則xtf(t)dtf(x)1fx4.設(shè)可導(dǎo)，且5．微分方程y4y4y0的通解為.二．選擇題（共4小題，每小題4分，共計(jì)16分）f(x)lnxxk1．設(shè)常數(shù)，則函數(shù)k0(0,)e在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）.(C)1個(gè);(D)0個(gè).(A)3個(gè);(B)2個(gè);2．微分方程y4y3cos2x的特解形式為（）.Acos2x;（B）yAxcos2x;Asin2x.（A）yAxcos2xBxsin2x;（D）y*（C）y3．下列結(jié)論不一定成立的是（）.c,da,bfxdxfxdxdb（A）若,則必有;cafxdx0bf(x)0ab,（B）若在上可積,則;aaTfxdxfxTfxdxaT（C）若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)都有;a0xtftdtfx（D）若可積函數(shù)為奇函數(shù),則也為奇函數(shù).01/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目11exfx123exx,則是的（）.0f(x)4.設(shè)(A)連續(xù)點(diǎn);(B)可去間斷點(diǎn);(C)跳躍間斷點(diǎn);(D)無(wú)窮間斷點(diǎn).三．計(jì)算題（共5小題，每小題6分，共計(jì)30分）2x3ex2dx1．計(jì)算定積分.0sindxcosx.5xx2．計(jì)算不定積分xa(tsint),t在處的切線的方程.ya(1cost),23．求擺線2/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目F(x)xcos(x2t)dt0F(x).4.設(shè)，求n(n1)(n2)(n3)(2n)xnlimx，求nn.n5．設(shè)四．應(yīng)用題（共3小題，每小題9分，共計(jì)27分）1．求由曲線yx2與該曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線及軸所圍圖形的面積.x3/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目xy22xyxx22．設(shè)平面圖形與所確定，試求D繞直線生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.2D由旋轉(zhuǎn)一周所3.設(shè)a1,ftaat在()(,)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a).問(wèn)為何值時(shí)t(a)最小?并求at最小值.五．證明題（7分）f(0)=f(1)0,f(1)1，(0,1)上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)且設(shè)函數(shù)在f(x)[0,1]2在(0,1),使得f()=1.試證明至少存在一點(diǎn)4/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目答案詳解一．填空題（每小題4分，5題共20分）：1lim(exx)x21e21．2．.x0141xxeedx2005xxe.1xyet2dtxdye1.yy(x)3．設(shè)函數(shù)由方程確定，則dxx01fxxtf(t)dtf(x)，f(0)1，則1fxx2e24.設(shè)可導(dǎo)，且.1yCCxex()25．微分方程y4y4y0的通解為12.二．選擇題（每小題4分，4題共16分）：f(x)lnxxk1．設(shè)常數(shù)，則函數(shù)k0(0,)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（B）.e(A)3個(gè);(B)2個(gè);(C)1個(gè);(D)0個(gè).2．微分方程y4y3cos2x的特解形式為（C）Acos2x；（B）yAxcos2x；Asin2x（A）yAxcos2xBxsin2x；（D）（C）yy*3．下列結(jié)論不一定成立的是（A）c,da,bfxdxfxdxdb(A)(A)若,則必有;cafxdx0bf(x)0ab,(B)(B)若在上可積,則;afxTa(C)(C)若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)都有aTfxdxTfxdx;a0fxxtftdt(D)(D)若可積函數(shù)為奇函數(shù),則也為奇函數(shù).011exfx123exx0f(x)4.設(shè),則是的（C）.(B)可去間斷點(diǎn);(A)連續(xù)點(diǎn);(C)跳躍間斷點(diǎn);(D)無(wú)窮間斷點(diǎn).5/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目三．計(jì)算題（每小題6分，5題共30分）：2x3ex2dx.1．計(jì)算定積分01tetdt12tdet設(shè)x2t,則2x3ex2dx20220解：-------201te22etdtt200-------22e212ete213022--------2xxsindxcosx.52．計(jì)算不定積分xsinxdx1xd(1)1xdxcos5x4cos4x4cos4xcos4x解：--------3x1(tan2x1)dtanx4cos4x41tan3x1tanxCx4cos4x124-----------3xa(tsint),t在處的切線的方程.ya(1cost),23．求擺線2(a(1),a)解：切點(diǎn)為-------2asinta(1cots)kdydxtt21-------22yaxa(1)yx(22)a2切線方程為即.-------2F(x)xcos(xt)dt2，則F(x)2xcosx2(2x1)cos(x2x).4.設(shè)0n(n1)(n2)(n3)(2n)xnlimx，求nn.n5．設(shè)lnx1ln1(i)nnnn解：---------2i1limlnxlimln(1i)11ln(1x)dxnnnnnni10--------------2------------2xln(1x)11x1dx2ln211x0=04limxe2ln21e故=nn6/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目四．應(yīng)用題（每小題9分，3題共27分）1．求由曲線yx2x與該曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線及軸所圍圖形的面積.解：1yx22x（x,y)設(shè)切點(diǎn)為，則過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，0004,xy（x,y)2.-----3由于點(diǎn)在切線上，帶入切線方程，解得切點(diǎn)為0000xy(4,2)22過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程為-----------------------------3222(y222y)dy2=s3面積-------------------30s2或1xdx4(1xxdx222)0222232xy22xyxx2與所確定，試求一周所生成的D繞直線旋轉(zhuǎn)22．設(shè)平面圖形D由旋轉(zhuǎn)體的體積.VVV解：法一：1212(11y)2dy(2y)2dy120021y(y1)dy1220-------6121(y1)2(1)343043--------321(2x)(2xx2x)dxV=法二：021(2x)2xx2dx21(2xx2)dx------------------5007/8高數(shù)(同濟(jì)五版上冊(cè))期末考試題目(22x)2xx222xx2dx431011231443(2xx2)2203214122232323-------------43.設(shè)a1,f(t)aat(,)t(a).t(a)a內(nèi)的駐點(diǎn)為問(wèn)為何值時(shí)最小?并求最t在小值.由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna解:---------------3------------3又由t(a)lnlna10得唯一駐點(diǎn)aeea(lna)2當(dāng)aee時(shí),t(a)0;當(dāng)aee時(shí),t(a)0,于是aee為t(a)的極小值點(diǎn).-----2aee為t(a)的最小值點(diǎn),最小值為t(ee)1lnee11.e--------------1故五．證明題（7分）f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)且f(0)=f(1)0,f(1)1，2設(shè)函數(shù)內(nèi)f()=1.一點(diǎn)使得(0,1)證明至少存在試,F(x)f(x)x，F(xiàn)(x)在[0,1]上連續(xù)在(0,1)可導(dǎo)，因f(0)=f(1)=0,證明：設(shè)有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------21F(1)=f()-=1-1=1，[，1]111F(x)用零點(diǎn)定理，2在上f()=1又由，知22222211F(1)F(