2014年tct教案第三輪及知識(shí)點(diǎn)梳理2三角數(shù)列

學(xué)員編號(hào) 級(jí)：高 課時(shí)數(shù)：學(xué) 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師4、P57練習(xí)［2］方程sinxx的解的個(gè)數(shù)為＿＿＿＿個(gè)分析：ysinxyxysinxyxx1xsinx恒成立.在x )時(shí)，sinxx，所以兩函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)即方程sinxx只有2個(gè)解x

時(shí)，方程tgxxx02定區(qū)間、求角（或根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較出兩個(gè)角的大?。?比如：由tgtg未必有；由同樣未必有tgtgsinsin；則2k2kkZ；若coscos，則2kkZ；若tgtg，則kkZ［1］已知都是第一象限的角，則“sinsin”的――（都是第一象限的角，不能說(shuō)明此兩角在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).3

3

63

6

.［舉例2］已知0,0,，則“”是“sinsin”的 分析：注意到由,(0,，則可以看作是一三角形的兩內(nèi)角.的值求sin,cos的值的操作程序；給（一個(gè)角的三角函數(shù)）值求（另一個(gè)三角函數(shù)）值的問(wèn)題，一般要用“給 ［1］已知是第二象限的角，且cosa，利用a表示tg1a1a21a分析：由cosa知sin

，tg

cos ［2］已知6sin2sincos2cos20,,，求sin(2的值22sincos022又(,2.由萬(wàn) 得sin2，cos25.知sin(23)253331由所以tg

：6tgtg20tg

或tg 2.25、欲求三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間等，應(yīng)注意運(yùn)用二倍角正（余） ，半 降次即，sin2x1(1cos2x),cos2x1(1cos2x)；引入輔助角（特別注意 ，

（合二為一將所給的三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式.函數(shù)y|Asin(x)|的周期是函數(shù)yAsin(x)周期的一半.［舉例］f(x)2cos2x23sinxcosx1的最小正周期為＿＿＿＿＿；最大值為＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在區(qū)間[0,2]f(x)1的解集為分析：f(x)2cos2x

3sinxcosx1cos2x

3sin2x2sin(2x5.f(x6期為2；單調(diào)遞增區(qū)間滿足2x5[2k，2k](kZ[k2k](kZ由f(x)1，則

sin(2x

)1，2x2k或2x2k得xk62666632xk(kZ)，又由x[0,2]得解集為 3

,0,3的應(yīng)用：asinxbcosx

sinx.其中tgb所在的象限與點(diǎn)(aa2a226xyAsin(x的值域，應(yīng)先確定x數(shù)的圖像或單調(diào)性來(lái)確定sin(xAx取值范圍的兩端點(diǎn)代入表達(dá)式［舉例］f(x)2sinx(sinxcosxx[0,f(x的最大值與最小值

f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x

2sin(x1.4

x[0,]，則2x[3sinx 2,1f(x2

1與0 27、三角形中邊角運(yùn)算時(shí)通常利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為角（或邊）處理.有關(guān)abc的齊次式（

sin

sin

sin

2R（R是△ABC外接圓半徑［舉例］在△ABC中，abc分別是ABC對(duì)邊的長(zhǎng).已知abc成等比數(shù)列，且a2c2acbc，求bsinc

的值分析：abc成等比數(shù)列得b2ac，則a2c2acbc化成b2c2a2bc，由余弦定理得cosA

b2c2a

1，A

.由b2acc

aba

bsinB

=b

sinAsin 3 3cosA，

B2

A，sin

B2

2且僅當(dāng)B 31（1）（2）的取值范圍

a2c2分析：（1）由△ABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列，則2bac，cosB ，消去b化3(a2c2 cosB .所以B ].（2）同樣可以求得B ]. ［舉例2］在△ABC中，若2cosBsinAsinC，則△ABC的形狀一定是 分析：在三角形 中

sinCsinABsinAcosBcosAsinB2cosBsinA，則sinAcosBcosAsinB0sinAB)0AB.所以△ABC是等腰三角形［3］△ABCA、B、C的對(duì)邊分別為abc，已知abc成等比數(shù)列，且cosB343求ctgActgC（2）BABC

，求ac的值2（1）先切化弦：ctgActgCcosAcosCsin(AC)

sin

.由ab

成等比，sin sin sinAsin

sinAsinb2acsin2BsinAsinCctgActgC

sin

.由cosB3得sinB4

7ctgActgC47 BABCaccosB3ac3ac2

b22.又由余弦定理得：b2a2c22accosB a2c25(ac)2a22acc29ac3.29、sinxcosx,sinxcosx,sinxcosx求值過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到，要能熟練地掌握它們之間的關(guān)系式：(sinxcosx)212sinxcosx.求值時(shí)能根據(jù)角的［1］x的方程sin2xa(sinxcosx20有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：由(sinxcosx)2sin2x2sinxcosxcos2x1sin2x，令sinxcosxt，則sin2xt21中t[

2].則關(guān)于t的方程t2at10在t[

2上有解.注意到方程t2at10若有實(shí)根必有一根在[1,10即可，得a2或a21［2］已知(0,且sincos5

，則tg分析：

sincos5

2sincos24

，又由(0,

2

,

.則有sin0cos0(sincos)212sincos49，得sincos7.有sin3cos4 所以tg34ytgxyctgx的圖像沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸，它們的對(duì)稱(chēng)中心為2

,0kZ.個(gè)周期.［1］f(x)sin2xf(xt是偶函數(shù)，則滿足條件的最小正數(shù)t分析：最小正數(shù)t 4［舉例2］若函數(shù)f(x)asinxcosx的圖像關(guān)于點(diǎn) ,0)成中心對(duì)稱(chēng)，則a3

a 333［舉例3］若函數(shù)f(x)asinxcosx的圖像關(guān)于直線x=π/4成中心對(duì)稱(chēng)，則a

dnbn項(xiàng)和

dn2cn（d為公差，nN）.證明某數(shù)列是等差（比2數(shù)列，通常利用等差（比）an1

是常數(shù)(nN(an1=nNa證明連續(xù)三項(xiàng)成等差（比）數(shù)列.即對(duì)于任意的自然數(shù)n

（

an1［舉例］數(shù)列

a1

(nN)

an1求證：數(shù)列

（2）

1

是常數(shù).

an2

1

1.21 數(shù)列 }是等差數(shù)列.

1，則111(n1)n1，所以a

n36nnn項(xiàng)和（即連續(xù)相等項(xiàng)的和）n項(xiàng)和（［1］已知數(shù)列{anSn是其前nS48S820S12分析：S4S8S4S12S8是等差數(shù)列的連續(xù)4項(xiàng)的和，它們成等差數(shù)列.S12S816S1236［2］已知數(shù)列{an是等比數(shù)列，Tn是其前n項(xiàng)的積，T45,T820，則T1244分析：由TT8T12成等比，則(T8)244

T12，所以

(T8)364T T

TT37、在等差數(shù)列{anmnpq(mn,pqN)amanapaq；在等比數(shù)列{an中，若TTmnpq(mn,pqNamanapaq等差（等比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì)［舉例］數(shù)列{an}a4a7512a3a8124，且公比q為整數(shù)，則a10的值為a3a8

a3

a3

a3aa888分析：由a4a7a3a8得aa8883

512

公比q2

aq2512838、等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)a10d0n項(xiàng)和存在最大值.a10且公差d0n8an0(值.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值可以利用不等式組

aa

0(0)nn［1］若{an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10a2006a20070a2006a20070，則（1）使前nSn數(shù)n是＿＿（2）使前n項(xiàng)和Sn0的最大自然數(shù)n 分析：由條件可以看出a20060a20070，可知S2006Sn2006；由a2006a20070a1

0

4012(a1a4012)02

4013

0，則使

［2］在等差數(shù)列{an中，滿足3a47a7且a10Sn是數(shù)列前n項(xiàng)的和.若Sn取得最大值，則n來(lái)解決.由3a7a

)6(7)3(3

a

4(n

374na.n9

33

an0，當(dāng)n10an0，所以n9

q39、數(shù)列{an是等比數(shù)列，其前nSnq的分段函數(shù)

a(1qn ,q

不是具體數(shù)值時(shí)，則要進(jìn)行討論

11［1］數(shù)列{an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為SnlimSn

，求a1的取值范圍n注意到等比數(shù)列的公比是不為零的常數(shù)，前n項(xiàng)和存在的前提條件是|q|1，且limn

，知1111 1，則a21qa2(0,11,2，則111

1 1［舉例2］數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a11，公比q1，求 的值n分析：涉及到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題不能直接的應(yīng) ，要考慮到公比的取值情況.當(dāng)q1時(shí)1Snna1n，此時(shí)1

lim

0q1Sn

1

，則lim1lim1n1

nSn 1q

n

1

n本元”解決.學(xué)會(huì)用任意兩項(xiàng)關(guān)系：若{an｝是等差數(shù)列，則對(duì)于任意自然數(shù)mn有anamnm)d；若{an是等比數(shù)列，則對(duì)于任意的自然數(shù)m,n，有anamqnm.在這兩關(guān)系式中若取m1，這就是等差（比）數(shù)列的 ［1］已知數(shù)列{an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，且3a55a70.若此數(shù)列的前nSn，問(wèn)Sn4分析：對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，等差數(shù)列的基本性質(zhì)用不上，可以化歸為首項(xiàng)與公差來(lái)解決.設(shè)此數(shù)列的公差為d43(a14d5(a16d)0d21a1a10d0，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故Sn 知：

a(n

4a)254n

n6

0，當(dāng)n7 21

an0.S6最大.綜上知，當(dāng)n6Sn最大，不存在最小值

}中，首項(xiàng)a1，且a3a51.n項(xiàng)積為T(mén)，問(wèn)T說(shuō)明理由

an anTn最大（小則應(yīng)滿足 )6464

1an143q，則(a1q43

(a1q

1q

421.ana1

21

.a11n6an1n7an1.n6時(shí)，T6最大，Tn沒(méi)有最小值數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)來(lái)揭示.我們知道：若數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，記bnlogman(m0m1，則數(shù)列{bn}差數(shù)列.反之若數(shù)列{a}是等差數(shù)列，記bman(m0，則數(shù)列是等比數(shù)列

nS41、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通 時(shí)，要注意分段anSn

n2a1滿足anSnSn1,(n2)時(shí)，才能用一 表示［舉例］已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(a2)n2na.若{an}是等差數(shù)列，求{an}的通

(a2)n2nan1

2a1，當(dāng)n2

Sn112(a2)n3a)n2時(shí)，an1an2(a2)，而a2a1a4若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則12(a2)a4，所以a0.an4n3

+a

g(nn乘（約項(xiàng)）法［舉例］數(shù)列{an}滿足a11,an3n1an1(n2)，求數(shù)列{an}的通 分析：解決這種遞推數(shù)列的思想方法實(shí)質(zhì)上是等差、等比數(shù)列求通 的思想方法.等差數(shù)列的基本遞推關(guān)系

da

qnan

3n1

3n2

由題知：

3n3(n2)相加得：nn

3n13n232

1，所以 a2a1 13n

3nan

(n2)，而a1滿足此式，則an

(nN)243、一次線性遞推關(guān)系：數(shù)列{ana1aan1banc,(a,bc是常數(shù)）是最重要的遞推關(guān)系式，可以看出當(dāng)b1時(shí)，此數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)c0（b0時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列.解決此遞推的方法是通過(guò)代換（令bnank)化成等比數(shù)列求解.［舉例］已知數(shù)列{ana11an12an1nN)，求此數(shù)列的通項(xiàng)n 分析a2a1得：a12(a1知數(shù)列{a1}22，所以a12n 積累a萬(wàn)元根據(jù)預(yù)測(cè)從今年開(kāi)始以后每年的 積累會(huì)在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)20%，但每年底要留出b萬(wàn)元作為 金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使 積累翻一番，求b的最大值.設(shè)從今年開(kāi)始每年底該企業(yè) 積累為a萬(wàn)元，則

a(120%)b5a