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學(xué)員編號(hào) 級(jí):高 課時(shí)數(shù):學(xué) 輔導(dǎo)科目:數(shù)學(xué) 學(xué)科教師4、P57練習(xí)[2]方程sinxx的解的個(gè)數(shù)為____個(gè)分析:ysinxyxysinxyxx1xsinx恒成立.在x )時(shí),sinxx,所以兩函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn)即方程sinxx只有2個(gè)解x
時(shí),方程tgxxx02定區(qū)間、求角(或根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較出兩個(gè)角的大?。?比如:由tgtg未必有;由同樣未必有tgtgsinsin;則2k2kkZ;若coscos,則2kkZ;若tgtg,則kkZ[1]已知都是第一象限的角,則“sinsin”的――(都是第一象限的角,不能說(shuō)明此兩角在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).3
3
63
6
.[舉例2]已知0,0,,則“”是“sinsin”的 分析:注意到由,(0,,則可以看作是一三角形的兩內(nèi)角.的值求sin,cos的值的操作程序;給(一個(gè)角的三角函數(shù))值求(另一個(gè)三角函數(shù))值的問(wèn)題,一般要用“給 [1]已知是第二象限的角,且cosa,利用a表示tg1a1a21a分析:由cosa知sin
,tg
cos [2]已知6sin2sincos2cos20,,,求sin(2的值22sincos022又(,2.由萬(wàn) 得sin2,cos25.知sin(23)253331由所以tg
:6tgtg20tg
或tg 2.25、欲求三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間等,應(yīng)注意運(yùn)用二倍角正(余) ,半 降次即,sin2x1(1cos2x),cos2x1(1cos2x);引入輔助角(特別注意 ,
(合二為一將所給的三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式.函數(shù)y|Asin(x)|的周期是函數(shù)yAsin(x)周期的一半.[舉例]f(x)2cos2x23sinxcosx1的最小正周期為_____;最大值為__;______________;在區(qū)間[0,2]f(x)1的解集為分析:f(x)2cos2x
3sinxcosx1cos2x
3sin2x2sin(2x5.f(x6期為2;單調(diào)遞增區(qū)間滿足2x5[2k,2k](kZ[k2k](kZ由f(x)1,則
sin(2x
)1,2x2k或2x2k得xk62666632xk(kZ),又由x[0,2]得解集為 3
,0,3的應(yīng)用:asinxbcosx
sinx.其中tgb所在的象限與點(diǎn)(aa2a226xyAsin(x的值域,應(yīng)先確定x數(shù)的圖像或單調(diào)性來(lái)確定sin(xAx取值范圍的兩端點(diǎn)代入表達(dá)式[舉例]f(x)2sinx(sinxcosxx[0,f(x的最大值與最小值
f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x
2sin(x1.4
x[0,],則2x[3sinx 2,1f(x2
1與0 27、三角形中邊角運(yùn)算時(shí)通常利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為角(或邊)處理.有關(guān)abc的齊次式(
sin
sin
sin
2R(R是△ABC外接圓半徑[舉例]在△ABC中,abc分別是ABC對(duì)邊的長(zhǎng).已知abc成等比數(shù)列,且a2c2acbc,求bsinc
的值分析:abc成等比數(shù)列得b2ac,則a2c2acbc化成b2c2a2bc,由余弦定理得cosA
b2c2a
1,A
.由b2acc
aba
bsinB
=b
sinAsin 3 3cosA,
B2
A,sin
B2
2且僅當(dāng)B 31(1)(2)的取值范圍
a2c2分析:(1)由△ABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列,則2bac,cosB ,消去b化3(a2c2 cosB .所以B ].(2)同樣可以求得B ]. [舉例2]在△ABC中,若2cosBsinAsinC,則△ABC的形狀一定是 分析:在三角形 中
sinCsinABsinAcosBcosAsinB2cosBsinA,則sinAcosBcosAsinB0sinAB)0AB.所以△ABC是等腰三角形[3]△ABCA、B、C的對(duì)邊分別為abc,已知abc成等比數(shù)列,且cosB343求ctgActgC(2)BABC
,求ac的值2(1)先切化弦:ctgActgCcosAcosCsin(AC)
sin
.由ab
成等比,sin sin sinAsin
sinAsinb2acsin2BsinAsinCctgActgC
sin
.由cosB3得sinB4
7ctgActgC47 BABCaccosB3ac3ac2
b22.又由余弦定理得:b2a2c22accosB a2c25(ac)2a22acc29ac3.29、sinxcosx,sinxcosx,sinxcosx求值過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到,要能熟練地掌握它們之間的關(guān)系式:(sinxcosx)212sinxcosx.求值時(shí)能根據(jù)角的[1]x的方程sin2xa(sinxcosx20有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析:由(sinxcosx)2sin2x2sinxcosxcos2x1sin2x,令sinxcosxt,則sin2xt21中t[
2].則關(guān)于t的方程t2at10在t[
2上有解.注意到方程t2at10若有實(shí)根必有一根在[1,10即可,得a2或a21[2]已知(0,且sincos5
,則tg分析:
sincos5
2sincos24
,又由(0,
2
,
.則有sin0cos0(sincos)212sincos49,得sincos7.有sin3cos4 所以tg34ytgxyctgx的圖像沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸,它們的對(duì)稱(chēng)中心為2
,0kZ.個(gè)周期.[1]f(x)sin2xf(xt是偶函數(shù),則滿足條件的最小正數(shù)t分析:最小正數(shù)t 4[舉例2]若函數(shù)f(x)asinxcosx的圖像關(guān)于點(diǎn) ,0)成中心對(duì)稱(chēng),則a3
a 333[舉例3]若函數(shù)f(x)asinxcosx的圖像關(guān)于直線x=π/4成中心對(duì)稱(chēng),則a
dnbn項(xiàng)和
dn2cn(d為公差,nN).證明某數(shù)列是等差(比2數(shù)列,通常利用等差(比)an1
是常數(shù)(nN(an1=nNa證明連續(xù)三項(xiàng)成等差(比)數(shù)列.即對(duì)于任意的自然數(shù)n
(
an1[舉例]數(shù)列
a1
(nN)
an1求證:數(shù)列
(2)
1
是常數(shù).
an2
1
1.21 數(shù)列 }是等差數(shù)列.
1,則111(n1)n1,所以a
n36nnn項(xiàng)和(即連續(xù)相等項(xiàng)的和)n項(xiàng)和([1]已知數(shù)列{anSn是其前nS48S820S12分析:S4S8S4S12S8是等差數(shù)列的連續(xù)4項(xiàng)的和,它們成等差數(shù)列.S12S816S1236[2]已知數(shù)列{an是等比數(shù)列,Tn是其前n項(xiàng)的積,T45,T820,則T1244分析:由TT8T12成等比,則(T8)244
T12,所以
(T8)364T T
TT37、在等差數(shù)列{anmnpq(mn,pqN)amanapaq;在等比數(shù)列{an中,若TTmnpq(mn,pqNamanapaq等差(等比)數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì)[舉例]數(shù)列{an}a4a7512a3a8124,且公比q為整數(shù),則a10的值為a3a8
a3
a3
a3aa888分析:由a4a7a3a8得aa8883
512
公比q2
aq2512838、等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)a10d0n項(xiàng)和存在最大值.a10且公差d0n8an0(值.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值可以利用不等式組
aa
0(0)nn[1]若{an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a10a2006a20070a2006a20070,則(1)使前nSn數(shù)n是__(2)使前n項(xiàng)和Sn0的最大自然數(shù)n 分析:由條件可以看出a20060a20070,可知S2006Sn2006;由a2006a20070a1
0
4012(a1a4012)02
4013
0,則使
[2]在等差數(shù)列{an中,滿足3a47a7且a10Sn是數(shù)列前n項(xiàng)的和.若Sn取得最大值,則n來(lái)解決.由3a7a
)6(7)3(3
a
4(n
374na.n9
33
an0,當(dāng)n10an0,所以n9
q39、數(shù)列{an是等比數(shù)列,其前nSnq的分段函數(shù)
a(1qn ,q
不是具體數(shù)值時(shí),則要進(jìn)行討論
11[1]數(shù)列{an是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為SnlimSn
,求a1的取值范圍n注意到等比數(shù)列的公比是不為零的常數(shù),前n項(xiàng)和存在的前提條件是|q|1,且limn
,知1111 1,則a21qa2(0,11,2,則111
1 1[舉例2]數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)a11,公比q1,求 的值n分析:涉及到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題不能直接的應(yīng) ,要考慮到公比的取值情況.當(dāng)q1時(shí)1Snna1n,此時(shí)1
lim
0q1Sn
1
,則lim1lim1n1
nSn 1q
n
1
n本元”解決.學(xué)會(huì)用任意兩項(xiàng)關(guān)系:若{an}是等差數(shù)列,則對(duì)于任意自然數(shù)mn有anamnm)d;若{an是等比數(shù)列,則對(duì)于任意的自然數(shù)m,n,有anamqnm.在這兩關(guān)系式中若取m1,這就是等差(比)數(shù)列的 [1]已知數(shù)列{an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a10,且3a55a70.若此數(shù)列的前nSn,問(wèn)Sn4分析:對(duì)于本題來(lái)說(shuō),等差數(shù)列的基本性質(zhì)用不上,可以化歸為首項(xiàng)與公差來(lái)解決.設(shè)此數(shù)列的公差為d43(a14d5(a16d)0d21a1a10d0,所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,故Sn 知:
a(n
4a)254n
n6
0,當(dāng)n7 21
an0.S6最大.綜上知,當(dāng)n6Sn最大,不存在最小值
}中,首項(xiàng)a1,且a3a51.n項(xiàng)積為T(mén),問(wèn)T說(shuō)明理由
an anTn最大(小則應(yīng)滿足 )6464
1an143q,則(a1q43
(a1q
1q
421.ana1
21
.a11n6an1n7an1.n6時(shí),T6最大,Tn沒(méi)有最小值數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)來(lái)揭示.我們知道:若數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列,記bnlogman(m0m1,則數(shù)列{bn}差數(shù)列.反之若數(shù)列{a}是等差數(shù)列,記bman(m0,則數(shù)列是等比數(shù)列
nS41、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求數(shù)列的通 時(shí),要注意分段anSn
n2a1滿足anSnSn1,(n2)時(shí),才能用一 表示[舉例]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn(a2)n2na.若{an}是等差數(shù)列,求{an}的通
(a2)n2nan1
2a1,當(dāng)n2
Sn112(a2)n3a)n2時(shí),an1an2(a2),而a2a1a4若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則12(a2)a4,所以a0.an4n3
+a
g(nn乘(約項(xiàng))法[舉例]數(shù)列{an}滿足a11,an3n1an1(n2),求數(shù)列{an}的通 分析:解決這種遞推數(shù)列的思想方法實(shí)質(zhì)上是等差、等比數(shù)列求通 的思想方法.等差數(shù)列的基本遞推關(guān)系
da
qnan
3n1
3n2
由題知:
3n3(n2)相加得:nn
3n13n232
1,所以 a2a1 13n
3nan
(n2),而a1滿足此式,則an
(nN)243、一次線性遞推關(guān)系:數(shù)列{ana1aan1banc,(a,bc是常數(shù))是最重要的遞推關(guān)系式,可以看出當(dāng)b1時(shí),此數(shù)列是等差數(shù)列,當(dāng)c0(b0時(shí),此數(shù)列是等比數(shù)列.解決此遞推的方法是通過(guò)代換(令bnank)化成等比數(shù)列求解.[舉例]已知數(shù)列{ana11an12an1nN),求此數(shù)列的通項(xiàng)n 分析a2a1得:a12(a1知數(shù)列{a1}22,所以a12n 積累a萬(wàn)元根據(jù)預(yù)測(cè)從今年開(kāi)始以后每年的 積累會(huì)在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)20%,但每年底要留出b萬(wàn)元作為 金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使 積累翻一番,求b的最大值.設(shè)從今年開(kāi)始每年底該企業(yè) 積累為a萬(wàn)元,則
a(120%)b5a
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