《數(shù)學(xué)物理方法》第六章-勒讓德函數(shù)

篇特殊函數(shù)與狄拉克d函數(shù)

本篇介紹勒讓德(Legendre)函數(shù)，貝塞爾(Bessel)函數(shù);狄拉克(Dirac)d函數(shù)的來(lái)源、定義和性質(zhì)第6章勒讓德函數(shù)本章首先求出勒讓德方程和關(guān)聯(lián)勒讓德方程的有界解(稱為相應(yīng)方程的本征函數(shù))，進(jìn)而給出它們的微分表達(dá)式，積分表達(dá)式，母函數(shù)，遞推公式，正交性、正交歸一關(guān)系式與完備性等．§6.1勒讓德方程與勒讓德多項(xiàng)式本節(jié)首先介紹二階線性齊次常微分方程的級(jí)數(shù)解法，隨后求出勒讓德方程的通解，舍去不符合有界性條件的特解，最后規(guī)定最高次冪項(xiàng)系數(shù)，即得勒讓德多項(xiàng)式．§6.1.1二階線性齊次常微分方程的級(jí)數(shù)解法二階線性齊次常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是式中w(z)是待求的復(fù)變函數(shù);p(z)和q(z)是已知的復(fù)變函數(shù)，稱為方程的系數(shù)．一般來(lái)說(shuō)，方程在復(fù)平面的不同區(qū)域的解可以有不同的形式．通常的間題是：求方程在某點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)滿足一定條件[如初始條件w(z0)=C0,w?(z0)=C1]的解．2021/5/94級(jí)數(shù)解法對(duì)方程沒(méi)有特殊的要求．它的基本方法是：把方程的解表示為以z0為中心、帶有待定系數(shù)的冪級(jí)數(shù)，將這個(gè)冪級(jí)數(shù)代入方程及定解條件，求出所有待定系數(shù)即可．方程(6.1.1)的解的形式由方程的系數(shù)p(z)及q(z)的解析性決定．2021/5/95常點(diǎn)、正則奇點(diǎn)、非正則奇點(diǎn)如果p(z)和q(z)在z0點(diǎn)的鄰域解析，z0稱為方程的常點(diǎn)；如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一階極點(diǎn)，ⅱ)q(z)的二階極點(diǎn)，z0稱為方程的正則奇點(diǎn)；注：[ⅰ)或ⅱ)]=[

ⅰ)和ⅱ)]如果z0不滿足上面兩種條件，則z0稱為方程配非正則奇點(diǎn)。2021/5/96定理1在常點(diǎn)z0的鄰域|z-z0|<R內(nèi)，方程(6.1.1)有唯一滿足初始條件初始條件w(z0)=C0,w?(z0)=C1

的冪級(jí)數(shù)解(6.1.2)2021/5/97定理2在正則奇點(diǎn)z0的鄰域|z-z|<R內(nèi)，方程的解為C0≠0

，D0≠0。r1和r2稱為方程的指標(biāo)方程2021/5/98指標(biāo)方程的確定：將代入方程(6.1.1)，由最低次冪項(xiàng)的系數(shù)和為零得到r的方程(稱為指標(biāo)方程)，方程的兩個(gè)根就是r1和r2(取r1≥r2)．w2(z)含或不含對(duì)數(shù)項(xiàng)，取決

r1和r2是否為零與整數(shù)；系數(shù)a是否為零而定2021/5/99定理1和定理2的證明見(jiàn)有關(guān)專著①．本篇將用兩個(gè)非常重要的例子說(shuō)明二階線性齊次常微分方程的級(jí)數(shù)解法．第6章以勒讓德方程為例(在常點(diǎn)的鄰域求解)，第7章以貝塞爾方程為例(在正則奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)求解)．若討論的方程是實(shí)數(shù)方程，自變量可用x表示，函數(shù)可用y表示，即方程(6.1．1)可改寫為y"(x)＋p(x)y?(x)＋q(x)y(x)＝0(6.1.5)2021/5/910§6.1.2勒讓德方程的本征值問(wèn)題

二階線性齊次常微分方程(1-x2)y"(x)-2xy?(x)-l(l+1)y(x)＝0

-1<x<1

(6.1.6)稱為勒讓德方程．方程中的l(l+1)=l是待定參數(shù)

y(x)是待求函數(shù)．2021/5/911在x=0的鄰域求勒讓德方程的有界解．在有界性條件下求解勒讓德方程的問(wèn)題又稱為勒讓德方程的本征值問(wèn)題．方程中的參數(shù)l(l+1)=l稱為本征值，方程的解y(x)稱為本征函數(shù)．理論和實(shí)例都可以證明(見(jiàn)11.4節(jié))，不是l取任何值時(shí)方程都有非零解．因此，求解勒讓德方程的本征值問(wèn)題可以歸結(jié)為求解本征值l

=l(l+1)與本征函數(shù)y(x).2021/5/9121.級(jí)數(shù)解的形式可見(jiàn)，x=0是方程的常點(diǎn)①．方程的解具有形式①為了討論系數(shù)的解析性質(zhì)，以判定z0=0是方程的常點(diǎn)、正則奇點(diǎn)還是非正則奇點(diǎn)，必須將p(x)及q(x)分別延拓為但為敘述與書(shū)寫方便，仍采用x?z的記號(hào)2021/5/913

2.系數(shù)遞推公式

由此得系數(shù)遞推公式2021/5/9143.由遞推公式求系數(shù)，得通解2021/5/915勒讓德方程的通解可表示為它們是勒讓德方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解．2021/5/9164.有界解的要求，自然邊界條件現(xiàn)在以y0(x)為例，求級(jí)數(shù)的收斂半徑．令u=x2，則級(jí)數(shù)Y0(u)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)分別為Cn和Cn-2．由式(6.1.10)可得2021/5/917這表明，在x=±1處，兩級(jí)數(shù)是發(fā)散的．2021/5/918物理量總是有界的因此，在求解勒讓德方程時(shí)，要求解在x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的條件稱為勒讓德方程的自然邊界條件．為了得到在閉區(qū)間[-1,1]內(nèi)有界的解，必須研究在什么條件下，這兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)才能中斷為多項(xiàng)式.2021/5/9195.本征值與本征函數(shù)從系數(shù)遞推公式(6.1.9),若l為偶數(shù)：l=2n(n為正整數(shù))，則級(jí)數(shù)y0(x)將到x2n項(xiàng)為止．將k=l=2n代入式(6.1.9)，易見(jiàn)x2n+2項(xiàng)的系數(shù)為重復(fù)應(yīng)用式(6.1.9)，可證C2n+4,C2n+6,…均為零。

y0(x)的最高次冪為x2n=xl．根據(jù)物理量是有限的，舍去不合物理意義的解，取常數(shù)C1=0，則勒讓德方程的解為(6.1.16)2021/5/920同理，若l為奇數(shù)：l=2n+1(n為正整數(shù))，則級(jí)數(shù)y1(x)到x2n+1項(xiàng)為止．將k=l=2n+1代入式(6.1.9)，即得x2n+3項(xiàng)的系數(shù)為重復(fù)應(yīng)用式(6.1.9)，可證C2n+5,C2n+7,…均為零。

y1(x)的最高次冪為x2n+1=xl

．類似地，取常數(shù)C0=0，則勒讓德方程的解為2021/5/921因此，無(wú)論l為偶數(shù)還是奇數(shù)，勒讓德方程的解都中斷為l次的多項(xiàng)式(6.1.16)或式(6.1.17)，因而在x=±1保持有界．這表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…本征函數(shù)y(x)如式(6.1.16)或式(6.1.17)所示2021/5/9226.1.3勒讓德多項(xiàng)式

勒讓德方程是線性齊次方程，將式(6.1.16)，式(6.1.17)乘以任意常數(shù)仍為勒讓德方程的解歷史上為了讓這個(gè)多項(xiàng)式與函數(shù)(1-2xt+t2)-1/2的展開(kāi)系數(shù)一致，選擇最高次冪項(xiàng)的系數(shù)Cl為再利用系數(shù)遞推公式(6.1.9)求出低次冪項(xiàng)的系數(shù)，得到的多項(xiàng)式稱為勒讓德多項(xiàng)式，記作Pl(x)．2021/5/923將式(6.1.9)以Ck表示Ck+2改為以Ck+2表示Ck

2021/5/9242021/5/925為了簡(jiǎn)潔地表示勒讓德多項(xiàng)式，采用了我們?cè)?.1節(jié)已用過(guò)的簡(jiǎn)寫記號(hào)(6.1.20)2021/5/926s=0對(duì)應(yīng)最高次冪x=l,而s=[l/2]對(duì)應(yīng)最低次冪：若l為偶數(shù),對(duì)應(yīng)x零次冪；若l為奇數(shù)，則對(duì)應(yīng)于x壹次冪。由式(6.1.20)可求出頭幾個(gè)勒讓德多項(xiàng)式：2021/5/927勒讓德多項(xiàng)式的函數(shù)曲線如圖6.1所示2021/5/928由式(6.1.20)可以直接得到關(guān)于Pl(x)的奇偶性及若干特殊值：(1)奇偶性Pl(-x)＝(-1)lPl(x)(6.1.22)這直接用-x替代式(6.1.20)中的x，利用(-x)l-2s=(-1)l(-x)l-2s可得．2021/5/929(2)Pl(0)的特殊值鑒于勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表示過(guò)于復(fù)雜，不便使用，人們常利用它的微分表達(dá)式和積分表達(dá)式．2021/5/930作業(yè)-§6.1第128頁(yè)GroupCGroupBGroupA6.1.16.1.26.1.32021/5/931§6.2勒讓德多項(xiàng)式的微分與積分表達(dá)式母函數(shù)與遞推公式勒讓德多項(xiàng)式微分表達(dá)式-羅德里格斯(Rodrigues)公式;

母函數(shù);

積分表達(dá)式—施列夫利公式和拉普拉斯積分遞推公式．6.2.1勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式—羅德里格斯公式

證明從羅德里格斯公式右邊出發(fā)來(lái)證明．二項(xiàng)式展開(kāi)定理為2021/5/933對(duì)(x2-1)l求l階導(dǎo)數(shù)后除以(2ll!)得到為何求和指標(biāo)的最大值為[l/2]，因?yàn)閷?duì)于指數(shù)(2l-2s)＜l的項(xiàng)，在求l階導(dǎo)數(shù)后均為零，故：只含(2l-2s)≥l的項(xiàng)，即：s≤l/2的項(xiàng)．這樣當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)，l/2為最大值；l為奇數(shù)時(shí)，(l-1)/2為最大值。用簡(jiǎn)寫符號(hào)表示就是[l/2]2021/5/934在等式右邊的分子分母中同乘以(l-2s)！，有

羅德里格斯公式得證．2021/5/935§6.2.2勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)若函數(shù)w(x,t)的泰勒級(jí)數(shù)為則w(x,t)稱為Pl(x)的母函數(shù)(或生成函數(shù))．勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)為式中規(guī)定多值函數(shù)的單值分支為.2021/5/936將x看作參數(shù),w(x,t)作為t的函數(shù)在|t|<1解析①

今在|t|<1的圓內(nèi)將它展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，可證明展開(kāi)系數(shù)為①奇點(diǎn)的|t12|<1證明(1)在|t|<1內(nèi)，將w(x,t)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)其中al為泰勒系數(shù),C為在|t|<1內(nèi)包圍t=0點(diǎn)的回路2021/5/937(2)為證明al=Pl(x)，作變換(u為復(fù)變數(shù))2021/5/938代入al

，便有

其中u平面的曲線C?是在式(6.2.5)的變換下t平面曲線C的像．當(dāng)t=0時(shí)，由式(6.2.6)得到u=x.既然t=0在曲線C的內(nèi)部，因此u=x在曲線C?的內(nèi)部．(3)應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算式(6.2.7)的積分(6.2.8)最后的等式是羅德里格斯公式．將式(6.2.8)代入泰勒級(jí)數(shù)，即得式(6.2.4).2021/5/939§6.2.3勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式

勒讓德多項(xiàng)式有兩個(gè)積分表達(dá)式，分別稱為施列夫利(Schlfli)公式和拉普拉斯積分．1.施列夫利公式將al

＝Pl(x)代入式(6.2.7)，即施列夫利公式式中u=x在曲線C?的內(nèi)部．2.拉普拉斯積分2021/5/940拉普拉斯積分證明在施列夫利公式中，取u平面的回路C?為以x為圓心，為半徑的圓周，則2021/5/941將以上各式代人施列夫利公式，即得拉普拉斯積分2021/5/942【例6.2.1】試由拉普拉斯積分證明勒讓德多項(xiàng)式的特殊值

Pl(1)=1,Pl(-1)=(-1)l6.2.11)解分別將x=±1代入拉普拉斯積分，得2021/5/943【例6.2.2】試由拉普拉斯積分證明

|Pl(x)|≤1(6.2.12)

證明將x=cosq代入拉普拉斯積分，并利用復(fù)變積分的性質(zhì)5，便有2021/5/9446.2.4勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式在積分過(guò)程中,常用到以下幾個(gè)遞推公式(l≥1):2021/5/945遞推公式的證明方法：

(1)母函數(shù)關(guān)系式為對(duì)t求導(dǎo)得兩邊乘以(1-2xt+t2)，再將母函數(shù)關(guān)系式代入左邊，即有兩邊比較tl的系數(shù)(l≥1)，即得式(6.2.13)2021/5/9462021/5/947

(2)由母函數(shù)關(guān)系式(6.2.18)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，再與式(6.2.19)聯(lián)立，可得

比較等式兩邊tl的系數(shù)，即得式(6.2.14)2021/5/9482021/5/949其他證明方法？2021/5/9502021/5/951作業(yè)-§6.2第132頁(yè)GroupAGroupBGroupC6.2.36.2.46.2.26.2.46.2.16.2.42021/5/952§6.3勒讓德多項(xiàng)式的

正交性與完備性

在介紹“正交性”含義的基礎(chǔ)上，證明勒讓德多項(xiàng)式的正交性；計(jì)算勒讓德多項(xiàng)式的模,導(dǎo)出勒讓德多項(xiàng)式的正交歸一關(guān)系式；在介紹“完備性”含義的基礎(chǔ)上，給出以{Pl(x)}為基將函數(shù)f(x)展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)的條件，以及計(jì)算廣義傅里葉系數(shù)的公式§6.3.1勒讓德多項(xiàng)式的正交性與正交歸一關(guān)系式1．“正交性”與“正交歸一關(guān)系式”淺析(1)、三維歐幾里得(Euclid)空間三維歐幾里得空間的基矢i，j，k如果用ek或ek(k，n＝1，2，3)表示，則有因?yàn)閑1⊥e2(即i⊥j)，故有e1·e2

=0，式(6.3.1)表明e1與e2互相垂直，即正交．又因el·e1=e2·e2=e3·e3=1,表明它們自身通過(guò)點(diǎn)積“·”的運(yùn)算等于1,稱為歸一公式(6.3.1)稱為基矢系｛ek｝的正交歸一關(guān)系式．2021/5/954(2)函數(shù)空間(以三角函數(shù)為例)利用積化和差公式容易證明(6.3.2)(6.3.3)的正交歸一關(guān)系式2021/5/955解利用el點(diǎn)乘第一式得2021/5/956其實(shí)，不用這樣麻煩：只要比較等式兩邊ek或cos(kpx/l)的系數(shù)就可。它的根據(jù)就是上面介紹的正交歸一關(guān)系式．2021/5/9572.勒讓德多項(xiàng)式的正交性Pl(x)及Pk(x)分別是方程l階及k階方程的特解證明改寫勒讓德方程(6.1.6)(1-x2)y“(x)-2xy?(x)-l(l+1)y(x)＝0

2021/5/958

用Pk(x)乘以第一式、Pl(x)乘以第二式后相減，然后再對(duì)x作定積分，即有2021/5/959對(duì)前兩項(xiàng)作分部積分：

k≠l，故式中方括號(hào)不為零，即得(6.3.4)式0互相抵消2021/5/9603.勒讓德多項(xiàng)式的模矢量A的模定義為如果將矢量的點(diǎn)積“?”換為積分區(qū)間為Pl(x)的定義域，即得Pl(x)的模的定義可證明2021/5/961證明思路用兩種方式計(jì)算母函數(shù)平方在[-1,1]區(qū)間上對(duì)x的積分，然后進(jìn)行比較．(1)、利用勒讓德多項(xiàng)式的正交性(只有k=l時(shí)積分才不為零)可得(2)、利用展開(kāi)式(見(jiàn)例3.3.6-P64)2021/5/962

將式(6.3.6)與式(6.3.7)聯(lián)立，得因?yàn)槭?6.3.8)在|t|<1區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)成立，可知t的同次冪項(xiàng)系數(shù)必須相等，即2021/5/963由此得勒讓德多項(xiàng)式的模2021/5/9644.勒讓德多項(xiàng)式的正交歸一關(guān)系式

綜合式(6.3.4)和式(6.3.9)，得2021/5/965§6.3.2勒讓德多項(xiàng)式的完備性

1.“完備性”淺析(1)、三維歐幾里得空間三維歐氏空間中e1,e2,e3構(gòu)成一個(gè)完備系，是指不存在任何矢量與e1,e2,e3都正交；三維空間的任一矢量A均可用{ek}(k=1,2,3)展開(kāi)為二維空間中el與e2構(gòu)一個(gè)完備系，是指在二維空間中不存在任何矢量與el,e2都正交．因而二維空間的任一矢量B均可用{ek}(k=1,2)展開(kāi)為2021/5/966那么，在三維空間中el與e2是否構(gòu)成完備系呢？在三維空間中可以找到e3，與el,e2都正交．因此，三維空間的任意矢量不能用el,e2來(lái)展開(kāi)，如可見(jiàn)，在三維空間中el與e2就不構(gòu)成完備系(缺了一個(gè)基矢，不完備了)2021/5/967(2)函數(shù)空間(以三角函數(shù)為例)

三角函數(shù)系也構(gòu)成一個(gè)完備系．高等數(shù)學(xué)已證明，在[-11]內(nèi)，若f(x)滿足連續(xù)或只有第一類間斷點(diǎn)(指f(x)在該點(diǎn)的躍度有限)，在區(qū)間內(nèi)僅有有限個(gè)極大及極小值，則可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)(6.3.15)2021/5/968這表明，三角函數(shù)系(6.1.15)的每一個(gè)函數(shù)可以看作函數(shù)空間的“基矢”，滿足一定條件的函數(shù)f(x)可以用這個(gè)函數(shù)系作為基來(lái)展開(kāi)，這顯示了函數(shù)系(6.3.15)的完備性．2021/5/9692.勒讓德多項(xiàng)式｛Pl(x)｝的完備性若函數(shù)f(x)在[-1,1]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在[-1,1]上可以展開(kāi)為絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)稱為廣義傅里葉級(jí)數(shù)。｛Pl(x)｝可以作為廣來(lái)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的基，表明｛Pl(x)｝是完備的。2021/5/970用Pk(x)乘以(6.3.17)式兩端后，對(duì)x從-1到1積分，并利用正交歸一關(guān)系式(6.3.12)，可得將上式兩端的k用l表示，即有(6.3.19)(6.3.18)2021/5/971【例6.3.2】試將f(x)=x3展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)解由于Pl(x)是l次多項(xiàng)式，f(x)=x3是奇函數(shù)，最高次冪為三次，故f(x)可按P1(x)及P3(x)展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)。本題可采用如下三個(gè)方法：2021/5/972(方法一)按式(6.3.19)求展開(kāi)系數(shù)后代入式(6.3.17)2021/5/973(方法二)由式(6.3.17)兩邊x的同次冪項(xiàng)系數(shù)相等求展開(kāi)系數(shù)．將P1(x)及P3(x)代入由此得與方法一相同的結(jié)果2021/5/974（方法三）利用習(xí)題6.3.1的結(jié)論

代入式(6.3.19)計(jì)算，亦得相同的結(jié)果2021/5/975作業(yè)-§6.3第138頁(yè)GroupCGroupBGroupA6.3.2(1)6.3.3(3)6.3.16.3.2(2)6.3.3(2)6.3.16.3.2(3)6.3.3(1)6.3.42021/5/976§6.4關(guān)聯(lián)勒讓德方程與

關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)

本節(jié)首先求出關(guān)聯(lián)勒讓德方程的有界解(關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù))及其微分表達(dá)式．隨后計(jì)算關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)的模，并給出它的正交歸一關(guān)系式，接著介紹它的四個(gè)基本遞推公式．最后，以關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)為基將滿足一定條件的函數(shù)展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)，并給出廣義傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式．§6.4.1關(guān)聯(lián)勒讓德方程的有界解

二階線性齊次常微分方程稱為關(guān)聯(lián)勒讓德方程現(xiàn)在，嘗試用級(jí)數(shù)解法在x=±1的鄰域求解關(guān)聯(lián)勒讓德方程．由于x=±1是2021/5/978故x=1是關(guān)聯(lián)勒讓德方程的正則奇點(diǎn)在正則奇點(diǎn)x=±1的鄰域內(nèi)，方程的解具有式(6.1.3)，式(6.1.4)給出的形式。令代入方程(6.4.1)，由(x±1)的最低次冪項(xiàng)系數(shù)和為零得到指標(biāo)方程為4r2-m2=0.從而求得方程的指標(biāo)r=

±m(xù)/2。但進(jìn)一步將指標(biāo)代入求系數(shù)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)系數(shù)遞推公式中出現(xiàn)三個(gè)待定系數(shù)，求解比較復(fù)雜．2021/5/979可見(jiàn)直接采用級(jí)數(shù)法求解關(guān)聯(lián)勒讓德方程并非好方法．有沒(méi)有其他捷徑呢？考慮到m=0時(shí)，關(guān)聯(lián)勒讓德方程就簡(jiǎn)化為勒讓德方程．這樣，通過(guò)這兩個(gè)方程的聯(lián)系應(yīng)當(dāng)可以找到這兩個(gè)方程的解的聯(lián)系．2021/5/980現(xiàn)在分別討論m≥0及m<0的情形：(1)m≥0的情形．因?yàn)镻l(x)是勒讓德方程的解，故有(6.4.2)將上式對(duì)x求m階導(dǎo)數(shù)，2021/5/981利用萊布尼茨公式

這就是所滿足的方程．計(jì)算式(6.4.3)的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)(見(jiàn)本節(jié)習(xí)題)后，方程(6.4.3)可寫成(6.4.4)2021/5/982前面嘗試用級(jí)數(shù)法在x=±1求解關(guān)聯(lián)勒讓德方程時(shí)，已求得方程的指標(biāo)r1

=

m/2自然猜想關(guān)聯(lián)勒讓德方程的解具有的形式．將式(6.4.5)代入式(6.4.1)，考查當(dāng)y(x)滿足關(guān)聯(lián)勒讓德方程時(shí)，w(x)應(yīng)滿足什么方程．結(jié)果得到(6.4.6)2021/5/983比較式(6.4.4)與式(6.4.6)，發(fā)現(xiàn)w(x)與P(m)(x)滿足相同的方程．將w(x)=P(m)(x)代入式(6.4.5)，便得到關(guān)聯(lián)勒讓德方程的一個(gè)特解2021/5/984(2)m<0的情形將m=-|m|代入關(guān)聯(lián)勒讓德方程，得(6.4.8)方程(6.4.8)與方程(6.4.1)的差別僅是用|m|代替方程(6.4.1)中的m,故在(6.4.7)中用|m|代替m即可得到式(6.4.8)的特解

(6.4.9)2021/5/985(3)綜合m≥0及m<0的特解，便得到關(guān)聯(lián)勒讓德方程的特解(6.4.10)Pl(x)是一個(gè)l次多項(xiàng)式，易見(jiàn)這個(gè)解在區(qū)間[-1,1]是有界的．所以式(6.4.10)就是滿足關(guān)聯(lián)勒讓德方程和自然邊界條件的特解．(6.4.10)2021/5/986討論第一，因?yàn)镻(m)(x)含有因子，是一個(gè)多值函數(shù)，支點(diǎn)為±1和?。為了得到單值分支，可以沿實(shí)軸作從-1到1再到?的割