函數(shù)的極值和最值

關(guān)于函數(shù)的極值和最值1第1頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月注意1)函數(shù)的極值概念是局部性的2)函數(shù)的極值可能有多個(gè)3)函數(shù)的極大值可能比極小值小4)函數(shù)的極值不在端點(diǎn)上取xy2第2頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖所示,函數(shù)的極大值為:極小值為:函數(shù)的極值在單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)處取得.xy3第3頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.4.1（極值存在的必要條件）(費(fèi)爾馬定理)設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)并取得極值,則條件必要而不充分.即駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn).注意例y=x3在x=0點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點(diǎn)。1）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).若，稱點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn).2）極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取到。4第4頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.4.2(極值存在的充分條件)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),(1)則在處取得極大值.當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)時(shí),則在處取得極小值.(3)在的鄰近兩側(cè)不變號(hào),則在處沒有極值.在點(diǎn)連續(xù)，在的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)（可除外）設(shè)函數(shù)xy5第5頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月求函數(shù)極值的方法和步驟:(1).求出(2).求使的點(diǎn)(駐點(diǎn)),及使不存在的點(diǎn);(3).利用定理3.4.2判別所找點(diǎn)是否極值點(diǎn),并判別極大(小)值.例1.求函數(shù)的極值.解.得列表:極大值極小值增減增極大值為:極小值為:6第6頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.4.3（充分條件）設(shè)函數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)則當(dāng)時(shí),為極大值;當(dāng)時(shí),為極小值.例2.求函數(shù)的極值.解:令,得所以有極小值:定理3.4.3失效,用定理3.4.2判斷.當(dāng)時(shí),時(shí),不是極值點(diǎn)當(dāng)時(shí),時(shí),不是極值點(diǎn)7第7頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月注意1)函數(shù)的最值概念是全局性的2)函數(shù)的最大值（最小值）唯一3)函數(shù)的最大值大于等于最小值4)函數(shù)的最值可在端點(diǎn)上取定義3.4.2設(shè)f(x)在D

上有定義,都有最大值與最小值統(tǒng)稱為最值,使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn).1).,則稱為函數(shù)的最大值.2).,則稱為函數(shù)的最小值.3.4.2函數(shù)的最值及其求法8第8頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月若函數(shù)在上連續(xù)，上取得最大值、最小值.則必在xyo求最值的方法:2.若函數(shù)在內(nèi)取得最值，則此點(diǎn)一定取得極值1、求出最值點(diǎn)的存在范疇：端點(diǎn)、駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)2.計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值;3.比較這些函數(shù)值的大小,其中最大者與最小者就是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.x01.函數(shù)可能在端點(diǎn)取得最值。說明9第9頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.求函數(shù)在上的最大、小值.解令得當(dāng)時(shí),不存在.函數(shù)在上的最大值為:最小值為:10第10頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種特殊情況:1.若在上單調(diào),則在端點(diǎn)處取得最值.2.若在內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)則當(dāng)為極大(小)值點(diǎn)時(shí),就是最大(小)值.3.在實(shí)際問題中,則按實(shí)際情況進(jìn)行判斷.當(dāng)表示該實(shí)際問題的函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)時(shí),則該實(shí)際問題一定在