微積分基礎(chǔ)知識

緒論80考核形式考試（５學(xué)分）作業(yè)問題課前預(yù)習(xí)、重點(diǎn)聽講、簡記筆記、整理咀嚼、后作練習(xí)2021/5/91參考書目＜微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)＞＜高等數(shù)學(xué)＞同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編（高等教育出版社）2021/5/921.基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分2021/5/93

高等數(shù)學(xué)研究的主要對象是函數(shù)，主要研究函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)、可導(dǎo)、可積等）和分析運(yùn)算（極限運(yùn)算、微分法、積分法等）。那么高等數(shù)學(xué)用什么方法研究函數(shù)呢？這個方法就是極限方法，也稱為無窮小分析法。從方法論的觀點(diǎn)來看，這是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的一個顯著標(biāo)志。

由于高等數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法與初等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出以下顯著特點(diǎn)：概念更復(fù)雜理論性更強(qiáng)表達(dá)形式更加抽象推理更加嚴(yán)謹(jǐn)2021/5/94

因此在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和深入鉆研教材的內(nèi)容，一方面要透過抽象的表達(dá)形式，深刻理解基本概念和理論的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，正確領(lǐng)會一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面也要培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理的能力。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)題不僅是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且也可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想方法。但我們不應(yīng)該僅僅滿足于做題，更不能認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)好了數(shù)學(xué)。2021/5/95極限方法1）計(jì)算圓的周長圓內(nèi)接正n

邊形Or)2021/5/962）切線的斜率2021/5/97abxyo3)計(jì)算曲邊梯形面積曲邊梯形面積為2021/5/984)無窮級數(shù)2021/5/99一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的對象的全體.組成集合的事物稱為該集合的元素.P（x）表示元素具有性質(zhì)

第0章基本知識2021/5/9102.鄰域:2021/5/9111.定義設(shè)x和y是兩個變量，D是一個給定的數(shù)集，

若對于x∈D，變量y按照確定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)記作自變量因變量二、函數(shù)2021/5/912函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.自變量對應(yīng)法則f因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.2021/5/913(1)符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo2021/5/914(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2021/5/915有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)2021/5/916(4)取最值函數(shù)yxoyxo

在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).2021/5/917三.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)

(1)有界性使稱A為上界，B為下界。(2)單調(diào)性為有界函數(shù).當(dāng)時(shí),稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);稱為I

上的單調(diào)減函數(shù).2021/5/918(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記2021/5/919例1判斷函數(shù)的奇偶性.解：∴f(x)是奇函數(shù).例2設(shè)f(x)在R上定義，證明f(x)可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。證明：設(shè)顯然g(x)是偶函數(shù)，h(x)是奇函數(shù),而

故命題的證.

2021/5/920(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)2021/5/921四.反函數(shù)若函數(shù)為單射,則存在逆映射稱此映射為f

的反函數(shù).DWDW222021/5/922習(xí)慣上,的反函數(shù)記成圖形關(guān)于直線對稱.單調(diào)性一致2021/5/923例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)2021/5/924例1

證明若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且存在反函數(shù)

x=f1(y),則反函數(shù)也是奇函數(shù)。證明：∴反函數(shù)是奇函數(shù)。例2解:當(dāng)x0時(shí),y1,當(dāng)x<0時(shí),y<1,x=y-1,2021/5/925

初等（顯）函數(shù)

y=f(x)

隱函數(shù)F(x,y)=0

參量函數(shù)分段函數(shù)單值函數(shù)多值函數(shù)五.初等函數(shù)2021/5/926基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)2021/5/9272.指數(shù)函數(shù)2021/5/9283.對數(shù)函數(shù)2021/5/9294.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)2021/5/930正切函數(shù)余切函數(shù)2021/5/931正割函數(shù)余割函數(shù)2021/5/9325.反三角函數(shù)2021/5/9335.反三角函數(shù)2021/5/9342021/5/935復(fù)合函數(shù)y=f(u)稱為外函數(shù)，u=(x)稱為內(nèi)函數(shù)定義2021/5/936注:2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.1.復(fù)合函數(shù)代入法不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).3.并不是任意兩個函數(shù)都可以進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算2021/5/937初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)例如,可表為故為初等函數(shù).

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).否則稱為非初等函數(shù)

.2021/5/938例：不是初等函數(shù)為初等函數(shù)不是初等函數(shù)為初等函數(shù)2021/5/939雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).雙曲函數(shù)2021/5/940奇函數(shù),有界函數(shù),2021/5/941

六數(shù)列的極限(P6):2021/5/942幾何解釋:

2021/5/9432021/5/944如:唯一性,有界性,局部保號性,夾擠規(guī)則（兩邊夾）2021/5/945證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式2021/5/946兩邊夾準(zhǔn)則證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故2021/5/9472021/5/948例.證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.2021/5/949例(P10)證明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),

則數(shù)列{Xn}收斂于a。證：對任ε>0,ヨK1,當(dāng)k>K1時(shí)X2k

落在[a-ε,a+ε]即滿足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)

ヨK2當(dāng)k>K2時(shí)X2k-1

落在[a-ε,a+ε]即滿足|Ｘ2k-1-a|≤ε…(2)