2002考研數(shù)四真題及解析

2002年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試一、填空題(5315分，把答案填在題中橫線(xiàn)上 n2na1n設(shè)常數(shù)a ，則limln

n(12a)已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為ln2x，則xf(x)dx

,BA3A2E,則 設(shè)向量組1a0c),2bc0),3

(0a,b),線(xiàn)性無(wú)關(guān),abc.設(shè)隨量X,Y的聯(lián)合概率密度分布YX0101則X,Y的相關(guān)系數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有定義，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)， f(af(b0時(shí)，存在(a,bf(0對(duì)任何(a,b，有l(wèi)imf(xf(0f(af(b時(shí)，存在(a,bf(0存在(a,bf(bf(af()(ba設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列變上限定積分定義的函數(shù)中,必為偶函數(shù)的是 x0t[f(t)fx(C)xf(t20

0t[f(t)fx(D)xf2x0

ABAB對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣,分塊矩陣C0

0B，則 的伴隨矩陣C A B

A B BB,(B)

AA,(C) BA,(D)

AB 設(shè)X1和X2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨量,它們的概率密度分別為f1和f2(x),分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x),則 f1(x)f2(x)必為某一 F1(x)F2(x)必為某一 f1(x)f2(x)必為某一隨量的概率密度 量X1,X2 ,Xn相互獨(dú)立,SnX1X2 Xn則根 —德柏格 Lindberg)中心極限定理,當(dāng)n充分大時(shí),Sn近似服從正態(tài)分布,只,X1,X2 , (B)有相同的方差(C)服從同一指數(shù)分布 (D)服從同一離散型分布三、(5分x

0

x(1cosx)四、(7分設(shè)函數(shù)uf(xyzzz(xyxexyeyzezdux1五、(x1f(sin2x)xsin

f(x)dxDx2y2yx0.f(xyD上的連續(xù)函數(shù),f(x,y)

8f(u,1x1x2f(xy設(shè)某商品需求量Qp的單調(diào)減少函數(shù)QQp,其需求彈性R為總收益函數(shù),dR

2192

p6時(shí),總收益對(duì)價(jià)格的彈性,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義八、(6分f(xg(x在[ab]g(x)0. 一點(diǎn)[a,b]，使

af(x)g(x)dxf()ag(x)dx2x13x2

設(shè)四元齊次方程組(I為

x

0且已知另一四元齊次線(xiàn)性方程組(II 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為21a2,1)T

(1,2,4,a8)T 求方程組(I的一個(gè)基礎(chǔ)解系當(dāng)a為何值時(shí),方程組(I與(II有非零公共解?在有非零公共解時(shí),求出全部非零公共解 1設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A 1,求可逆矩陣P，使P1AP為對(duì)角形矩陣,并計(jì)算 AE的值

a設(shè)A,B是任意二,其中A的概率不等于0和1,證明：P(B|A)十二、(8分)

P(B|A)是XEX5小時(shí).2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間YFy.2002年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題解

11 n(12a)limlnn2na1

n(12a)

n(12a)

n(12a lne n1

n(12a)

1

1【答案】2lnxln2xxf(x)dxxdf(x)xf(x)ff(x)(ln2x)2lnxx所 f(x)dx

2lnxdxx

2lnxdlnxln2xC1所 xf(x)dxxf(x)f(x)dx2lnxln2xC1 12【答案】

【詳解】A 3，故A2E 1，AE 2

所 B

3A2E(A2E)(AE) 因?yàn)锽0，故B可逆， E

E

1

0 交換行的順序 交換行的順序 2行1行0011行122行1行1112行(1) 12

【答案】abc【詳解】方法1：由題設(shè)條件三個(gè)三維向量1,2,3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則以1,2,3三階矩陣的秩為3

0nA的秩等于nA0 1,2,3

aabcabc0000c20a20b2abc0

方法21,2,3線(xiàn)性無(wú)關(guān)則以1,2,3為列向量的三階矩陣的秩為齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，故線(xiàn)性齊次方程組1x12x23x31,2,3x0只有零解．1,2,30Amn時(shí)，rA 故1,2,3

aabcabc0000c20a20b22abc 【答案】0.02X2、Y2X2Y2都是01分布，而01分布的期望值恰為取1p由離散型隨量X和Y的聯(lián)合概率分布表可得X2的可能取值為0和1，且Y2的可01X和Y的邊緣分布為PX00.070.180.150.4；PX10.080.320.200.6PX20,Y20PX0,Y0X2,Y2YX01011X2Y01P所以由011pco（X（X(ab內(nèi)的任意一點(diǎn)limf(xf(

即有l(wèi)imf(xf(0選

x(a,(A)的反例：f(x

x

,f(x在(ab (C)與(D)的反例，f(x)

x 【詳解】對(duì)與(D)F(x0tf(tf(t)]dtF(x) tu，則dtdu

tf(tf(t)]dtF(x)0t[f(t)f(t)]dt0(u)[f(u)f(u)]x0u[f(u)f(u)]duF【詳解】1：直接算出

Ani可逆的充要條件是A(i1, ,AniA AAA1

AB均可逆.A

A A1 n

0

0

0CCC1

AB 0AB

B B B

B1 故應(yīng)選

ABB1

AB2：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)算，選使CCCEC為2n2n2n階方陣)成立的C即可．對(duì)(D) 0B B CC B AB ABBAB

AB

(AA

AE，BBBEAB

nEnCE(

A

C

AB f(x成為概率密度的充要條件為：(1)f(x

(2)

f(x)dxF(x成為分布函數(shù)的充要條件為：(1F(x(2)limF(x)0,limF(x)1(3)F(x右連續(xù) [f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx112

1x

0xf1(x) f2(x) f1(x)，f2(x均是均勻分布的概率密度.f1(x)f2(x)0，不滿(mǎn)足

f1(x)f2(x)dx1條件 lim[F(x)F(x)]112 方法2：令Xmax(X1,X2)，顯然X也是一個(gè) 量.X的分布函數(shù)F(x)PXxPmax(X1,X2)xPX1x,X2PX1xPX2xF1(x)F2(x)【分析】— Lindberg)中心極限定理要求隨量X1,X2 ,Xn互獨(dú)立同分布且方差存在當(dāng)n充分大時(shí)，SnX1X2 Xn才近似服從正態(tài)分布，方法2：條件(A)、(B)均不能保證X1,X2, ,Xn具有相同的分布．條件(D)不能保證方差的三

x

x

0

x(1cosx)

等價(jià)無(wú)窮小

0

12x2xarctan(1

法則lim2

32

法則 3 四【詳解】1：dufdxfdyfdzzz(x,yxexyey d(xexyey)d(zez)d(xex)d(yey)d(zezxexdxexdxyeydyeydyzezdzezdz解 dz

ex(x1)dxey(y1)dyez(z1)

設(shè)z1 所

fdxfdyf

ex(x1)dxey(y1)dyez(z1) ex(x1)

ey(y1)

ez(z1)dx

ez(z1) 2u

ffz,u

ffz(根據(jù)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t 3x 3

下面通過(guò)隱函數(shù)求導(dǎo)得到xyxexex(zezez)z

ye

xex

yey

uxzezez(設(shè)z10yzezezxyu

xex

yeyey

f3(zezez

y

f3(zezez)

duudxudy ex(x1)

ey(y1)

ez(z1)dx

ez(z1)dy 五f(sin2x)

sin

f(xuuarcsinu命usin2x，則有sinx ，x ，于是f(u)uuarcsinux1x1 1 x

f(x)dx

dx dx

11

tsintdt2tcostsintCx21x xCx 六【詳解】令f(uv)dudvD

f(x,y)

811x21u21u2

8A代入f(uv)dudvAA

1u28Adudv 1u2v1u2

dudv

D D是以(0,12為圓心，以12為半徑的半圓面(如圖所示 1 所 dudvD的面積22 1u2v2dudv2d

1r2rdr2d

d

3(1r2)2 D

3

12 (1r2)2 d

00 0

3 1

1 2(1sin2 2(1sin2)dsin

3 sin|2sin3|2(得 A1(sin|2sin3|2(3 解 A1(2)6 1x2所 f1x2

4( 七【分析】彈性：

dQQ(p)【詳解】(1)RppQ

p Q(p)

Q(p)1

又因?yàn)镼(p)是p的單調(diào)減函數(shù)，故dQ0，按彈 有

dQ，代入(1)Q(p)

Q(p)dRQ((2)RpERpdR

1

2 R

192

7p6時(shí)，若價(jià)格上漲1，則總收益將增加八【詳解】1：f(xg(x在abx1x2f(x1)Mmaxf(x)，f(x2)m

f(x) 滿(mǎn)足mf(xMg(x)0mg(x)f(x)g(x) mag(x)dx

f(x)g(x)dx所 m

afbbabb

M由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在[a,b]f()

af(x)g(x)dxbbabb 即 af(x)g(x)dxf()ag(x)dxbaa2：f(xg(x在abg(x0，故bf(x)g(x)dx與bg(x)dx都存在，且ag(x)dx0.baabaf(x)g(x)dxb

b記ba

h，于是af(x)g(x)dxhag(x)dxahg(x)dxba(f(x)h)g(x)dxb因此必存在(a,bf(h．不然，則在(abbf(xhaf(xh)g(x)dx0f(xb 恒為負(fù)，同理得af(xh)g(x)dx0，均與af(xh)g(x)dx0不符．由此推知存在(a,b)使f()h，從而 af(x)g(x)dxf()ag(x)dx九【詳解】(1)對(duì)方程組(IA

12行1行2

2 1 0 2 系數(shù)矩陣的秩為2，故基礎(chǔ)解系由4-2x3x4為自由未知量，分別x31，x40x30，x41，求得方程組的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解(5,3,1,0)T，(3,2, 由此可得方程組(I53,1

2 1

1 2

k kkk

1 2 1a

24 (a

4k

21 a k1(a8)k2；方程組(I與(II有非零公共解，即方程組(II的有些解也是(I的解，把(II的通解表達(dá)式代入方程組(I，整理后得(a1)k1 (a1)k(a1)k 要使方程組(III有非零公共解，只需關(guān)于k1k2的方程組(所以，當(dāng)a1時(shí)，由(k1k20，方程組(I與(II無(wú)非零公共解；當(dāng)a1時(shí)，無(wú)論k1k2((II的通解滿(mǎn)足方程組(I，即方程組(II)的全部解都是(I的解，故a1時(shí)，2 2kk

k k 1 2 11

24 是方程組(I、(II的全部非零公共解k1k2為不全為零的任意常數(shù)方法2：方程組(I的通解為1122(II的通解為k11k22，則方程組(III的公k11k221122，即1122k11k22方程組(I與(II有非零公共解，即存在不全為零的12k1k21

11

[,

,,]

2

2

k a 4k 1 1k2

a8k2

1

2行1行

a 4

a a

a

a 3 1 3 1 3 2行1行2 3行2行 的順序

3行1

4行2行 7 a 4

1a 7

0a 0 a a a a1時(shí)，系數(shù)矩陣的秩為4(只有零解，方程組(I與(II無(wú)非零公共解．a(chǎn)12(小于未知量的個(gè)數(shù))(123k2(III

k7k取k1k2為自由未知量，分別取k1c1k2c2

k11k221122，故c11c22(或1122)，其中c1c2是不同時(shí)為零的任意常數(shù)，為方程組(I)(II的非零公共解． a EA

1行3

a 3列1 (a

a (a1)[(a)(a1)2](a1)[(a)2((a1)(a1)(a2)(a1)2(aEA0A的特征值12a13a 1x1對(duì)于特征值a1,由[(a1)EA)]X0，即 1x0 2 1x

3 12行1行

3行1行

1 0，故r 1r 1 0 基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)(未知量的個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)x1x2x30x2x3x21x30x20x31，(1,1,0)T,(1,

1x1對(duì)于特征值a2，由[(a2)EA)]X0，即 1x0 2

2x