高數(shù)下冊11十一章3節(jié)

11.3.1

Green公式及其應(yīng)用一、有關(guān)概念：(1)平面域D是單連通域：D內(nèi)任意閉曲線所圍部分都包含于D.(2)若D不是單連通域,則稱D為復(fù)連通域.(3)平面域D的邊界L的正向規(guī)定：觀察者沿此方向行走時,D內(nèi)在其近處的部分總在其左邊.二、格林公式：練習(xí)：教材213頁習(xí)題1(1)Th的證明思路：(例如P202圖)三、格林公式的應(yīng)用：1、求分段光滑曲線L圍成的閉區(qū)域D的面積：另證1,23、線積分法：Green公式的應(yīng)用1,2,3.2、二重積分法：重積分的應(yīng)用1,2.(直標(biāo)下,極標(biāo)下)1、定積分法：微元法的應(yīng)用1,2.(直標(biāo)下,極標(biāo)下)2、直接用公式將線積分和二重積分互化.[分析]：直接求線積分較繁瑣.故：化線積分為二重積分求.[分析]：直接求線積分較繁瑣.故：化線積分為二重積分求,法1、交換積分次序法：(交換積分次序法)續(xù)解注1、用公式將線積分與二重積分互化時,注意閉區(qū)域邊界曲線的方向：注2、二重積分遇原函數(shù)不能寫成初等函數(shù)時：(1)交換積分次序(注意積分區(qū)域的解析表示法)；(2)構(gòu)造輔助函數(shù)用公式將二重積分化為線積分.題目已定方向,則不能變；自己設(shè)定,則盡量設(shè)為正向.3、直接補(bǔ)邊界后用公式.[分析]1、直接求線積分很繁瑣.續(xù)解[分析]：1、直接求線積分繁瑣.續(xù)解注：本題可補(bǔ)不過原點(diǎn)且使原點(diǎn)不在所圍區(qū)域內(nèi)的從點(diǎn)B到點(diǎn)A的任意分段光滑的曲線邊界.1、作用：2、常見補(bǔ)法：(1)補(bǔ)線段、折線段；(1)化線積分為二重積分；(2)將線積分化繁為簡.(2)補(bǔ)圓弧段、橢圓弧段.(1)閉區(qū)域邊界曲線的方向：3、注意：(2)所補(bǔ)邊界曲線及所圍區(qū)域應(yīng)避免含被積函數(shù)的無定義點(diǎn).通常定所補(bǔ)邊界與已知曲線同向.4、通過挖洞補(bǔ)邊界后用公式.挖原點(diǎn)為心r為半徑的圓洞1、作用：2、常見挖法：(1)化線積分為二重積分；(2)將線積分化繁為簡.挖圓洞、橢圓洞.(1)閉區(qū)域邊界曲線的方向：(2)有時需求相關(guān)極限.如：3、注意：依計(jì)算方便確定所補(bǔ)邊界的方向.1、求閉區(qū)域的面積.2、將線積分與二重積分互化.小結(jié)：格林公式及其應(yīng)用作業(yè)11-3-1：213頁1(2),246頁3(5)3、挖補(bǔ)得閉區(qū)域化線積分為二重積分.4、挖補(bǔ)得閉區(qū)域?qū)⒕€積分化繁為簡.11.3.2積分與路徑無關(guān)一、積分與路徑無關(guān)的定義：(不論方向)求原函數(shù)u(x,y)：※1、湊微分法：(略)常用方法：2、折線積分法(公式法)：210頁▲3、偏積分法：(P關(guān)于x的一個原函數(shù))(待定函數(shù))(Q關(guān)于y的一個原函數(shù))(待定函數(shù))以下求u(x,y)：偏積分法1：偏積分法2：公式法1：公式法2：以下求u(x,y)：偏積分法1：偏積分法2：公式法1：公式法2：公式法1：公式法2：[分析]：運(yùn)算繁瑣.由例1得.11.3.1節(jié)例3(2)∴L可變?yōu)閺腁到B不過原點(diǎn)的分段光滑曲線C，且C需滿足：原點(diǎn)不在L與C所圍區(qū)域內(nèi).注1、曲線積分在G內(nèi)與路經(jīng)L無關(guān)時,常據(jù)積分特點(diǎn)改變路徑使計(jì)算簡單.如練習(xí)6(2)(3)直→曲(特殊路徑).(1)曲→直；斜→平(折)；如例3(2)曲(一般)→曲(特殊)；如例4如練習(xí)7,82、有時需將被積函數(shù)分離后,用不同方法或選不同路徑求各個積分.1、定義及相應(yīng)等價條件.2、求原函數(shù)的方法.小結(jié)：積分與路經(jīng)無關(guān)及其應(yīng)用3、據(jù)積分特點(diǎn)改變路徑使計(jì)算簡單.11.1--11.3節(jié)練習(xí)1--8作業(yè)11-3-2：213頁4(2),5(1,3),6(5)247頁7練習(xí)：提示：直接求線積分較繁瑣故：化為二重積