基于數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維審視高考物理試題 論文

021安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選

基于數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維審視高考物理試題摘要：高考評價注重能力考查，掌握科學(xué)的思維方法是解決問題的關(guān)鍵。數(shù)理結(jié)

合的跨學(xué)科思維突出特征是思維上融合貫通。本文以2021年高考題為例，分基礎(chǔ)型和發(fā)展型兩類，從數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維角度去剖析問題，提出合理化的建議。

關(guān)鍵詞：思維方法；數(shù)理結(jié)合；跨學(xué)科思維；高考試題《中國高考評價體系》明確指出：高考考查的素質(zhì)教育目標(biāo)凝練為“核心價值、學(xué)

科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”的“四層”考查內(nèi)容。其中“學(xué)科素養(yǎng)”承接核心價值的方向引領(lǐng)，統(tǒng)攝關(guān)鍵能力與必備知識；“關(guān)鍵能力”是支撐和體現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)要求的能

[1]

力表征。學(xué)科素養(yǎng)包括“學(xué)習(xí)掌握、實踐探索、思維方法”三個一級指標(biāo)，其中“思維方法”是指學(xué)習(xí)者在面對生活實踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，進(jìn)行獨立思考和探索創(chuàng)新

的內(nèi)在認(rèn)知品質(zhì)?！八季S方法”是思維品質(zhì)、方式和能力的綜合，是個體高質(zhì)量地解決生活實踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問題的基礎(chǔ)。思維方法包含三個二級指標(biāo)：科學(xué)思維、

[1]

人文思維、創(chuàng)新思維。科學(xué)思維的指標(biāo)表現(xiàn)是采用嚴(yán)謹(jǐn)求真的、實證性的邏輯思維方式應(yīng)對各種問題。能夠根據(jù)對問題情境的分析，運(yùn)用實證數(shù)據(jù)分析事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和問

題的內(nèi)在聯(lián)系。以抽象的概念來反映客觀事物的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系。運(yùn)用抽象與聯(lián)想、歸納與概括、推演與計算、模型與建模等思維方法來組織、調(diào)動相關(guān)的知識與能力，解

[1]

決生活實踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問題。隨著高考評價與教育育人目標(biāo)的有機(jī)聯(lián)通，需要我們運(yùn)用融合的科學(xué)思維方式去面對，運(yùn)用好類似數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維是值

得深入研究、探索的話題。一、數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維的認(rèn)識

數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維是指在物理與數(shù)學(xué)中不囿于學(xué)科邊界，重視學(xué)科內(nèi)部、外部的知識交叉、融合，通過跨界去整合知識，從而解決問題的思維方式，它的突出特征是

[2]

思維上的融會貫通。對于物理學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，楊振寧曾用長在一棵根莖上的“雙葉”加以形容。一片

葉子是物理學(xué)，另一片葉子是數(shù)學(xué)，兩者生長在同一根莖上，這充分說明了數(shù)學(xué)與物理[3]

學(xué)的同源關(guān)系。不論物理知識在學(xué)習(xí)建構(gòu)過程中，還是物理知識運(yùn)用過程中，數(shù)學(xué)和12021安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選

[4]

方法論問題都起到重要的紐帶作用。由于數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的廣泛性、普適性以及數(shù)學(xué)理性思維的不可替代性，無論是人文社科領(lǐng)域，還是自然科學(xué)領(lǐng)域，與數(shù)學(xué)的交叉與融合

都具有普遍性?？傊?，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維是非常必要的。由于學(xué)科教學(xué)的分立，教師教學(xué)中過于習(xí)慣固守學(xué)科邊界，很難主動進(jìn)行學(xué)科間知識的融通，造成了思

維的局限性。在物理教學(xué)過程中，老師要主動示范，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法去分析物理概念、規(guī)律及物理公式和圖像的物理結(jié)論，既考慮定性分析，又重視定量計算。

真正利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維讓知識之間有了聯(lián)系，便于遷移，讓知識鮮活、流動起來，從而使師生既看見“樹木”，又看到“森林”。

二、利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維分析案例近幾年高考物理重視學(xué)生綜合素質(zhì)的考查，試題突出知識間的聯(lián)系和學(xué)科間的融合，

以社會生活、生產(chǎn)和科學(xué)創(chuàng)新的情境為依托，考察學(xué)生能否綜合運(yùn)用學(xué)科知識和多種思維方法，從不同角度思考、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。由于物理與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系，高考

試題的變化倒逼我們加強(qiáng)數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生主動用跨學(xué)科思維方法去分析、解決物理問題，更好地達(dá)成知識間、能力間的融會貫通。根據(jù)數(shù)理結(jié)合

的復(fù)雜程度，把相關(guān)高考試題分為基礎(chǔ)型和發(fā)展型，下面結(jié)合2021年全國高考物理（乙卷）試題作案例分析。

.基礎(chǔ)型例

1.（2021年全國高考乙卷第

20題）。

四個帶電粒子的電荷量和質(zhì)量分別

+q，m)

(+q，2m)

(+3q，3m)

(-

q，m)

它們先后以相同的速度從坐標(biāo)原點沿

x

軸正1(、、、方向射入一勻強(qiáng)電場中，電場方向與y軸平行，不計重力，下列描繪這四個粒子運(yùn)動軌

跡的圖像中22021安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選

（參見圖1），可能正確的是（??）

分析：該題以不同荷質(zhì)比的帶電粒子在同一電場中偏轉(zhuǎn)為情境設(shè)置問題，主要考查學(xué)生根據(jù)拋體運(yùn)動規(guī)律，確定不同帶電粒子運(yùn)動軌跡圖形形狀的判斷能力。在x軸上粒

qE12子的運(yùn)動位移x=v0t；在y軸上，粒子運(yùn)動的加速度和位移分別為a=m

和y

=

at

，2qE

2所以，帶電粒子在電場中運(yùn)動的軌跡方程為y=2

x。由粒子運(yùn)動的軌跡方程可知，

2mv0

q帶電粒子運(yùn)動軌跡的形狀與荷質(zhì)比的大小有關(guān)。此題需要建構(gòu)所學(xué)拋體運(yùn)動的軌跡方

m程，利用數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖像特點去進(jìn)行分析、判斷。學(xué)生如果缺乏建立軌跡方程的意識，

沒有跨學(xué)科思維的習(xí)慣，就難以形成解決問題的方法和路徑。這類題目在歷屆高考中也曾反復(fù)出現(xiàn)。

反思和建議：此類高考試題的解答，多從具體物理問題出發(fā)，經(jīng)過知識的梳理需要延伸到利用數(shù)學(xué)工具去解決。教師在教學(xué)中應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)理結(jié)合的角度，運(yùn)用聯(lián)想、

類比、遷移、逆向思維等方法去處理物理問題，尤其注重挖掘并發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)元素，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維方式去解決相關(guān)的物理問題。

2.發(fā)展型

例題

2.[2021全國高考物理乙卷

34題第（2）小題]

用插針法測量上、下表面平行的玻璃磚的折射率。實驗中用A、B兩個大頭針確定入射光路，C、D兩個大頭針確定出

/射光路。O

和

O

分別是入射點和出射點，如圖（a）所示（參見圖

2）。測得玻璃磚厚度

為h=15。0mm；A到過O點的法線OM的距離AM=10。0mm，M到玻璃磚的距離MO=20。0mm，O/到OM的距離為s=5。0mm。

（i）求玻璃磚的折射率；

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（ii）用另外一塊材料相同，但上下表面不平行的玻璃磚繼續(xù)實驗，玻璃磚的截面

如圖2（b）所示。光從上表面入射，入射角從0逐漸增大，達(dá)到45°時，玻璃磚下表面的出射光線恰好消失。求此玻璃磚上下表面的夾角。

分析：插針法是一種測量結(jié)果相對比較精確，而操作過程又非常簡單的測量透明物質(zhì)折射率的實驗方法。上面的這道題目是2021全國高考物理乙卷選考題最后一題（34

題）的第2個小題，以插針法測量玻璃折射率為背景設(shè)置的題目。通過考生對該題目的解答，可以考察學(xué)生對折射率的含義、全反射的條件等知識點的掌握情況，和靈活運(yùn)用

數(shù)學(xué)知識解決復(fù)雜物理問題的能力。第一問，利用題目給出的相關(guān)線段的長度作為條件，在圖2（a）Rt△OAM和Rt△OO/N

/中可以分別求出∠AOM和∠OON的正弦值，再根據(jù)折射率的定義即可確定組成玻璃磚材

料的折射率為2。應(yīng)該說，題目的第一個小問題屬于基礎(chǔ)性問題，只要學(xué)生掌握折射

率的定義，利用題目條件容易確定問題的答案。相比于第一個問題，第二個小問題的難度要高一些，不僅要求學(xué)生掌握全反射的條件，而且還要有較強(qiáng)的分析問題和解決問題

的能力。根據(jù)題目條件，在圖中作出相關(guān)輔0///助線（之如后圖3所示）——過O點分別作OM的平行線OH和，底面的法線ON，根據(jù)入射角D1=45

，0由折射定律可以確定折射角D2

=30

，光線在玻璃中射到底面玻璃和空氣的分界面時要發(fā)

/00生全反射利，用光的折射定律可以確定此時的入射角DOON

=45

，繼而便可確定D4

=15

，

0即玻璃磚的上下表面的夾角為15

?？梢钥闯觯绢}目的兩個小問題，不僅考察的知識點全面，而且有明顯的難度梯度，

具有區(qū)分考生能力高下的功能，這也是作為選拔性考試題目應(yīng)該具備的一個條件。能夠發(fā)現(xiàn)，這道高考題目給出的幾個長度數(shù)據(jù)條件比較“特殊”，利用三角函數(shù)經(jīng)

過計算剛好使得相關(guān)的角度為特殊角（分別是15°、30°和45°這些特殊角），這肯定是編者精心設(shè)計的結(jié)果，目的是使考生便于根據(jù)題目給出的長度數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)角度的計

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算。我們從數(shù)理結(jié)合的視角去思考，如果該問題給出線段的長度數(shù)據(jù)是任意的，對應(yīng)的相關(guān)角度就可能不再是特殊角，那么，一般情形下這一物理問題的求解，在數(shù)學(xué)關(guān)系上

是否存在確定的規(guī)律？擴(kuò)展條件尋找規(guī)律

例3.如圖4所示，玻璃磚的上下兩個側(cè)面PQ和RS不平行，讓一束光線按圖示方向以較小的入射角從空氣照射到玻璃磚上表面PQ上的確定點O，并逐漸增大入射角，發(fā)現(xiàn)

當(dāng)入射角增大到q時，進(jìn)入玻璃中的折射光線OB射到玻璃下側(cè)面時剛好發(fā)生全反射，

，試求玻璃磚上下兩個側(cè)面

PQ

和

RS

夾角

的大?。捎梅慈呛舨ＡУ恼凵渎蕿?/p>

數(shù)表示）。na分析：這道高考變式題目，是在原高考題目的基礎(chǔ)上更改一些條件之后，將原高考

題目給出的特殊角下的物理問題推廣到一般情形了，各相關(guān)角度成了任意角，所以，這道變式題目的解決方法和對應(yīng)答案更具普遍意義。

解析：如圖5所示，過B作BH//MN，BC⊥RS，則BC為分界面RS上過B點的法線，，DOBH

=DBON

。由折射定律可得：sin

DBON

=sinq

，所以：

則有DCBH=ansinq

+a

，

DOBC

=DOBH

+DCBH

=DBON

+a

=arcsinn玻璃中的光線OB射向分界面RS剛好發(fā)生全反射時，滿足sinDOBC=1，所以：

nsinq

n+a)

=1

，因此，a

=arcsin

-

arcsin

1sinq。

nsin(arcsin

nn1sinq

，當(dāng)

n

=

2

，

0對式子a

=arcsin

-

arcsin

q=45時nn0a

=arcsin

1

-

arcsin

sin45=arcsin22

-

arcsin

1

=15

，0222該結(jié)果正是例題2給出條件下玻璃磚上下表面的夾角，這也從一個側(cè)面說明我們推

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1sinq的正確性。

n得的公式a

=arcsin

-

arcsin

n跟原高考題目給出的問題相比，這一變式給出的一般情形下問題的求解，能夠更好

的利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維方式培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)推理能力。開拓思路創(chuàng)編新題

例題4.如圖6所示，半球狀玻璃磚球心為O，底面水平放置，OM是垂直于底面的直23線，玻璃的折射率為，ON

是過

O

點的另外一條直線，它與

OM

的夾角為a

，在兩條

3直線確定的平面內(nèi)，光線AB以很小的入射角從空氣射向玻璃磚球面上的點B，保持入射

點位置不變，逐漸增大入射角，當(dāng)角度增大到確定值時，折射入玻璃磚中的光線再射q向底面時剛好發(fā)生全反射，已知

C

是

A

在直線

OB

上的正投影，

AC

=1

，BC

=

2

。

（（1）求法線

ON

與直線

OM

夾角a

的大小；

/02）如圖

7所示，當(dāng)入射光線

ED

對應(yīng)法線

OP

與豎直線

OM

的夾角為a

=15

時，

/為使折射入玻璃中的光線再射向玻璃磚的底面使能夠發(fā)生全反射，入射角

多大（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）？q的最小值為

解析：（1）圖6中過光線AB的入射點B作球面的切線，交底面于S，如圖8所示，則DS

=DBOM

=a

，

由

已知條件可求

得

sinq

=

33

，則光線從

B

點由空氣入射時，相當(dāng)于光線從兩側(cè)面為平面且夾角為

a的玻璃磚的一個側(cè)面由空氣入射的情形，運(yùn)用

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例題2推導(dǎo)的公式可得：1sinq

na

=arcsin

-

arcsin

n3

-

arcsin

12=60

-

30

=30

。

000=arcsin

2（2）圖7中，對入射光線ED而言，要使折射光線再射到玻璃磚的底面時發(fā)生全反

射，必須滿足：/1sinq

n/a

=arcsin

-

arcsin

，n330/，即15

=arcsin2

-

arcsin(

2

×sinq

)

3/000所以arcsin(

×sinq

)

=60

-

15

=45

，23×sinq

=

22

，

/所以

2所以sinq

=

36

，

/所以q

=arcsin

36

。

/答：（1）法線ON與直線OM夾角

a的大小30°；（2）為使折射入玻璃中的光線再

的最小值為q

=arcsin

36

。//射向玻璃磚的底面使能夠發(fā)生全反射，入射角

q反思和建議：上面給出的原高考試題和對應(yīng)變式的解答，能夠利用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)

科思維方式解決相關(guān)問題，從例

2到例3，體現(xiàn)了歸納推理的基本思想，從例3到例4，展現(xiàn)了演繹推理的思維方式，這些問題的解決可以提升學(xué)生的科學(xué)推理能力。老師要有

對此類高考題背后的數(shù)學(xué)規(guī)律挖掘的意識和行為，多帶領(lǐng)學(xué)生靈活使用數(shù)理結(jié)合的跨學(xué)科思維去深化對物理規(guī)律的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生思考知識內(nèi)部的關(guān)聯(lián)規(guī)律，提升學(xué)生深度分

[5]

析問題的能力。三、