高二解析幾何難點(diǎn)微專題25講10-拋物線焦點(diǎn)弦

10.拋物線的焦點(diǎn)弦拋物線的焦點(diǎn)弦具有豐富的性質(zhì)，它是對(duì)拋物線定義的進(jìn)一步考察，也是拋物線這節(jié)中最重要的考點(diǎn)之一，下面羅列出常見的拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì):假設(shè)拋物線方程為.過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為

.性質(zhì)1.,.證明：性質(zhì)1的證明很簡(jiǎn)單，由拋物線的定義即可證得.如上圖，過向準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為.由定義可知：.代入坐標(biāo)即可證得相關(guān)結(jié)論.性質(zhì)2.拋物線的焦點(diǎn)為F，是過的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：.證明：，則的方程為，整理可得：，即可得的方程為：.最后，由于直線過焦點(diǎn)，代入焦點(diǎn)坐標(biāo)可得.再代入拋物線方程性質(zhì)3.已知傾斜角為直線的經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則（1）.（2）.證明：略性質(zhì)4.拋物線的通徑(1).通徑長(zhǎng)為.(2).焦點(diǎn)弦中，通徑最短.(3).通徑越長(zhǎng)，拋物線開口越大.性質(zhì)5.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.證明思路：中點(diǎn)弦問題，點(diǎn)差法即可.性質(zhì)6.以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.2典例.例1.（2019年全國(guó)1卷）已知拋物線方程的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為.若，求的方程；若，求．解析：（1）設(shè)直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：聯(lián)立得：則，解得：直線的方程為：，即：（2）設(shè)，則可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：則，，則例2.（2018年全國(guó)2卷）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程為y=x–1．（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或．例3．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知為拋物線的焦點(diǎn),過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于兩點(diǎn),直線與交于兩點(diǎn),則的是小值為 ()A． B． C． D．解析：法一:設(shè),,直線方程為取方程,得∴同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足由拋物線定義可知當(dāng)且僅當(dāng)(或)時(shí),取得等號(hào)．法二:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式有:．故選A．法四:設(shè)點(diǎn),則設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得所以,所以同理所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)更多結(jié)論：拋物線的正交弦性質(zhì):已知為拋物線的焦點(diǎn),過作兩條互相垂直的直線,直線與交于兩點(diǎn),直線與交于兩點(diǎn),則的調(diào)和平均數(shù)為定值:．于是本題可以直接利用這個(gè)性質(zhì)秒殺,所以．橢圓與雙曲線有類似的性質(zhì),于是得到圓錐曲線的正交定值定理已知圓