圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形

9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形9.4圓軸扭轉時

橫截面上的應力與變形9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形通過前面的討論，我們己解決了軸的內力計算問題，本節(jié)將進一步研究圓軸扭轉時橫截面上的應力和變形。一、圓軸扭轉時橫截面上的應力分析圓軸扭轉橫截面上的應力時，需要從幾何、物理和靜力學三個方面來討論。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形（一）變形幾何關系為了求得圓軸扭轉時橫截面上的應力，必須了解應力在橫截面上的分布規(guī)律。為此，首先可通過試驗觀察其表面的變形現(xiàn)象。取一根圓軸，實驗前先在它的表面上劃兩條圓周線和兩條與軸線平行的縱向線。實驗時，在圓軸兩端施加一對力偶矩為M的外力偶，使其產(chǎn)生扭轉變形，如圖所示。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形在變形微小的情況下，可以觀察到如下現(xiàn)象：⒈兩條縱向線均傾斜了相同的角度，使原來軸表面上的小方格變成了平行四邊形。⒉各圓周線均繞圓軸的軸線轉動了一個角度，但其大小、形狀和相鄰圓周線的距離均保持不變。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形根據(jù)觀察到的這些現(xiàn)象，我們可以作出如下假設：各橫截面在圓軸扭轉變形后仍保持為平面,形狀、大小都不變,半徑仍為直線,只是繞軸線轉動了一個角度，橫截面間的距離均保持不變（稱為平面假設）。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形根據(jù)平面假設推論，可得到以下結論：1）由于相鄰截面間相對地轉過了一個角度，即橫截面間發(fā)生了旋轉式的相對錯動，出現(xiàn)了剪切變形，故截面上有剪應力存在。2）由于半徑的長度不變，故圓軸無徑向應力，且剪應力方向必與半徑垂直。3）由于相鄰截面的間距不變，所以橫截面上沒有正應力。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形為了分析剪應力在橫截面上的分布規(guī)律，我們從軸中取出長為dx微段來研究。在力偶的作用下,截面n-n與m-m的相對轉角為d

,圓軸表面所畫的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC/D/,其變形程度可用原矩形直角的改變量γ表示,稱為剪應變（也稱為切應變）。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形現(xiàn)再用過軸線的兩徑向平面OO/AD和OO/BC切出如圖所示楔形塊，從圖中可見，在小變形下，圓軸表面層的剪應變?yōu)?/p>

同樣離圓心為ρ處的剪應變?yōu)?/p>

(a)

9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形上式中，表示扭轉角沿軸線

x

的變化率，稱為單位長度的扭轉角。（或簡稱單位扭轉角）對某一個給定平面來說，是常量，所以剪應變γρ與ρ成正比，即剪應變的大小與該點到圓心的距離成正比。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形（二）物理關系根據(jù)剪切胡克定理，當剪應力τ不超過材料的剪切比例極限τP時，橫截面上距圓心為ρ處的剪應力τP與該處的剪應變γρ成正比，即τρ=Gγρ將(a)式代入上式，得(b)9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形上式表明：橫截面上任一點處的剪應力的大小,與該點到圓心的距離ρ成正比。也就是說,在截面的圓心處剪應力為零,在周邊上剪應力最大。在半徑都等于ρ的圓周上各點處的剪應力τρ的數(shù)值均相等。橫截面的剪應力沿著半徑按直線規(guī)律分布。剪應力的分布規(guī)律如右圖所示，剪應力的方向與半徑垂直。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形（三）靜力學關系式(b)雖然表明了剪應力在截面上的分布規(guī)律，但其中尚未知，因此必須根據(jù)靜力平衡條件，建立剪應力與扭矩的關系，才能求出剪應力。在上面圓軸的截面上距圓心為ρ的點處，取一微面積dA，此面積上的微剪力為τρdA，它對圓心的力矩為ρτρdA，整個截面上各處的微剪力對圓心的力矩的總和應等于該截面上的扭矩Mn，即9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形即有關系式上式中，積分號下的A表示對整個橫截面的面積進行積分。將(b)式代入上式，得9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形有關系式上式中，由于G、均為常量，故可寫成

（d）上式中：積分為截面對圓心O的極慣性矩，已經(jīng)在第七章介紹。它與橫截面的幾何形狀和尺寸有關，表示截面的一種幾何性質，其常用單位為mm4或m4，用IP表示，即9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形于是(d)式可寫成或（e）將(e)式代入(b)式，即得橫截面上任一點處的剪應力的計算公式為

(9—4)式中：

Mn

——橫截面上的扭矩；

ρ——橫截面上任一點到圓心的距離；

IP——橫截面對圓心的極慣性矩。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形在式（9-4）中，如取ρ=ρmax=R，則可得圓軸橫截面周邊上的最大剪應力為若令則最大剪應力可寫成(9—5)

WP稱為抗扭截面系數(shù)，常用單位為mm3或m3。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形歸納圓軸受扭轉時橫截面上的應力要點1.橫截面上只有剪應力，沒有正應力；2.剪應力的作用線與截面的半徑垂直，指向與扭矩方向對應。3.剪應力的大小與扭矩成正比，與應力點到圓心的距離成正比，與截面的極慣性矩成反比；4.剪應力的計算公式為：5.剪應力的分布圖如圖。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形下面介紹截面的極慣性矩IP和抗扭截面系數(shù)WP的計算。1）圓形截面對于直徑為D的圓形截面，可取一距圓心為ρ

、厚度為dρ的圓環(huán)作為微面積dA（如圖）則dA=2πρdρ

圓形截面的抗扭截面系數(shù)為9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形2）圓環(huán)形截面對于內徑為d,外徑為D的空心圓截面,如圖,其慣性矩可以采用和圓形截面相同的方法求出：若取內外徑比

=d/D,則上式可寫成圓環(huán)形截面的抗扭截面系數(shù)為9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形例9-2如圖所示，某實心圓軸，直徑D=50mm，傳遞的扭矩Mn=2kN·m，試計算與圓心距離ρ=15mm的k點處的剪應力及截面上的最大剪應力。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形解：扭矩Mn=2kN·m=2×103N·m截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)分別為9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形根據(jù)式（9-4）、（9-5）得k

點處的剪應力與最大剪應力分別為9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形二、圓軸扭轉時的變形圓軸在扭轉時的變形可用兩個截面之間的扭轉角來度量。在前述中，兩相距dx的兩橫截面之間的相對扭轉角為dφ，由(e)式可得

所以相距為的兩橫截面之間的相對扭轉角為：9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形對于同一材料制成的等截面圓軸，只在軸的兩端受扭矩作用時，沿軸線方向各截面的Mn、G和IP均為常量，由上式積分可得等截面圓軸扭轉變形的計算公式為:

式中：

Mn——橫截面上的扭矩；

l——兩截面間的距離；

G——軸材料的切變模量；

IP——橫截面對圓心的極慣性矩。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形相對扭轉角φ的單位為rad（弧度），正負號與扭矩一致。由公式（9-16）可以看出,扭轉角φ與扭矩Mn、軸長l成正比,與GIP

成反比。在扭矩Mn一定時,GIP越大,

φ就越小,GIP反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為圓軸截面的抗扭剛度。9.4圓軸扭轉時橫截面上的應力與變形若軸上各段內的扭矩不相等或截面不相等（例如階梯軸），則應分段按公式（9-16）計算各段軸兩端截面間的相對扭轉角，然后相加得到總的扭轉角。即有