2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第十章算法、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例、概率

第1節(jié)算法與程序框圖考綱要求1.了解算法的含義，了解算法的思想；2.理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)；3.了解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義．知識梳理1．算法(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．(2)應(yīng)用：算法通?？梢跃幊捎嬎銠C(jī)程序，讓計算機(jī)執(zhí)行并解決問題．2．程序框圖定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．3．三種基本邏輯結(jié)構(gòu)名稱內(nèi)容順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)定義由若干個按先后順序執(zhí)行的步驟組成，這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)算法的流程根據(jù)條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流向的結(jié)構(gòu)形式從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體程序框圖4.基本算法語句(1)輸入、輸出、賦值語句的格式與功能語句一般格式功能輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量輸入信息輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式輸出常量、變量的值和系統(tǒng)信息賦值語句變量＝表達(dá)式將表達(dá)式的值賦給變量(2)條件語句的格式①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循環(huán)語句的格式①WHILE語句②UNTIL語句eq\x(\a\al(DO,循環(huán)體,LOOPUNTIL條件))1．賦值號左邊只能是變量(不是表達(dá)式)，在一個賦值語句中只能給一個變量賦值．2．直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”，兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好相反．診斷自測1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)一個程序框圖一定包含順序結(jié)構(gòu)，但不一定包含條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．()(2)條件結(jié)構(gòu)的出口有兩個，但在執(zhí)行時，只有一個出口是有效的．()(3)輸入框只能緊接開始框，輸出框只能緊接結(jié)束框．()(4)輸入語句可以同時給多個變量賦值．()(5)在算法語句中，x＝x＋1是錯誤的．()答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×2．給出如圖程序框圖，其功能是()A．求a－b的值 B．求b－a的值C．求|a－b|的值 D．以上都不對答案C解析當(dāng)a≥b時，輸出結(jié)果為a－b；當(dāng)a<b時，輸出結(jié)果為b－a，故其功能是求|a－b|的值．故選C.3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S為4，則輸入的x應(yīng)為()A．－2 B．16C．－2或8 D．－2或16答案D解析程序框圖是求函數(shù)S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,2－x，x≤1))的函數(shù)值，S＝4時，x＝－2或16.故選D.4．(2020·全國Ⅱ卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的k＝0，a＝0，則輸出的k為()A．2 B．3 C．4 D．5答案C解析程序框圖運行如下：a＝2×0＋1＝1<10，k＝1；a＝2×1＋1＝3<10，k＝2；a＝2×3＋1＝7<10，k＝3；a＝2×7＋1＝15>10，k＝4.此時輸出k＝4，程序結(jié)束．5．(2020·江蘇卷)如圖是一個算法流程圖．若輸出y的值為－2，則輸入x的值是________．答案－3解析由算法流程圖知該程序是求函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0))的值．當(dāng)x＞0時，令2x＝－2，無解；當(dāng)x≤0時，令x＋1＝－2，解得x＝－3.故輸入x的值是－3.6．(2021·西安調(diào)研)如圖為計算y＝|x|函數(shù)值的程序框圖，則此程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填________．答案x<0解析輸入x應(yīng)判斷x是否大于等于零，由圖知判斷框應(yīng)填x<0.考點一順序結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)1．閱讀如圖所示程序框圖．若輸入x值為9，則輸出的y的值為()A．8 B．3 C．2 D．1答案B解析a＝92－1＝80，b＝80÷10＝8，y＝log28＝3.2．給出一個如圖所示的程序框圖，若要使輸入的x的值與輸出的y的值相等，則x的可能值的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析由已知可知，該程序框圖的作用是計算并輸出分段函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤2，,2x－3，2<x≤5，,\f(1,x)，x>5))的值．因為輸入的x值與輸出的y值相等，所以當(dāng)x≤2時，令x＝x2，解得x＝0或x＝1；當(dāng)2<x≤5時，令x＝2x－3，解得x＝3；當(dāng)x>5時，令x＝eq\f(1,x)，解得x＝±1(舍去)．故滿足條件的x值共有3個．故選C.3．如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14,18，則輸出的a＝()A．0 B．2 C．4 D．14答案B解析第一次執(zhí)行，輸入a＝14，b＝18，因為a＜b，所以b＝18－14＝4；第二次執(zhí)行，因為a＝14，b＝4，a＞b，所以a＝14－4＝10；第三次執(zhí)行，因為a＝10，b＝4，a＞b，所以a＝10－4＝6；第四次執(zhí)行，因為a＝6，b＝4，a＞b，所以a＝6－4＝2；第五次執(zhí)行，因為a＝2，b＝4，a＜b，所以b＝4－2＝2，此時a＝b＝2.故選B.感悟升華應(yīng)用順序結(jié)構(gòu)與條件結(jié)構(gòu)的注意點(1)順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的.(2)條件結(jié)構(gòu)：利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問題時，重點是判斷框，判斷框內(nèi)的條件不同，對應(yīng)的下一程序框中的內(nèi)容和操作要相應(yīng)地進(jìn)行變化，故要重點分析判斷框內(nèi)的條件是否得到滿足．提醒條件結(jié)構(gòu)的運用與數(shù)學(xué)的分類討論有關(guān)．設(shè)計算法時，哪一步要分類討論，哪一步就需要用條件結(jié)構(gòu)．考點二循環(huán)結(jié)構(gòu)角度1由程序框圖求輸出結(jié)果【例1】(2020·全國Ⅰ卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n＝()A．17 B．19 C．21 D．23答案C解析由程序框圖可知S＝1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2(m∈N*)，由S>100，得m>10(m∈N*)，故當(dāng)m＝11時循環(huán)結(jié)束，輸出的值為n＝2m－1＝21.故選C.角度2完善程序框圖【例2】如圖是求eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入()A．A＝eq\f(1,2＋A) B．A＝2＋eq\f(1,A)C．A＝eq\f(1,1＋2A) D．A＝1＋eq\f(1,2A)答案A解析對于選項A，第一次循環(huán)，A＝eq\f(1,2＋\f(1,2))；第二次循環(huán)，A＝eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))，此時k＝3，不滿足k≤2，輸出A＝eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的值．故A正確；經(jīng)驗證選項B，C，D均不符合題意．故選A.感悟升華1.已知程序框圖，求輸出的結(jié)果，可按程序框圖的流程依次執(zhí)行，最后得出結(jié)果．2．完善程序框圖問題，應(yīng)結(jié)合初始條件和輸出結(jié)果，分析控制循環(huán)的變量應(yīng)滿足的條件或累加、累乘變量的表達(dá)式．【訓(xùn)練1】(1)如圖(1)所示程序框圖是為了求出滿足3n－2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在

和?兩個空白框中，可以分別填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2圖(1)圖(2)(2)執(zhí)行如圖(2)所示的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為()A．5 B．4 C．3 D．2答案(1)D(2)D解析(1)程序框圖中A＝3n－2n，故判斷框中應(yīng)填入A≤1000，由于初始值n＝0，要求滿足A＝3n－2n>1000的最小偶數(shù)，故執(zhí)行框中應(yīng)填入n＝n＋2，選D.(2)若N＝2，第一次進(jìn)入循環(huán)，t＝1≤2成立，S＝100，M＝－eq\f(100,10)＝－10，t＝1＋1＝2≤2成立，第二次進(jìn)入循環(huán)，此時S＝100－10＝90，M＝－eq\f(－10,10)＝1，t＝2＋1＝3≤2不成立，所以輸出S＝90<91成立，所以輸入的正整數(shù)N的最小值是2.考點三基本算法語句【例3】(1)根據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入x為60時，輸出y的值為()A．25 B．30 C．31 D．61(2)下列程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是________．eq\x(\a\al(i＝11,S＝1,DO,S＝S*i,i＝i－1,LOOPUNTILi<9,PRINTS,END))答案(1)C(2)990解析(1)該語句為分段函數(shù)，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6x－50，x＞50.))當(dāng)x＝60時，y＝25＋0.6×(60－50)＝31，故選C.(2)程序反映出的算法過程為i＝11?S＝11×1，i＝10；i＝10?S＝11×10，i＝9；i＝9?S＝11×10×9，i＝8；i＝8<9退出循環(huán)．執(zhí)行“PRINTS”．故S＝990.感悟升華1.本題主要考查條件語句、輸入與輸出語句，要注意賦值語句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其實質(zhì)是計算“＝”右邊表達(dá)式的值，并將該值賦給“＝”左邊的變量．2．解決算法語句的一般思路是：首先通讀全部語句，把它翻譯成數(shù)學(xué)問題；其次領(lǐng)悟該語句的功能，注意WHILE語句中是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，而UNTIL語句中是當(dāng)條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體．【訓(xùn)練2】如圖為一個求20個數(shù)的平均數(shù)的程序，在橫線上應(yīng)填充的語句為()eq\x(\a\al(S＝0,i＝1,WHILE,INPUTx,S＝S＋x,i＝i＋1,WEND,a＝S/20,PRINTa,END))A．i＞20 B．i＜20 C．i＞＝20 D．i＜＝20答案D解析根據(jù)功能是求20個數(shù)的平均數(shù)可知，循環(huán)體共需要執(zhí)行20次，由循環(huán)變量的初始值為1，步長為1可知，當(dāng)循環(huán)20次時，循環(huán)變量的值為21，應(yīng)退出循環(huán)．又因為當(dāng)型循環(huán)是不滿足條件退出循環(huán)，所以i＞20時退出循環(huán)，故選D.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2021·鄭州質(zhì)檢)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n＝eq\f(1,2)，則輸出的n的值為()A.eq\f(3,2) B．2 C．eq\f(5,2) D．3答案C解析程序的運行過程為neq\f(1,2)1eq\f(3,2)2eq\f(5,2)aeq\f(5,2)2eq\f(3,2)1eq\f(1,2)blneq\f(1,2)0lneq\f(3,2)ln2lneq\f(5,2)n＝2時，1>ln2；n＝eq\f(5,2)時，eq\f(1,2)<lneq\f(5,2)，此時輸出n＝eq\f(5,2).2．(2020·西安模擬)如圖所示的框圖中，若輸入的x＝eq\f(15,16)，則輸出的i的值為()A．3 B．4 C．5 D．6答案B解析模擬程序的運行，可得x＝eq\f(15,16)，i＝0，執(zhí)行循環(huán)體，x＝eq\f(7,8)，i＝1，不滿足條件x＝0，執(zhí)行循環(huán)體，x＝eq\f(3,4)，i＝2，不滿足條件x＝0，執(zhí)行循環(huán)體，x＝eq\f(1,2)，i＝3，不滿足條件x＝0，執(zhí)行循環(huán)體，x＝0，i＝4，此時，滿足條件x＝0，退出循環(huán)，輸出i的值為4.故選B.3．(2021·昆明一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的T＝()A.eq\f(3,2) B．eq\f(12,7) C．eq\f(5,3) D．eq\f(8,5)答案D解析模擬程序的運行，可得k＝1，S＝0，T＝0，S＝1，滿足條件S<15，執(zhí)行循環(huán)體，T＝1，k＝2，S＝3，滿足條件S<15，執(zhí)行循環(huán)體，T＝eq\f(4,3)，k＝3，S＝6，滿足條件S<15，執(zhí)行循環(huán)體，T＝eq\f(3,2)，k＝4，S＝10，滿足條件S<15，執(zhí)行循環(huán)體，T＝eq\f(8,5)，k＝5，S＝15，此時，不滿足條件S<15，退出循環(huán)，輸出T的值為eq\f(8,5).故選D.4．(2020·南昌調(diào)研)我國古代名著《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思是：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完．現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能是計算截取7天后所剩木棍的長度(單位：尺)，則①②③處可分別填入的語句是()A．i＜7，s＝s－eq\f(1,i)，i＝2iB．i≤7，s＝s－eq\f(1,i)，i＝2iC．i＜7，s＝eq\f(s,2)，i＝i＋1D．i≤7，s＝eq\f(s,2)，i＝i＋1答案D解析由題意可知第一天后剩下eq\f(1,2)，第二天后剩下eq\f(1,22)，……，由此得出第7天后剩下eq\f(1,27)，則①處應(yīng)為i≤7，②處應(yīng)為s＝eq\f(s,2)，③處應(yīng)為i＝i＋1，故選D.5．(2021·安徽江南十校質(zhì)檢)執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出S的值為()A．－eq\f(1,12) B．eq\f(23,60) C．eq\f(11,20) D．eq\f(43,60)答案D解析由程序框圖可知S＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,5)))＝eq\f(43,60)，故選D.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，正確的是()A．若輸入a，b，c的值依次為1,2,4，則輸出的值為5B．若輸入a，b，c的值依次為2,3,5，則輸出的值為7C．若輸入a，b，c的值依次為3,4,5，則輸出的值為15D．若輸入a，b，c的值依次為2,3,4，則輸出的值為10答案C解析模擬程序的運行過程可知，該程序的功能是利用選擇結(jié)構(gòu)找出a，b的最小值并輸給變量c，再變換變量a＝b，b＝c，計算并輸出ac＋b的值；當(dāng)輸入的a，b，c的值依次為1,2,4時，交換變量得c＝1，a＝2，b＝1，輸出結(jié)果是2×1＋1＝3，所以A錯誤；當(dāng)輸入的a，b，c的值依次為2,3,5時，交換變量得c＝2，a＝3，b＝2，輸出結(jié)果是3×2＋2＝8，所以B錯誤；當(dāng)輸入的a，b，c的值依次為3,4,5時，交換變量得c＝3，a＝4，b＝3，輸出結(jié)果是4×3＋3＝15，所以C正確；當(dāng)輸入的a，b，c的值依次為2,3,4時，交換變量得c＝2，a＝3，b＝2，輸出結(jié)果是3×2＋2＝8，所以A錯誤；故選C.7．閱讀下邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為()A．5 B．8 C．24 D．29答案B解析i＝1，S＝0，i不是偶數(shù)；第一次循環(huán)：S＝1，i＝2<4；第二次循環(huán)：i是偶數(shù)；j＝1，S＝5，i＝3<4；第三次循環(huán)：i不是偶數(shù)，S＝8，i＝4，滿足i≥4，輸出S，結(jié)果為8.故選B.8．1927年德國漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲提出一個猜想：對于任意一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，對它乘3加1，如果它是偶數(shù)，對它除以2，這樣循環(huán)，最終結(jié)果都能得到1.有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為“該猜想任何程度的解決都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，將開辟全新的領(lǐng)域”，這大概與其蘊(yùn)含的“奇偶?xì)w一”思想有關(guān)．如圖是根據(jù)考拉茲猜想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出i的值為()A．8 B．7 C．6 D．5答案A解析a＝3時，不滿足a＝1，滿足a是奇數(shù)，a＝10，i＝2；a＝10時，不滿足a＝1，不滿足a是奇數(shù)，a＝5，i＝3；a＝5時，不滿足a＝1，滿足a是奇數(shù)，a＝16，i＝4；a＝16時，不滿足a＝1，不滿足a是奇數(shù)，a＝8，i＝5；a＝8時，不滿足a＝1，不滿足a是奇數(shù)，a＝4，i＝6；a＝4時，不滿足a＝1，不滿足a是奇數(shù)，a＝2，i＝7；a＝2時，不滿足a＝1，不滿足a是奇數(shù)，a＝1，i＝8；a＝1時，滿足a＝1，輸出i＝8，故選A.二、填空題9．如圖是一個算法流程圖．若輸入x的值為eq\f(1,16)，則輸出y的值是________．答案－2解析由流程圖得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥1，,2＋log2x，0＜x＜1.))∴當(dāng)輸入的x＝eq\f(1,16)時，y＝2＋log2eq\f(1,16)＝2－4＝－2.10．按照如圖程序運行，則輸出k的值是________．答案3解析第一次循環(huán)，x＝7，k＝1；第二次循環(huán)，x＝15，k＝2；第三次循環(huán)，x＝31，k＝3；終止循環(huán)，輸出k的值是3.11．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i(其中i為虛數(shù)單位)，則輸出的S值為________．答案i解析讀程序框圖知，n＝9時，S＝i9＝i，當(dāng)n＝10時，終止循環(huán)，輸出S＝i.12．已知實數(shù)x∈[2,30]，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103的概率為________．答案eq\f(9,14)解析由程序框圖可知，經(jīng)過3次循環(huán)跳出，設(shè)輸入的初始值為x＝x0，則輸出的x＝2[2(2x0＋1)＋1]＋1≥103，所以8x0≥96，即x0≥12，故輸出的x不小于103的概率為p＝eq\f(30－12,30－2)＝eq\f(18,28)＝eq\f(9,14).B級能力提升13.閱讀如圖所示的程序框圖，該算法的功能是()A．計算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．計算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．計算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．計算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值答案C解析初始值k＝1，S＝0，第1次進(jìn)入循環(huán)體時，S＝1＋20，k＝2；第2次進(jìn)入循環(huán)體時，S＝1＋20＋2＋21，k＝3；第3次進(jìn)入循環(huán)體時，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4；…；給定正整數(shù)n，當(dāng)k＝n時，最后一次進(jìn)入循環(huán)體，則有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，終止循環(huán)體，輸出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)．14．(2021·蘭州診斷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值S＝30，則P的取值范圍為()A．(18,30] B．[18,30]C．(0,30] D．[18,30)答案A解析模擬程序的運行，可得n＝1，S＝0，執(zhí)行循環(huán)體，S＝3，n＝2，執(zhí)行循環(huán)體，S＝9，n＝3，執(zhí)行循環(huán)體，S＝18，n＝4，執(zhí)行循環(huán)體，S＝30，n＝5，由題意，此時應(yīng)該不滿足條件S<P，退出循環(huán)，輸出S的值為30，可得18<P≤30，即P的取值范圍為(18,30]．故選A.15．在數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中介紹了求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法——輾轉(zhuǎn)相除法，而我國名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”與“輾轉(zhuǎn)相除法”的實質(zhì)相同．下邊程序框圖的算法思路源于“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序，若輸入a，b，i的值分別為18,12,0，則輸出a的值為________．答案9解析根據(jù)題意，初始值a＝18，b＝12，i＝0；i＝1，滿足a>b，a＝18－12＝6，i＝2，不滿足a>b，不滿足a＝b，b＝12－6＝6，i＝3，不滿足a>b，滿足a＝b，輸出a＝6＋3＝9.16．某地區(qū)為了了解70～80歲老人的平均日睡眠時間(單位：h)，隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查．如下表所示是這50位老人日睡眠時間的頻率分布表.序號(i)分組(睡眠時間)組中值(Gi)頻數(shù)(人數(shù))頻率(Fi)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中，一部分計算見如下程序框圖，則輸出的S值是________．答案6.42解析由程序框圖知，S為5組數(shù)據(jù)中的組中值(Gi)與對應(yīng)的頻率(Fi)之積的和，則S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＋G5F5＝4.5×0.12＋5.5×0.20＋6.5×0.40＋7.5×0.20＋8.5×0.08＝6.42.

第2節(jié)隨機(jī)抽樣考綱要求1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性；2.會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．會用隨機(jī)抽樣的基本方法解決一些簡單的實際問題．知識梳理1．簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣(1)定義：當(dāng)總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣．(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．①先將總體的N個個體編號；②確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)(否則，先剔除一些個體)；③在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，……，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2．系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個體的編號相差分段間隔k的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比．診斷自測1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)簡單隨機(jī)抽樣每個個體被抽到的機(jī)會不一樣，與先后有關(guān)．()(2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣．()(3)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()(4)要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公平．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體 B．個體C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本答案A解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中每1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200.3．一個公司共有N名員工，下設(shè)一些部門，要采用等比例分層抽樣的方法從全體員工中抽取樣本容量為n的樣本，已知某部門有m名員工，那么從該部門抽取的員工人數(shù)是________．答案eq\f(nm,N)解析每個個體被抽到的概率是eq\f(n,N)，設(shè)這個部門抽取了x個員工，則eq\f(x,m)＝eq\f(n,N)，∴x＝eq\f(nm,N).4．(2020·上饒一模)總體由編號為00,01,02，…，48,49的50個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第3個個體的編號為()附：第6行至第9行的隨機(jī)數(shù)表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3 B．16 C．38 D．20答案D解析按隨機(jī)數(shù)表法，從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字，超出00～49及重復(fù)的不選，則編號依次為33,16,20,38,49,32，…，則選出的第3個個體的編號為20，故選D.5．(2021·鄭州調(diào)研)某校有高中生1500人，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法抽取50人作問卷調(diào)查，將高一、高二、高三學(xué)生(高一、高二、高三分別有學(xué)生495人、490人、515人)按1,2,3，…，1500編號，若第一組用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取的號碼為23，則所抽樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為()A．15 B．16 C．17 D．18答案C解析采用系統(tǒng)抽樣法從1500人中抽取50人，所以將1500人平均分成50組，每組30人，并且在第一組抽取的號碼為23，所以第n組抽取的號碼為an＝23＋(n－1)×30＝30n－7，而高二學(xué)生的編號為496到985，所以496≤30n－7≤985，又n∈N*，所以17≤n≤33，則共有17人，故選C.6．(2018·全國Ⅲ卷)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．答案分層抽樣解析因為不同年齡段的客戶對公司的服務(wù)評價有較大差異，所以需按年齡進(jìn)行分層抽樣，才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務(wù)的客觀評價.考點一簡單隨機(jī)抽樣及其應(yīng)用1．下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是()A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗答案D解析A，B不是簡單隨機(jī)抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡單隨機(jī)抽樣，因為總體中的個體有明顯的層次；D是簡單隨機(jī)抽樣．故選D.2．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是()A.eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)答案A解析在抽樣過程中，個體a每一次被抽中的概率是相等的，因為總體容量為10，故個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10)，故選A.3．(2021·南昌一模)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07 C．02 D．01答案D解析從第1行第5列和第6列組成的數(shù)65開始由左到右依次選出的數(shù)為08,02,14,07,01，所以第5個個體編號為01.感悟升華1.簡單隨機(jī)抽樣需滿足：(1)被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；(2)逐個抽取；(3)是不放回抽??；(4)是等可能抽取．2．簡單隨機(jī)抽樣常有抽簽法(適用于總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)法(適用于個體數(shù)較多的情況)．考點二系統(tǒng)抽樣及其應(yīng)用【例1】(1)(2021·太原調(diào)研)某校三個年級共有24個班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣法，抽取4個班進(jìn)行調(diào)查，若抽到的最小編號為3，則抽取的最大編號為()A．15 B．18 C．21 D．22(2)(2019·全國Ⅰ卷)某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1,2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗．若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是()A．8號學(xué)生 B．200號學(xué)生C．616號學(xué)生 D．815號學(xué)生(3)中央電視臺為了解觀眾對某綜藝節(jié)目的意見，準(zhǔn)備從502名現(xiàn)場觀眾中抽取10%進(jìn)行座談，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣，則在進(jìn)行分組時，需剔除________個個體，抽樣間隔為________．答案(1)C(2)C(3)210解析(1)由已知得間隔數(shù)為k＝eq\f(24,4)＝6，則抽取的最大編號為3＋(4－1)×6＝21.(2)根據(jù)題意，系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，所以抽樣間隔為eq\f(1000,100)＝10.因為46除以10余6，所以抽到的號碼都是除以10余6的數(shù)，結(jié)合選項知應(yīng)為616.故選C.(3)把502名觀眾平均分成50組，由于502除以50的商是10，余數(shù)是2，所以每組有10名觀眾，還剩2名觀眾，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽樣時，應(yīng)先用簡單隨機(jī)抽樣的方法從502名觀眾中抽取2名觀眾，這2名觀眾不參加座談；再將剩下的500名觀眾編號為1,2,3，…，500，并均勻分成50段，每段含eq\f(500,50)＝10個個體．所以需剔除2個個體，抽樣間隔為10.感悟升華1.如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)，否則，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，特別注意，每個個體被抽到的機(jī)會均是eq\f(n,N).2．系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對應(yīng)的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼．【訓(xùn)練1】(1)(2021·衡水調(diào)研)衡水中學(xué)高三(2)班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機(jī)編號為0,1,2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1,2,3，…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第一組中隨機(jī)抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為________．(2)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是________．答案(1)45(2)4解析(1)分組間隔為eq\f(64,8)＝8，∵在第一組中隨機(jī)抽取的號碼為5，∴在第6組中抽取的號碼為5＋5×8＝45.(2)依題意，可將編號為1～35號的35個數(shù)據(jù)分成7組，每組有5個數(shù)據(jù)，從每組中抽取一人．成績在區(qū)間[139,151]上共有20個數(shù)據(jù)，分在4個小組內(nèi)，每組抽取1人，共抽取4人．考點三分層抽樣及其應(yīng)用角度1求某層入樣的個體數(shù)【例2】某電視臺在網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取100人進(jìn)行詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8答案D解析法一因為抽樣比為eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為4800×eq\f(1,200)＝24,7200×eq\f(1,200)＝36，6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.法二最喜愛、喜愛、一般、不喜歡的比例為4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每類人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為eq\f(6,6＋9＋8＋2)×100＝24，eq\f(9,6＋9＋8＋2)×100＝36，eq\f(8,6＋9＋8＋2)×100＝32，eq\f(2,6＋9＋8＋2)×100＝8.角度2求總體或樣本容量【例3】(1)(2021·東北三省四校聯(lián)考)某中學(xué)有高中生960人，初中生480人，為了了解學(xué)生的身體狀況，采用分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取容量為n的樣本，其中高中生有24人，那么n等于()A．12 B．18 C．24 D．36(2)(2020·西安調(diào)研)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．答案(1)D(2)1800解析(1)根據(jù)分層抽樣方法知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36.(2)由題設(shè)，抽樣比為eq\f(80,4800)＝eq\f(1,60).設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品為x件，則eq\f(x,60)＝50，∴x＝3000.故乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為4800－3000＝1800.感悟升華1.求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．2．已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計算．3．分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量)”．【訓(xùn)練2】(1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()A．240,18 B．200,20 C．240,20 D．200,18(2)(2021·合肥模擬)某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種，10種，30種，20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測，若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是________．答案(1)A(2)6解析(1)樣本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150×30%×40%＝18.(2)抽樣比為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，則抽取的植物油類種數(shù)是10×eq\f(1,5)＝2，抽取的果蔬類食品種數(shù)是20×eq\f(1,5)＝4，所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是2＋4＝6.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2020·蘭州二模)某學(xué)校為響應(yīng)“平安出行”號召，擬從2019名學(xué)生中選取50名學(xué)生加入“交通志愿者”，若采用以下方法選?。合扔煤唵坞S機(jī)抽樣方法剔除19名學(xué)生，剩下的2000名再按照系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學(xué)生入選的概率()A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為eq\f(1,40) D．都相等，且為eq\f(50,2019)答案D解析先用簡單隨機(jī)抽樣方法剔除19名學(xué)生，剩下的2000名再按照系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學(xué)生入選的概率相等，且為p＝eq\f(50,2019)，故選D.2．(2021·永州模擬)現(xiàn)從已編號(1～50)的50位同學(xué)中隨機(jī)抽取5位以了解他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況，用選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5位同學(xué)的編號可能是()A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5 D．2,10,18,26,34答案B解析抽樣間隔為eq\f(50,5)＝10，只有選項B符合題意．3．(2020·長春一模)完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會購買能力的某項指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況．宜采用的抽樣方法依次是()A．①簡單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣B．①分層抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣D．①②都用分層抽樣答案B4．在一個容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3答案D解析由隨機(jī)抽樣的知識知，三種抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，故選D.5.(2021·襄陽聯(lián)考)如圖是調(diào)查某學(xué)校高三年級男女學(xué)生是否喜歡數(shù)學(xué)的等高條形圖，陰影部分的高表示喜歡數(shù)學(xué)的頻率．已知該年級男、女生各500名(所有學(xué)生都參加了調(diào)查)，現(xiàn)從所有喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生中按分層抽樣的方式抽取32人，則抽取的男生人數(shù)為()A．16 B．32 C．24 D．8答案C解析由題中等高條形圖可知喜歡數(shù)學(xué)的女生和男生的人數(shù)比為1∶3，，所以抽取的男生人數(shù)為24.故選C.6．某中學(xué)400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本，若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取()A．40人 B．200人C．20人 D．10人答案C解析由圖知，40歲以下年齡段的人數(shù)為400×50%＝200，若采用分層抽樣應(yīng)抽取200×eq\f(40,400)＝20(人)．7．為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A．50 B．40 C．25 D．20答案C解析由系統(tǒng)抽樣的定義知，分段間隔為eq\f(1000,40)＝25.8．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為()A．800雙 B．1000雙C．1200雙 D．1500雙答案C解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的eq\f(1,3)，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占12月份生產(chǎn)總數(shù)的eq\f(1,3)，即為1200雙皮靴．二、填空題9．某單位在崗職工共620人，為了調(diào)查工人用于上班途中的時間，決定抽取62名工人進(jìn)行調(diào)查，若采用系統(tǒng)抽樣方法將全體工人編號等距分成62段，再用簡單隨機(jī)抽樣法得到第1段的起始編號為4，則第40段應(yīng)抽取的個體編號為________．答案394解析將620人的編號分成62段，每段10個編號，按系統(tǒng)抽樣，所抽取工人編號成等差數(shù)列，因此第40段的編號為4＋(40－1)×10＝394.10．假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚氰胺是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時，將800袋牛奶按000,001，…，799進(jìn)行編號，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個樣本個體的編號是________(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行).答案068解析由隨機(jī)數(shù)表知，前4個樣本的個體編號分別是331,572,455,068.11．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量(件)130由于不小心，表格中A，C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是________件．答案800解析設(shè)樣本容量為x，則eq\f(x,3000)×1300＝130，∴x＝300.∴A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)．設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800(件)．12．某校高三年級共有30個班，學(xué)校心理咨詢室為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到30，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5個班進(jìn)行調(diào)查，若抽到的編號之和為75，則抽到的最小的編號為________．答案3解析系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為eq\f(30,5)＝6.設(shè)抽到的最小編號為x，則x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.B級能力提升13．我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A．104人 B．108人 C．112人 D．120人答案B解析由題意知，抽樣比為eq\f(300,8100＋7488＋6912)＝eq\f(1,75)，所以北鄉(xiāng)遣eq\f(1,75)×8100＝108(人)．14．下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的個數(shù)為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里．③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗．④某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽．A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析①不是簡單隨機(jī)抽樣，因為被抽取樣本的總體的個數(shù)是無限的，而不是有限的；②不是簡單隨機(jī)抽樣．因為它是有放回抽樣；③不是簡單隨機(jī)抽樣．因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽?。虎懿皇呛唵坞S機(jī)抽樣．因為不是等可能抽樣．故選A.15．某公路設(shè)計院有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學(xué)技術(shù)大會．如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數(shù)減少1人，在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除2個個體，則n＝________.答案18解析總體容量為6＋12＋18＝36，當(dāng)樣本容量為n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的比例是eq\f(n,36)，抽取的工程師人數(shù)為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術(shù)員人數(shù)為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工人數(shù)為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，所以n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n＝6,12,18.當(dāng)樣本容量為(n－1)時，總體容量剔除以后是34人，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(34,n－1)，因為eq\f(34,n－1)必須是整數(shù)，所以n只能取18，即樣本容量n＝18.16．一個總體中有90個個體，隨機(jī)編號0,1,2，…，89，依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1,2,3，…，9.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規(guī)定：如果在第1組隨機(jī)抽取的號碼為m，那么在第k組(k≥2)中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同，若m＝8，則k的值為________，在第8組中抽取的號碼是________．答案876解析由題意知m＝8，k＝8，則m＋k＝16，也就是第8組抽取的號碼個位數(shù)字為6，十位數(shù)字為8－1＝7，故抽取的號碼為76.

第3節(jié)用樣本估計總體考綱要求1.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．知識梳理1．頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．2．莖葉圖統(tǒng)計中一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．3．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù)．(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．2．平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.診斷自測1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中．()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大．()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．()答案(1)√(2)×(3)√(4)×解析(1)正確．平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢．(2)錯誤．方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散．(3)正確．小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．(4)錯誤．莖相同的數(shù)據(jù)，相同的數(shù)據(jù)葉要重復(fù)記錄，故(4)錯誤．2．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A．4 B．8 C．12 D．16答案B解析設(shè)頻數(shù)為n，則eq\f(n,32)＝0.25，∴n＝32×eq\f(1,4)＝8.3．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92答案A解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.4．(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者()A．10名 B．18名 C．24名 D．32名答案B解析由題意，第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，即第二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，再加上積壓的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．5．(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1,10x2，…，10xn的方差為()A．0.01 B．0.1 C．1 D．10答案C解析10x1,10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.6．(2020·新高考海南卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62% B．56% C．46% D．42%答案C解析如圖，用Venn圖表示該中學(xué)喜歡足球和游泳的學(xué)生所占的比例之間的關(guān)系，設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占該中學(xué)學(xué)生總數(shù)的比例為x，則(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故選C.考點一頻率分布直方圖【例1】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]．并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計值為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分?jǐn)?shù)小于50的頻率為0.1，故分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100×0.1－5＝5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60.所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2.感悟升華1.頻率分布直方圖的性質(zhì)．(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1；(3)小長方形的高＝eq\f(頻率,組矩).2．要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系．【訓(xùn)練1】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表．A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶和滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．解(1)作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”．由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．考點二統(tǒng)計圖表及應(yīng)用角度1扇形圖【例2】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案A解析法一設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，則由餅圖可得新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯誤的．法二因為0.6<0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的．角度2折線圖【例3】(2021·銀川模擬)某運動健康A(chǔ)pp可以記錄跑步(里程數(shù))或行走情況(步數(shù))，用戶通過該App可查看自己某時間段的運動情況．某人根據(jù)2020年1月至2020年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論不正確的是()A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)D．相對6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動性更小、變化比較平穩(wěn)答案A解析由折線圖可知，月跑步里程并不是逐月增加，A錯誤；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，B正確；月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)，C正確；相對6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動性更小、變化比較平穩(wěn)，D正確．角度3莖葉圖【例4】(2021·石家莊綜合訓(xùn)練)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，其莖葉圖數(shù)據(jù)如圖．根據(jù)莖葉圖，下列描述正確的是()A．甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù)，且甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊B．甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù)，但乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊C．乙種樹苗的中位數(shù)大于甲種樹苗的中位數(shù)，且乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊D．乙種樹苗的中位數(shù)大于甲種樹苗的中位數(shù)，但甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊答案B解析甲種樹苗的中位數(shù)為eq\f(25＋30,2)＝27.5，乙種樹苗的中位數(shù)為eq\f(24＋26,2)＝25，所以甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù)．從莖葉圖上看，乙種樹苗的高度基本上分布在2和3兩個莖上，而甲種樹苗的高度分布比較分散，所以乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊，故選B.感悟升華1.通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．2．折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．3．莖葉圖的三個關(guān)注點(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一．(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏．(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較?。居?xùn)練2】(1)(2021·洛陽模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10(2)(2021·昆明診斷)“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計指標(biāo)．搜索指數(shù)越大，表示網(wǎng)民搜索該關(guān)鍵詞的次數(shù)越多，對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高．如圖是2019年9月到2020年2月這半年來某個關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的統(tǒng)計圖．根據(jù)該統(tǒng)計圖判斷，下列結(jié)論正確的是()A．這半年來，網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化B．這半年來，網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱C．從該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年10月的方差小于11月的方差D．從該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值答案(1)A(2)D解析(1)由圖①得樣本容量為(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)為2000×2%＝40(人)，則近視人數(shù)為40×0.5＝20(人)，故選A.(2)由統(tǒng)計圖可知，這半年來，該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的周期性并不顯著，排除A；由統(tǒng)計圖可知，這半年來，該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)的整體減弱趨勢不顯著，排除B；由統(tǒng)計圖可知，2019年10月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)波動較大，11月的波動較小，所以2019年10月的方差大于11月的方差，排除C；由統(tǒng)計圖可知，2019年12月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)大多高于10000，該月平均值大于10000,2020年1月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)大多低于10000，該月平均值小于10000，選D.考點三樣本的數(shù)字特征【例5】(1)(2019·全國Ⅱ卷)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差(2)(2021·貴陽診斷)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的統(tǒng)計表如下表所示，甲乙環(huán)數(shù)45678569頻數(shù)11111311有以下四種說法：①甲成績的平均數(shù)小于乙成績的平均數(shù)；②甲成績的中位數(shù)等于乙成績的中位數(shù)；③甲成績的方差小于乙成績的方差；④甲成績的極差小于乙成績的極差．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4答案(1)A(2)A解析(1)中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.(2)由表中數(shù)據(jù)，得eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(5×3＋6＋9)＝6，所以eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，①錯誤；甲成績的中位數(shù)是6，乙成績的中位數(shù)是5，所以甲成績的中位數(shù)大于乙成績的中位數(shù)，②錯誤；seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[3×(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝2.4，所以seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，③正確；甲成績的極差為8－4＝4，乙成績的極差為9－5＝4，所以甲成績的極差等于乙成績的極差，④錯誤．綜上知，正確命題的個數(shù)是1.感悟升華1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．2．用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．【訓(xùn)練3】(1)(2021·濟(jì)南高三針對訓(xùn)練)“平均增長量”是指一段時間內(nèi)某一數(shù)據(jù)指標(biāo)增長量的平均值，其計算方法是將每一期增長量相加后，除以期數(shù)，即eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝2))ai－ai－1,n－1).國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)被公認(rèn)為是衡量國家經(jīng)濟(jì)狀況的最佳指標(biāo)，下表是我國2015—2019年GDP數(shù)據(jù)：年份20152016201720182019國內(nèi)生產(chǎn)總值/萬元68.8974.6483.2091.9399.09根據(jù)表中數(shù)據(jù)，2015—2019年我國GDP的平均增長量為()A．5.03萬億元 B．6.04萬億元C．7.55萬億元 D．10.07萬億元(2)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________．答案(1)C(2)甲解析(1)由題意知，2015—2019年我國GDP增長量之和為99.09－68.89＝30.2(萬億元)，所以2015—2019年我國GDP的平均增長量為eq\f(30.2,4)＝7.55(萬億元)，故選C.(2)由題意可得eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙＝9，又∵seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)>seq\o\al(2,甲)，∴甲更穩(wěn)定，故最佳人選應(yīng)是甲.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45 B．50 C．55 D．60答案B解析由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴該班學(xué)生人數(shù)n＝eq\f(15,0.3)＝50.2．(2021·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢荷砀遊100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]頻數(shù)535302010由此表估計這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)()A．119.3 B．119.7 C．123.3 D．126.7答案C解析由題意知身高在[100,110]，(110,120]，(120,130]的頻率依次為0.05,0.35,0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.3．(2020·天津卷)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A．10 B．18 C．20 D．36答案B解析因為直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以個數(shù)為0.225×80＝18.故選B.4．在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析由圖可知該組數(shù)據(jù)的極差為48－20＝28，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為61－28＝33，設(shè)污染數(shù)字為x，則eq\f(30＋x＋34,2)＝33，x＝2，則被污染的數(shù)字為2.5．(2021·全國大聯(lián)考)近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的App相繼出世，其功能也是五花八門．某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用App的主要用途，隨機(jī)抽取了56290名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)的人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示．現(xiàn)有如下說法：①可以估計使用App主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；②可以估計不足10%的大學(xué)生使用App主要玩游戲；③可以估計使用App主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的eq\f(1,4).其中正確的個數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析使用App主要聽音樂的人數(shù)為5380，使用App主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450，所以①正確；使用App主要玩游戲的人