對(duì)空間和平面力系平衡條件的認(rèn)識(shí)

PAGEPAGE6對(duì)空間與平面力系平衡條件的認(rèn)識(shí)（北京科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，100083）摘要：作者在理論力學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中，對(duì)空間與平面力系平衡條件的多種形式及其限制條件的產(chǎn)生了興趣，經(jīng)過一段時(shí)間的文獻(xiàn)學(xué)習(xí)和研討，已初步了解到了前人的一些研究成果，也對(duì)此問題進(jìn)行過一些探討。本文將介紹作者從學(xué)生角度對(duì)空間和平面力系平衡條件的一些認(rèn)識(shí)，期望它會(huì)對(duì)理論力學(xué)的課程教學(xué)有所幫助。關(guān)鍵詞：靜力學(xué)；空間和平面力系；平衡；限制條件，理論力學(xué)教學(xué)1問題的引出在理論力學(xué)課程里靜力學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，作者對(duì)空間與平面力系平衡條件的多種形式及其限制條件的產(chǎn)生了興趣。例如，空間任意力系的六矩式的限制條件是什么？而在教科書中并沒有給出明確的限制條件來。作者帶著這些問題經(jīng)過一段時(shí)間的查閱文獻(xiàn)和理論探討，初步了解到了一些已有的研究成果[1-6]。受啟發(fā)教深的是參考文獻(xiàn)[1]中有關(guān)空間任意力系平衡判定的多矩式存在性和限制條件的研究。作者在參考文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了空間和平面力系多矩式形式下平衡判定的限制條件。力系平衡的限制條件：2．1空間任意力系平衡的限制條件記、、表示力分別在x、y和z軸上的投影，、、分別表示力對(duì)x、y、z軸的矩。已知直線的方向失量為，并且它經(jīng)過空間一點(diǎn)的坐標(biāo)為。設(shè)一空間任意力系有n個(gè)力組成，記力在直線軸上的投影為，對(duì)軸的矩為。整個(gè)力系對(duì)軸的矩為[2]：(1)整個(gè)力系在直線軸上的投影為(2)設(shè)在空間任意力系的6個(gè)平衡條件中，有k個(gè)力矩式，個(gè)力的投影式。記直線，，…，為取矩軸，直線，，…，作為投影軸。并且引入列向量：和矩陣則表達(dá)式（1）和（2）可寫成如下形式：（3）若的行列式不等于0，則有。因此，等價(jià)于。即在的行列式不等于0的條件下，如果計(jì)算所得到的合力矩與合力列向量為零向量（合力矩與合力共6個(gè)量均為零），則可判定此空間力系平衡。同時(shí)由矩陣的形式也可知，空間力系平衡判定最少要有三個(gè)取矩軸，即，否則矩陣不可逆（不滿秩）。顆2男．芒2現(xiàn)平面任意鳥力系平衡畜的限制條甲件哨3杯平面力系助平衡條件夕：導(dǎo)將只(1胃)賊，墻(2母)礦式退化至昨平面力系羨，用才表示力解對(duì)原建點(diǎn)沖O迷的矩，用泄、返表示力躺分別筍在傷x奸軸奉、伯y咬軸您和晉z聽軸上的投笨影。用隔表示力往對(duì)軋的矩，用韻表示其在舊方向向量限為濃的直線殿上的投影驢，則有：令：杠3.1遠(yuǎn)針對(duì)點(diǎn)溫和直線梢，鹿的一矩二頌力式：令：，爹則有緣，若平面銜力系的平瘦衡判定合礙理，則湖可逆，即爬的行列式玉不道為蠢0恰，解得：上，此即直鳴線往，障不平行的柜等價(jià)條件供。慮3.2盾針對(duì)點(diǎn)慎，呀和直線腿的二矩一米力式：令：，掠則有未，若平面放力系的平縣衡判定合器理，同上枕解得：碎，此即過岡兩點(diǎn)的直謀線與直線植不垂直的殘等價(jià)條件厚。僵3.3傘針對(duì)點(diǎn)饒，易和態(tài)的三矩式逆：令：，至則有楊，若平面間力系的平希衡判定合俯理，同上宮解得：獵，此即希三點(diǎn)不共牌線的等價(jià)莊條件。券空間力系岡平衡的一撥個(gè)必要條僵件的幾何蜜表述狹：可將空間力則系向原點(diǎn)摩化簡(jiǎn)，得捧到一個(gè)合投矩慨與一個(gè)合叮力別，膛設(shè)死與割x債軸的方向掛向量夾角鍵為呢，則良，如果份與商x征軸垂直，岔顯然無論搏是否耳為焰0晚，輩都將富為影0麻。同理，衫求困對(duì)于任意抖直線半的矩的分粒量計(jì)，若如果鋸與岸垂直，無閑論假是否懇為烘0弓，瑞都將長(zhǎng)為遲0值。如果屬與念在空間中何共面，顯困然喂對(duì)于駐的矩也夸是禾0選。送對(duì)于歐，設(shè)嗽與房x憶軸的方向捧向量夾角粗為民，則候，如果矛與酒x行軸垂直，忘顯然無論兄是否伴為擴(kuò)0值，按都將帝為扔0扣。同理，擦求窮在任意直往線份上的分量鴿，形如果顧與然垂直，無大論姓是否叛為普0院，壇都將互為轟0幫。接因此，如唉果對(duì)于空貿(mào)間力系的柳平衡判定撐中，如果柄存在一條漸直線垂直諒于所有的首取矩軸（塌此條件等犁價(jià)于存在乳一個(gè)平面紋平行于所暖有的取矩請(qǐng)軸），空腸間力系向共此直線上堤的一點(diǎn)化殼簡(jiǎn)，若得傍到的合矩息位于此直胳線上，則煌不論其是綁否束為神0雀，在所有代的取矩軸堅(jiān)上的分量膀均圍為雅0駝，此條件故下的空間渡力系平衡砌判定不合鈴理。索同理，如嚴(yán)果對(duì)于空薄間力系的驚平衡判定微中，如果漿存在一條胳直線與所熊有的取矩證軸分別共兇面，且與惹所有的所眠求力的投呀影方向均奮垂直時(shí)，鹽空間力系卷向此直線忽上的一點(diǎn)卡化簡(jiǎn)，若風(fēng)得到的合塵力位于此稼直線上，蛛則不論其構(gòu)是否刻為熱0聾，對(duì)所有緊的取矩軸細(xì)求矩均風(fēng)為遍0除，在所要貧求的投影趕方向上的鞋力的分量卡也化為舌0飛，此條件茄下的平衡羊判定不合翻理。界故空間力夕系的平衡華判定若合蠢理，則有剪如下必要賺條件：喂空間中不寫存在一條說垂直于所劍有的取矩鐵軸的直線劈（或存在匙某一個(gè)平猛面平行于豎所有的取寇矩軸），途且空間中每不存在一百條與所有瑞取矩軸均鴿共面且與賠所有投影多方向均垂孔直的直線和。否則空彈間力系的團(tuán)平衡判定勵(lì)不合理。兔空間力系揪平衡判定抗中，當(dāng)塘有四條隱（拋至地）及以上狼共點(diǎn)的矩皇軸敬時(shí)搶（設(shè)交點(diǎn)看為鑒O做）勞，根據(jù)此鉤四條矩軸防列出的方茄程必線性鍬相關(guān)，獨(dú)徑立方程不摔足勻6鬧個(gè)，午平衡判定拒不合理。議下面利用姑以上的必猴要條件證鵝明此結(jié)論僵。雪對(duì)于四矩亦式，過研點(diǎn)夫O傻分別作與引力的投影槳所在直線遙，粒垂直的平走面。由于灑兩平面有列公共點(diǎn)，痛顯然至少呀有一條交碼線田，當(dāng)空間薦力系的合據(jù)力在此直礎(chǔ)線上時(shí)，正對(duì)所有矩腦軸取矩和冠對(duì)所有投撐影方向的闖合力分量珍均佳為砌0浸。狗對(duì)于五矩蜂式，沒點(diǎn)視O抬與潔確定平面滿，過鋪點(diǎn)嘆O掏作與所求室力的投影已所在直線塑垂直的娃平面模。由于兩每平面有公寬共點(diǎn)，顯胸然至少有傅一條交線昆。結(jié)論同到上面的四形矩式。優(yōu)對(duì)于六矩羨式，賭點(diǎn)訂O陵與彎確定平面連，島無論與此取平面平行另還是相交隸，都御能在齡平面束找到一條符內(nèi)過刷點(diǎn)謝O堤的直線與停共面。當(dāng)憐空間力系哈的合力在法此直線上開時(shí)，對(duì)所信有矩軸取車矩結(jié)果均上為拉0健。哈顯然共點(diǎn)本矩軸多于狹四個(gè)時(shí)，束證明過程伐類似。故曬當(dāng)空間力稍系平衡判巨定中脫有四條傲及以上舒共點(diǎn)的矩愈軸僅時(shí)，菠平衡判定明不合理。母利用上面墾的必要條觀件和本文耀第胞2寬部分中的案結(jié)論可得禾到文獻(xiàn)宰中部分結(jié)窩論的等價(jià)裁結(jié)論而相補(bǔ)互印證。毯參考文獻(xiàn)命：畢[1]扯滔余輝，王投曉軍。靜彈力平衡方紅程的獨(dú)立奧性。常州騙工學(xué)院學(xué)住報(bào)坑，以200約6辮年鉆第夫1置9絹期停第場(chǎng)2足期農(nóng)：桶31~3器5范。柳[2]鳥訂李越銘，奧李豐良。醬空間任意值力系平衡騎方程的獨(dú)慧立性伴。僅200研2徐年虹第抗2歐0票卷角第探2兇期米：桶66~7竿1斷。體[3]架鍋趙永剛，蛛李世榮。柴空間力系框矩式平衡繳方程相互競(jìng)獨(dú)立的幾靜何條件。惜甘肅工業(yè)農(nóng)大學(xué)學(xué)報(bào)腦，洋199姓4驚年草第盈2緒0細(xì)卷翅第徐4聚期猜：虎97~1癢0泛1眠。蘿[也4冒]棟團(tuán)李珠，梁本成。空間雪力系三、霞四、五、卻六力矩平哀衡方程最狠簡(jiǎn)形式與原矩陣判據(jù)群。太原工榆業(yè)大學(xué)學(xué)今報(bào)腦，假199棍3竊年枝第驢2塑4犯卷午第站3叼期京：山95~9哨9爆。揭[剪5斤