巖石力學之 廣義虎克定律

第四章廣義虎克定律在應力分析中，已經(jīng)從純力學的基本定律出發(fā)，引入了9個應力分量，它們滿足三個運動或平衡微分方程(由動量守恒定理推出)和剪應力雙生互等定理(由動量矩守恒定理推出)，由此得到應力張量對稱的結論，因此獨立的應力分量只有六個。在應變分析中，從物體的幾何連續(xù)性觀點出發(fā)，研究物體變形，得到三個位移分量和九個應變分量，這九個應變分量中只有六個是獨立的，位移分量和應變分量之間滿足六個變形協(xié)調方程，這樣我們總共引入了十五個變量，它們滿足的方程只有九個其中是已知的體力。從數(shù)學分析的角度，上述方程是不封閉的，因此沒有唯一的一組解，必須補充六個方程，將方程組封閉起來。從力學的角度，不同的材料，在同樣載荷作用下，其變形是不同的，本構方程或者說應力—應變關系就是反映不同材料力學性質差異的適當?shù)臄?shù)學描述，因此本構方程是材料的一種力學特性。在彈性力學的發(fā)展史上，一維條件下的應力應變關系是從實驗總結出來的。均勻各向同性彈性體的三維應力—應變關系是根據(jù)一維虎克定理，經(jīng)適當推廣得到的。這種來自于經(jīng)驗的定理非常實用，但是它是否具有普遍意義，即對任何均勻各向同性的彈性體都成立，卻是人們心頭揮之不去的陰影。實際上這個問題，在彈性力學發(fā)展史上曾產生很大爭議，直到格林(1838年)和托馬斯(1855年)從熱力學出發(fā)，從宏觀的角度證明均勻的極端各向異性的彈性體的彈性常數(shù)有21個，均勻各向同性彈性體的彈性常數(shù)有2個，才平息了爭議。因此本章從熱力學的角度，運用熱力學第一、第二定律，導出彈性體的三維應力應變關系。從微觀角度也可以研究彈性體的彈性常數(shù)。雖然Caochy和Poisson用分子論(微觀角度)，對均勻彈性體彈性常數(shù)的研究是錯誤的。這并不表明無法從分子論研究彈性常數(shù)。用近代物質構造理論，玻恩在1915年，完成了這樣的工作。1941年中國的彭桓武具體地計算了幾種單晶體的彈性系數(shù)，他們的工作與實驗吻合。第一節(jié)熱力學基本定律與彈性體應變能(函數(shù))彈性體是一種熱力學物質，彈性力學僅研究宏觀運動和宏觀變形，只需要了解反映材料物質結構差異的總體響應的方程，不涉及物質結構，因此可以從熱力學的角度建立彈性應力應變關系。熱力學基本定律與狀態(tài)函數(shù)按照熱力學，一個物體任意部分的能量包括宏觀動能量和內能。從微觀的角度，物體的內能無非是物體內部所有分子的動能和勢能式中N為分子總數(shù)，mi、vi分別是第i個分子的質量與速度。是第i個分子與第j個分子相互作用的勢能。在疊加時，計算了兩次，因此要乘上。上式右端第一項，其宏觀表現(xiàn)即是物體的溫度，因此較容易度量。右端第二項，往往在宏觀上不表現(xiàn)出來，因此測量和計算是很困難的。從上面的介紹可以看出，物體內每個分子的動能和物體整體的動能是兩個概念，物體還可以有宏觀勢能，比如重力場中物體的重力勢能。熱力學中有兩類變量，一類與過程相關，比如物體吸收(或放出)的熱量，不僅與物體自身溫度有關，也與環(huán)境溫度有關，只有當系統(tǒng)與環(huán)境之間存在溫差時，才有可能與外界交換熱量。這類量不是物體固有的量，不能反映物體的狀態(tài)。物體的固有量可以反映物體的狀態(tài)，這類變量稱為狀態(tài)變量或狀態(tài)函數(shù)。物體的內能是狀態(tài)函數(shù)與狀態(tài)改變的路徑無關。證明如下：按照熱力學第一定律，物體總能量的變化等于外力對物體所做的功和物體吸收的熱量。假如在過程中，物體的宏觀動能不變化，則內能的增量，即是物體總能量的變化，可以表示為(4-1)式中A是初態(tài)，B是終態(tài)，UA和UB分別是狀態(tài)A和狀態(tài)B的內能，q是流入物體的熱量，W是外力對系統(tǒng)所做的功。上式就是這種特殊情況下的能量守恒定律?？紤]物體由兩條不同的路徑從狀態(tài)A變到狀態(tài)B，如下圖所示狀態(tài)狀態(tài)A狀態(tài)B圖4.1封閉循環(huán)ABA楊經(jīng)由路徑女I劈，物體內盆能的變化覆為光。經(jīng)由路餓徑輩II糟，物體內翠能的變化斜為畜。考慮物割體的封閉返循環(huán)，即錢物體沿路間徑畫I永由狀態(tài)響A問變到狀態(tài)罷B醉，再沿路炒徑四II意由狀態(tài)伴B絮變回狀態(tài)捕A粘。顯然，徑在這個過革程中物體饒內能的變扛化為暈。如果內險能的變化猛與路徑有援關，則移，這樣在撲這個封閉脆循環(huán)中躬。予另一方面潔，在這樣芬一個封閉龍循環(huán)中，書物體的初夕態(tài)與終態(tài)粥都是靠A夠，則按能歲量守恒方烤程償(貧4-1)臺式股。如果免，就表明睜當物體回端到原來的聰狀態(tài)時，魚內能有增食加或減小雄，這違背昨了以騎(沙4-1)圾式表示的鉤熱力學第憑一定律，踩因而是不曲可能的。挎在封閉循炭環(huán)中嫁，表明從憂狀態(tài)容A召到狀態(tài)秤B農，物體內冠能的變化狂與路徑無秋關，即物帆體的內能密U切是狀態(tài)函踩數(shù)。在凡是與路岡徑無關的嚼函數(shù)都滿訪足沿閉路努上的積分號為零的條消件痰(咱4-2)抵按照狀態(tài)汁函數(shù)的意競義，還可僻以知道狀盈態(tài)函數(shù)存盡在全微分撞。鑰彈性應變缺能函數(shù)啊牛蓮在外力作慎用下物體臨一定發(fā)生醬位梁移餅(鏈剛體運動鼠、變形，核兩者兼而蕩有之，或掘者有其清一抹)替，并從一烈個平衡態(tài)荒變到新的揪平衡態(tài)，牲在這個過槳程中，外亂力麗(晚體力和面剪力剖)驅對物體做鼓功夠(慧如果是純活熱力學過擾程，則外勸力不做功貴，但物體煉與外界有嚼熱量交誠換憂)溉。同時，宇物體的宏謹觀動能和祖內能也發(fā)欲生相應的畫變化。怖摧豎熱力學第匯一定律告葵訴我們，碰在平衡態(tài)描變化過程量中，物體確總能量的更增加等于敵外力對物宴體施加的鹿功和接受港的熱量之與和。念(襯4-3)所排井式中盼K之是物體的記宏觀動能塊，貢U集是內能，易A管是外力的壽功，叼Q昨是接受的林熱量。恩K枝和椅U鋪是狀態(tài)函校數(shù)，它們山的改變與撐路徑無關煉，存在全爛微分，因燃此輩用岡“悅”脂表示它們澇的變化，防A亞和惰Q旬的變化不怪僅與狀態(tài)討有關，還扯與過程有劃關，因此料用航“鐵D雁”惠表示它們捧的變化，消以示區(qū)別梯。黑牲牲現(xiàn)在我們斥從物體中獲取出一個拍微元體，哀計算它在蛾平衡狀態(tài)剛變化過程盈中各種量侮的變化，蠶設該微元粥體的體積胖為胖V散，表面積舞為奏S性。在直角濕坐標系中竄微元體的婦位移為貍，位移速生度為演，位移加搜速度為犧，物體所黑受體力為榆，面力為循。若過程夫變化的時棒間愉極小，則剛在平衡狀老態(tài)變化過笨程中，可烈以認為體爸力密和面力冶不變。因傍此在單位福時間內外海力對物體尤所做的功勝為雕(巡4-4)該式中，撓A撇1沸是體力的誰功，豈A沈2戲是面力的經(jīng)功。鞠(示4-5榮a郊)傅(相4-5擔b零)秩按照斜面壽應力公式談按耍Gaus冶s猶公式，上附式變?yōu)榘矐褱现匦抡砭仙鲜綌?疏4-6)犯迭加竄(航4-5座a極)磨和攜(漿4-6)夜得到外力邁的功為揚(旗4-7)似若物體的倘密度為章，物體單肉位體積的啦宏觀動能溜為安，則利用燦運娘動高(你平茶衡洪)筒方程，副(優(yōu)4-7)且可寫為轎(您4-扣9徑)駕另一方面引，物體的每宏觀動能腔為講在懲時間內物叼體宏觀動遙能的改變臣為吊(稈4-將10購)紀對比攜(弊4-撫9魄)憤和敢(創(chuàng)4-薪10妨)買，可得貸(裝4-嗎11麻)鏡從要(樹4-3)飛式可導出即，滾(告4-剃12抄)燃如果是絕檢熱過程，摸則卷，這相當慎于物體極乳快地由一紫個平衡態(tài)判，變化到徒另一個平顫衡態(tài)，因益此來不及艱吸收和釋聰放熱量。綁此時對比灑(陪4-酸11哪)筋和莊(駱4-鄭12膚)離，可得貓(喉4-哥13玉)精如果是等玻溫過程，店這相當于驚物體平衡飯狀態(tài)的變果化極慢，棕如果單位苗體積中的爐內能是聰W債1舌，則在全惱部的體積福內內能為因此遣(翅4-戲14潔)著對比廚(儉4-肯13團)居和萄(溉4-耍14委)扒，可得亡(配4-促15詢)殃也是空間辮點的函數(shù)仆，若固定川空間點不含變，則在違dt青時間內，木內能的變露化嫩(的注意：不匠是變化率之)窯為忽(科4-頂16殘)去上面的討紐論已經(jīng)指區(qū)出，內能盡是狀態(tài)函耍數(shù)與路徑瓦無關，因稠此將休W金1堆對時間積匪分，從利t訂0化時刻積分遣到益t魯時刻，其夜積分值只裳與初態(tài)和堆終態(tài)有關命，與積分份路徑無關散。竭(樂此處是與冠積分的時福間歷程無監(jiān)關覽)湊，如果還隙有初始狀扔態(tài)下內能近W組=姿0州，則有趣(鑰4-17真)算(扁注：上面椅推導的最錢后一步用置到了積分材變量的變莖化，但這加個變換是揪基于力學寺的，而非卷數(shù)學的原盼理羞。泛)佩從思(雞4-17漸)諒可以得到偽(俘4-18個)振(看4-18集)振給出了應逗力與應變鋤的關系，惠具有提(妹4-18擾)萄這樣性質吵的函數(shù)職W延稱為應變評能量函數(shù)鞏，簡稱應墊變能。由蟻(壽4-18栗)萬式確定的悶應力叫廣叛義應力，惱(鑰4-18主)陡式也稱格鬼林公式。帶從格林公李式的推導塵過程我們灶可以看出弊，畏W多表示為了交克服物體必內質點間贈的相對變迅形，應力蛙分量在應瓜變分量上厚的功，當障外力去除滔后，該能歸量被釋放睛出來，使銀物體恢復紡原來的形叔狀。炮熱力學第籠二定律告烈訴我們，律機械能總柏是可以轉射化為熱能僑，但如果惱沒有功的乳消耗，熱租能不會自續(xù)動地從較嫂冷的物體鏟流向較熱返的物體。碎熱力學第們二定律也壘可以定量焰地表示為尸(愁4-19擦)渠式中笛S排叫做熵，鎖T膀是絕對溫套標。在等屑溫狀態(tài)，廚我們有偏(酷4-20貿)賴等溫過程東相當于外盲力十分緩擠慢地施加泳于物體上齊，使得物秤體的平衡圣狀態(tài)十分巨緩慢地由負一種狀態(tài)犁變?yōu)榱硪回惙N狀態(tài)。仁從睬(批4-12棄)駁鑄式和上式憤，可以得年到姨(圓4-21渣)筍內能掛W都是狀態(tài)函叔數(shù)，按熱匯力學，熵界S顯也是狀態(tài)灶函數(shù)，而疊T喪=集cons耐t包，因此也W-TS厭是狀態(tài)函巨數(shù)，同時欄由熄(保4-11簡)反式知道供因此，從士上式和斥(垮4-21鍋)崇式可得效(剃4-22紹)默按上面同金樣的推導環(huán)過程，我彼們也可以偶證明在等娘溫條件下值應變能函早數(shù)權W延/艱的存在，像且廣義應蜂力為修(枝4-23育)圾(迅4-18腦)姓和蓄(抬4-23遷)梁是碧6膊個應力分樣量樹與骨6副個應變分悔量之間的柏關系，對謠彈性體而巴言，這就歸是所需要直的漫6全個補充方何程。一般著而言，提這盜6鋒個方程是五非線性的煎。航第二歐節(jié)寧較漢線性彈性淚物質的應鹿力應變關求系道各向異性綁彈性體的打應力應變晶關坊系住(胸廣義虎克守定齡律暑)賢(員4-18霉)展，桌(匙4-23斤)末是從熱力丑學第一定畫律和第二照定律導出思的，除了輸?shù)葴睾徒^吸熱的條件逗外，沒有法其它的限策制，因此彎可以適用韻于大變形債、非均勻售和絕對各伶向異性。桌(改4-18位)固或類(料4-23層)劑是一共栗是萄6丙個式子，驢展開后為盆(啞4-23季)京因為小變奸形假設，跡各個應變均分量都遠珠小于再1潔，即釀，因此可同將昨(踢4-23口)戚在烈處展開，投可以得到或，疊(真4-24罷)洋式中辱是應變?yōu)榫蛄銜r的初添始應力。損由于無初貢應力假設狡，式中臭是在蜜處的導數(shù)它值，是常定量，因此算(觀4-24語)泊可寫為舊(迫4-25幟)摟，從左式鍬和溉(底4-25吳)亂式可得到弓從桶(零4-18延)千式和姑(廊4-25返)丑式可得到(a)而(b)器由于已經(jīng)擋假設位移硬和應變有奮三階以上饅的連續(xù)偏德導數(shù)，因莖此二階交未叉導數(shù)與套求導順序莊無關，這良樣從死(篇4-18巧)研式可得到(c)些這樣從秘(蝕a侍)歲、碌(駕b倡)鹽和獨(喪c軟)表可得到番。按類似舌的方法還掉可以得到脫(路4-26妻)宗這表明望(貌4-25訊)巷式中赤的以3背6株個系數(shù)是積對稱的，偶因此在費(坑4-25太)孟中，只躍有賣2重1櫻個參數(shù)是通獨立的。頃在條件除(構4-26填)漸下的應力嬸應變關系脾是絕對各肚向異性彈姐性材料的警應睬力幻—慶應變關宰系滔(史或廣義虎劫克定捐律養(yǎng))卻。監(jiān)干途從票(揮4-18份)接可以得到博(敵4-27拌)島(勾4-27炸)暑右端是應義變能密度續(xù)。納如果彈性錢應力應變扶關系是線靠性的，如注(伸4-25碼)爹所示，在赴這種情況愚下悟(度4-26桿)友式變?yōu)闀?鍬4-28衰)滋(存4-27忌)偶的兩個指股標片“赤i封”漢、派“園j憲”葉是重復的泥，按愛因蛾斯坦求和詳約定，對嫩重復指標千需要在所演有可能的裂取值范圍曬內求和，蝴考慮到葵(缺4-27輔)就式，疊加啄(笛4-28喇)俊的饒6宴個式子可達以得到。碗(涌4-29怪)顧(庭4-29饒)彈是實的齊像次二次多諸項式，按羽照線性代王數(shù)的相關倡知識宵(貧4-29強)港式是一個危二次型，尊若記這個剩二次型為餃，則杏=搜，用矩陣恒表示為磨上式可以宜簡記為袍=儉(易4-30凈)基從澤(和4-29聽)曉、幟(忙4-30肌)臨、可(壓4-27關)考和益(忍4-18澡)垮可以看出即馬(柴4-31葛a偶)因此的(怕4-31斗b州)鑰在這種情趴況伴下陰(姜即線彈性安小變形的兔情況當下弓)照，還可以例得到絨(帶4-18玉)糧式對偶形拆式種(減4-32蕉)肚(解4-32管)釘式稱為卡料斯提也努粱公式，它蓮只有在線繼性彈性應憂力應變關大系聲(鄰4-25摔)飼式成立時雪才成立。踐綜合以上墻彈性應變俯能的討論去，我們得沈到以下結跑論：蕩1節(jié)、在等溫議和絕熱情局況下，彈枯性應變能矩函數(shù)鼠W交存在，這藍種應變能枯是內能，斬因此是狀紡態(tài)函數(shù)；奶2初、彈性應營變能函數(shù)鄰W擠是單值的愉，其積分拿與路徑無泡關，因此避dW銀是全微分給，而砍3魄、在小變狼形假設下伴，彈性應達力應變是順線性的。況4殼、當線性遺彈性應力糾應變關系介成立時，泳彈性應變查能函數(shù)介W肥是二次型梢，并且存番在彈性應抬力應變關誕系的對偶忙形式圖各向同性喝彈性體的挽應力應變掌關系粒彈性體彈基性性質的召對稱性是覆指在對稱絕方向上彈我性性質是模相同的。得由于彈性蝴性質是用豆彈性應力衛(wèi)應變關系漢表示的。涼因此對稱各性就是指蘆在對稱方窄向上彈性魚應力應變汽關系相同次。漫具有一個拉彈性對稱礙面的材料腦。墊假設過彈項性體中任轉一點的與擺oxy俗面平行的眾面是對稱灣面，則漢z血軸垂直于桿該對稱面醫(yī)，假設在禁這種情況樸下沿據(jù)z儉軸方向和短-z侍軸方向看唇彈性關系決不變。令竹第一次看安的坐標系送為布oxyz涼，第二次荒看的坐標慈系為柜ox弊/擔y也/削z臨/其，則兩個晴坐標系的攻關系如下槽所示圖4-1圖4-1表4-1表4-1組x坡y譯z所x赴/渡1欺0遇0隔y擠/誠0煎1史0像z請/擇0平0裂-1榨按照應力霸分量的坐皺標變換關朵系，在屬坐標系中貫的應力為幅(習4-33腫a午)同理促(哥4-33遭b弊)而過，震(飲4-33巷c核)郊按應力分后量的坐標另變換關系扯可類似地摸得到，用步舊坐標系村中的應變輕表示的新襪坐標系中總的應變分草量葉(4槳-34災a監(jiān))踩(億4-33綱b禍)飽在新坐標演系和舊坐質標系中彈博性關系不榜變，意味穗著在新坐搶標系和舊溪坐標系中塊彈性應力偶應變關系員(賊4-25熱)紐都成立，現(xiàn)因此在新隊坐標系中永(局4-25研)騰式中的第供一式為系將淹(盆4-33間a頌)約和倍(墳4-34櫻)匙代入上式同得到榴上式與油(怒4-25花)贏式的第一勵式應完全惡相同，比揀較兩式可撓以得到飲考慮到對管稱性卸(甲4-25獅)興的其它各把式，在新耕坐標系中節(jié)也成立，豪將藏(仿4-33粉)平和梯(旨4-34拼)滋代入這些鐵方程有扯將上勒面蠢5糖個方程與坦(殿4-25況)融的其禁余古5友個方程比掘較，便得擺出牽考慮到對天稱性，還慰有乏這樣在存箱在一個對搜稱面的情哄況下，兼(叢4-25質)坐式合的榆3液6馳個系數(shù)中煤有芳1險6撲個為零，團非零系數(shù)蝦只欠有暢2謊0佳個。考慮廁到對稱性隆，在這種廁情況下，座只院有勝1揮3攪個獨立的發(fā)彈性系數(shù)甩，用矩陣鑒表示為忍即夜(斥4-25賢)犯式變?yōu)閭?頁4-35妻a片)嫌(脆4-35汁b欲)疤(饅4-35箭c豈)晴(房4-35吊d竊)吧(軟4-35扇e撈)柿(臣4-35衣f峰)瞧具有三個齡彈性對稱贏面的材料蓄如果彈性輛體既對早oxy淹對稱，同掘時也對炮oyz財對稱，此語時徐x膊軸垂直于亞對稱面，仿沿學x臺方向和傭-x更方向彈性競關系也應品該相同。須設新系為乎ox巡/五y慨/由z踏/寸，則新舊漲坐標系的拘關系如下斧表所示表x榨y行z素x堪/翠-1憲0警0擦y船/婦0誦1權0央z仿/殘0鳳0奇1圖4-2圖4-2表4-2表4-2桐按坐標變足換關系，矛在新、舊擺坐標系中炊應力分量通之間的關攻系為玻(嘴4-36囑a科)玉在新、舊雪坐標系中壇應變分量扣之間的關睜系為廁(子4-36晚b燈)閃利用對稱衫性和應力糠應變的變向換關系死(漫4-36找)責式，即將亞(本4-36慌)帖代入察(禁4-35社)移中，可以示得到宇此時獨立枯的彈性常臭數(shù)只繡有穗9送個，用矩航陣表示為怨既對注oxy密面對稱，摘又對室oyz爬面對稱的皇材料，必喇定對易ozx朽面對稱，見因此追有殃3除個對稱面莖的材料的追彈性應力報應變關系黃為保(續(xù)4-37旁a制)忘(抗4-37踢b蠶)區(qū)(決4-37綁c黎)讓(體4-37赴d襪)盾(幕4-37籠e朵)壯(筐4-37宵f度)物具有各向蔥同性面的剩彈性材料門假如過彈失性體中的崖任意點都拐有一個平雷面，在這遷個平面內男，從各個狐方向看，紐彈性關系心都相同，辨我們進一理步假定掙oxy污面和平行皇于甚oxy注面的平面粥就是這樣育的各向同縣性面。湊z哥軸垂直于逼該面，而掘x格、道y野軸位于該瓣面內。討群論在這種新情況下的陽彈性應力和應變關系狂，最方便時的是將果x菜、務y搖軸繞騾z敘軸旋肝轉奴90祝0悄，得到新許的坐標系姑ox等/亂y血/耽z煮/銅，新系和繪舊系之間氣的關系如卸下表4-3圖4-3表4-3圖4-3砌x且y制z與x床/傘0腎1猜0朝y石/啊-1樓0嶄0昏z階/慧0敞0懸1眾在這種情陶況下新舊路坐標系之餅間，應力講分量和應塔變分量的噸關系為盾(遍4-38澡a既)廳(所4-38囑b睛)套利用晶(合4-37講)濤和擠(犯4-38穴)費將以上諸婆式與蝕(晉4-37畢)昏比較可得損因此爽(籃4-37近)篇變?yōu)槊?遠4-38貴a賤)座(苗4-38期b澆)州(畏4-38憤c砍)欠(坑4-38凡d旺)塑(以4-38暖e插)喝(各4-38巷f屢)習獨立的彈蠢性常數(shù)錄有伐6社個，用矩憑陣表示為信然后將坐類標系俊oxyz芹繞題z聚軸禍轉英45洪0墓，得到新暗坐標系蔽ox塔/數(shù)y退/韻z貧/危，新舊坐類標系的關恐系如下圖4-4圖4-4眠x扇y緒z濾x味/脹0雅y奶/柴0敏z煤/釘0稅0值1表4-4表4-4榜按照同樣狐的方法，論可以得到泊因此陸(貝4-38象)喉式變?yōu)楸?筍4-39兩a踢)鞋(伸4-39指b病)劇(對4-39懂c廣)墨(下4-39先d)幼(環(huán)4-39手e燈)去(該4-39舅f話)驗具有一個剩各向同性鑰面的彈性呀材料稱為墓橫觀各向浸同性材料季，這種材氧料的獨立污的彈性常蠻數(shù)修有意5浪個。醬完全各向鞋同性的彈體性材料琴將湊oxyz駛坐標系繞興x轟軸擺轉朋90估0蜜，新舊坐艘標系的關復系如下所舅示敵x竊y概z居x爆/牛1截0爆0溉y治/霧0騎0昏1條z幕/工0伏-1關0圖4-5圖4-5表4-5表4-5可以得到濟此時音(稠4-39榨)憐變?yōu)檫~(之4-40稻a會)競(或4-40布b傾)襪(孤4-40秀c驢)禾(籮4-40序d設)嗽(蜘4-40杠e建)什(妥4-40剩f蝦)岸令譜，則這種時彈性材料賊具有三個跟獨立的彈謀性系數(shù)，疾用矩陣表豈示為迎應力應變摩關系為宿(端4-41君a獅)即(艦4-41建fb含)掩(駕4-41協(xié)c撕)能(鏈4-41豈d顫)曬(稻4-41培e翻)菜(暢4-41尺)追若再將箭oxyz課繞年y頌軸喜轉酷90爽0刊，得到環(huán)ox本/水y研/押z凝/辮如下圖所餐示圖4-6圖4-6券不再得到禿新的結果員，這表明鮮由左(恩4-41旅)臨確定的應乘力應變關死于三個坐賴標方向都交是彈性主診方向。若令稼則賄(先4-41折)垂式可寫為市(懷4-42斑)式中循現(xiàn)在將坐討標系昏oxyz符繞某杯軸瘋(巖如姨z選軸蛾)張旋轉任意查角度船θ拉，得到新聞坐標系莊ox舍/北y懶/購z傅/暗，新舊坐住標系的關仰系如下表4-6圖4-7表4-6圖4-7和x征y碎z株x肢/齊cos議θ行sin辨θ址0南y捐/儲-sin夕θ霞cos遵θ崗0茄z會/變0施0禍1蘋利用坐標窄變換關系丑可以得到井(債2-++輔)陵(慎2-++許)勾將賓(枕2-++打)騾式和濁(蜘2-++淚)韻式第一式抖代入盞(鈔4-42呀)拖的第一式糠，并注意榴到頁是不變量鄭，可得園整理上式眠可得裁(貧4-43霉)浙由于角度匙可以取任隆意值，因火此上式要傳求斑整理上式僑可得到風由于錄可以取任蘋意值，上喬式要求復上面的結科果與超(切4-42對)極的前兩式鬼相同。稼θ全角任意還戶要求精將嬸(岸4-42子)偶的前兩式悄相減，可破以得到上懂式，因此題上面的結巖果與役(袋4-42叛)慈式不矛盾戚。鬼東率在查θ農角任意的渡情況下，突下式必須絕成立州將上式與擾(咬4-41儲)伐式的迫第煌6催式相比，響得到查(畝4-44腰)江這樣我們毯得到了均廣勻各向同貧性的線彈藏性材料的村應力應變傳關系茂(綢4-45蓋)夜式中躬稱為拉梅逮系數(shù)。我見們看到各換向同性的陣線性彈性捐材料，只剝有素2戲個獨立的鏈彈性常數(shù)長。張以上是從只熱力學導耳出的用應洗變表示應擠力的彈性議應力關系歲。從上式最可以導出鞠用應力表牧示應變的糞彈性應力僅應變關系析除烤將交(巷4-45勇)苦前三式相敬加，可得絮(剛4-46望)即烈(爭4-47他)竹將宅(續(xù)4-47滑)音代入塌(氧4-45弓)璃的第一式因，可得紅以上各式服中府是剪切模液量，以后子我們總是臥記逼為濾G偏，而記泊摔松比為遇，因此考抹慮到上式腦，水(尸4-45犬)也變?yōu)轵v(漲4-48汽)賺第三練節(jié)陰士戲各向同性毯彈性介質飯的彈性常激數(shù)說拔耐在各向同批性介質中鄰，除了彈醬性常數(shù)銹以外，為鎖了便于實飯驗測定還佳引入了其辣它彈性常旺數(shù)，比如肅考慮簡單眼拉伸和純將剪切時的皺彈性模則量駐(卷楊氏模畢量飛)鴉，剪切模絕量和泊松狂比。優(yōu)涼鄙設在簡單簡拉壓試驗織中，拉伸日方向平行等于扮x獸軸，則此旬時物體內詞的應力狀頭態(tài)為紐從稱(4-4婦8堤)織式，此時津(束4-49惡a掘、謎b呆)影療鉗另一方面午，簡單拉褲伸實驗指壞出，一個窮平行六面罵體濟(角彈性罵體懲)瘦單向受拉蘿時，嚴x褲方向伸長摔與酸成正比，呆與之垂直鍋方向則成崖比例縮短份，同時保妙持直角不那變，因此店為方便起派見，引入塞以下參數(shù)倉：頸(零4-50摩a胸、累b潮)渴比較華(斜4-50亞)寒與襯(推4-49惰)地可得暢(搬4-51怨a蔽)即旗(駁4-51健b膚)剪由于拉應巡力產生拉五應變，壓根應力產生昂壓應變，菌即方程萄(禍4-51戶a聾)紗兩端同號壽，因此E>0坦下面從稀(蟲4-51涼a單、吹b填)匯解出由，從反(醉4-51透b外)痰將上式帶吹入妄(取4-51診a柳)即因此居(攪4-52悄b莖)匙由企和上式可燙得因此辦(覆4-52曲a稈)該從材料力度學知道，市廣義虎克帳定律為繞(層4-53盜)珠將測(辦4-53堤)辛的前三式卵相加，得稍到傻由于球應仿力厭是僅產生板體積變形壯的各向同岸性的應力享，引入球訴應力，上商式可寫成抱(史4-54睡)照式中初是體積應論變，因此啄(痕4-55彼)佳是體積模博量。嚷K得也可以用漠拉梅系數(shù)證表示，從反(肥4-47賣)估可得即因此泰(秤4-56贊)瓶潮榴現(xiàn)在考慮矮純剪試驗臟，設剪應驚力作用于厲x摩、辛y科面，于是蒜物體內的步應力狀態(tài)黨為潑同時，應松變?yōu)槠爝@樣由純皂剪試驗給訓出雙(誤4-57新)惰這表明拉顧梅系數(shù)中式的莊G安是剪切模喂量。影宴怖以上，我殊們引入了喂5茅個彈性常只數(shù)，它們炭中只有兩勁個是獨立疫的。除了呼上面的關鋪系以外，原它們之間劑還有其它哲關系。據(jù)黑南在剪切試況驗中，正稈的剪應力四產生正的盆剪應身變系(撒說斤明眼)館，因此旨(它4-57簽)罵兩端同號刺，這要求厘G摟>披0攝。而在靜杰水壓力試甚驗中，各架向同性體歸積應力手產生各向旺同性的體修積壓縮，朽此時探，這表明僑(堵4-54風)遇的兩端必追須同號，擊因此電K奏>須0愈。這樣，縱E絡、烘G軋和是K柱都必須大頌于零，即所由于辱E蚊>伙0燦，上面的障式子要求降。因此，涂可以導出少，即駁(途4-58模)器擔息在實際測劑試中，還交沒有發(fā)現(xiàn)晃的情況，叢以后用應仇變能的正對負性可以懶證明唱。孫貫見當刑時，從證(血4-55洗)攀可以看出況，此時累，這意味槽著體積不疏可壓縮。李因此肆是體積不斷可壓縮的蘋條件。蠶第四高節(jié)誠殖肯彈性應力檔應變關系待的其它表得示形式病(展4-45疲)謎是線彈性膊、小變形終體的應力向應變關系用，是以應繼變表示應笨力。廣義示虎克定律淚(飲4-53絹)飯也稱逆線介性關系，狐用應力表辛示應變。糊什解彈性應力棟應變關系爐還有一種悅常用的表萬達方法。耀廣義虎克基定律可以扁改寫為如聯(lián)下形式，狼比如駝從上式兩殿端同時減藥去醋，并利用弟(它4-54聚)汗可得到即蜜同樣可以城導出其它耽兩個關系饑式，這樣耳廣義虎克悠定律可表晃示為敞(綢4-59岔)騾用張量表情示可得棚(剛4-60理)司因為已經(jīng)挑利用了遞(摔4-54牛)勵，麻(尿4-59贊)吃和隊(產4-60香)婆形式上專是蝕6傍個方程，角實際上只筍有升5享個方程是原獨立的，開因此還要墓補充周(示4-54架)緒由播(道4-60北)敵和濾(披4-54堡)碑組成的方允程是彈性鳴應力應變伴關系的第噸三種形式樸。在粘彈中性力學中沒使用的本句構方程與早上面這組朗方程類似資。赴第五撫節(jié)挪傲笑應變能的扶正定性遠熱力學第睛二定律的皮三種表述筍(1辭)等、開爾文勾表述：從柳單一熱源柿吸收熱量僚，使之完和全轉化為丟有用功而狼不產生其花它影響的贈第二類永愧動機是不咱可能造成恐的。嫂木(2齊)際、克勞修鈴斯的表述療：把熱量牧從低溫物毛體傳到高門溫物體而唱不引起其詳它變化是碎不可能的來。辱腥(3護)蜂、熵增原接理：自然午界中發(fā)生私的一切熱弊力學過程粥都不會使簽熵產減少梳。即呈(淘4-61梅)卸式中侍供熵，嶼產熵館(劑4-62蛇)遠(4-如63)違從熱力學創(chuàng)第一定律鵲，得到炎。而從井，廁可以得到積由于熵產化，陶T妨是絕對溫錢標，公T弱>勞0觀，因此欺(最4-64濃)之等號僅在糞時成立。默考慮到熱也力學第一族定律上式陽變?yōu)閾?喇4-65谷)棋對于絕熱顧過程動，上式變疊為鐘(烘4.66良)哀對于等溫猾過程，自宮由能為貴(碑4-67凈)隆注意到等禮溫過程撈T項=丘cons憲t搶，則從上蹦式可以得能到倦(摔4-68櫻)臂將側(唇4-68昏)講代入物(論4-65研)派式得到帥(司4-69評)和涌(紐4-70役)婚等任熵堵(殺絕嶼熱尼)蒼過程中，童內能舞U溝是應變能彈，等溫過扎程中，自勸由能偷F靜等于應變底能，因此王以上兩個廈不等式可俗以統(tǒng)一地污寫為鋒(芒4-71槳a負、補b污)嚇此處罪E曲是應變能維，砍U粱也指應變造能。上式全表示在可閘逆過程中筒，外界的圈功全部轉亭化為物體疑的動能和劈應變能，鉆而在不可命逆過程中棒，只有一期部分轉化系為應變能邁和動能，錦剩余部分金將以熱或骨聲的方式適耗散掉。駁坊創(chuàng)若將加載獸前物體所慢處的熱力豆學平衡態(tài)賄選為無應壟變的自然從狀容態(tài)館(絕有應變也朽無原則困棕難慧)挪，加載后仿的平衡態(tài)醫(yī)視為干擾齊狀態(tài)和變俊形狀態(tài)，粥現(xiàn)在來證兇明，只要帆自然狀夕態(tài)借(塵初始狀堵態(tài)極)房是物體的逗穩(wěn)定平衡痰態(tài)，則應朱變能是正幸定腥的嘗(姥即總大于穴零廢)嫩。徐積急考慮自然盆狀態(tài)到變更形態(tài)的準岔靜態(tài)加載勞過兇程取(轉這里指等竄溫過程，撈不包括絕半熱過程或打動力學過嶺程年)求，此時動好能巖dK護=昆0章，且過程鼻是可逆的竄，因此暗dU羽=挑DA爹。而在這本個過程中穿，應變能桿作正功肅DA琴>綿0培，因此上鉛式要求燙dU求>眼0熟。自然狀的態(tài)下彈性層體的應變籠能為零，環(huán)則腥dU攀>藝0偷表示變形獲狀態(tài)的應補變能魄U見總大于零牌，即應變序能是正定矩的。霉聲膚應變能的鏈正定性限店制了彈性哀常數(shù)的取脫值范圍。騾第六凝節(jié)腫欠刑各向同性釋彈性體的飯應變能候曠待在前面的三討論中，很已經(jīng)證明啊應變能函丟數(shù)為云(找4-31鍵a獲，導4-32害)魄式中緞i享、顏j懸遍歷頌x奶、青y坡、垂z毅，將其展多開為分量劑形式，有這(暫4-72瀉)爬(羨4-31灣a撿)豈、永（脊4-3某2表）碰和可(銜4-72慘)攜和表明，包盡管盈和婦只有六個危獨立的分蜻量，但它筒們實際拍是扔9下個分量組牧成的整體個。因此，盆在計算應獵力襪在應變軋上的功時閃，需要將叔所有的應稼力分量的雅貢獻都計甚算上。去(救4-31孟a黃)填、脫（預4-3是2網(wǎng)）念和結(必4-72播)拔是從熱力蓄學得到的醫(yī)，還可以脈采用更直者觀的方式嗽，從力學楚角度導出裳應變能的雄上述表達淡式。區(qū)討論下圖拿所示物體惠，該物體咬僅受遙的作用。圖4-8圖4-8鍋設應力在鳥空間上不傾變化，即薦物體兩端知面的應力豎相同，但朽在變形過鵝程中應力鑒是變化的瘦。研究應怪力在物體辭變形上的待功。由應借力罵作用在梢AD奪邊上的力爬為牙，假AD氏邊的位移瞞為邪u澡，按位移隙分析，在啞BC病邊上的位峽移為示，注意到敢在隱x擴正面上，爐即腹BC傾面上，力夏與位移方更向相同，況但在綱AD虧邊上，力云與位移方都向相反。職因此，由名物體兩端洞作用的應駝力昌對物體的候功為讓式中會和昌可稱為針元位移籌，之所以猾取唱元位移疤是考慮到朋在位移過干程中永是變化的恨，但按無塵限小分析疑的思想，劈可以認為張只要姜元位移廊足夠小，岡則在費元位移核上錦可以視為澡不變。這竊樣，由應絕力友作用在物盒體搭元位移請上的總功鎖為忘還會引起根物體在瓣y湯方向和宇z期方向上的篩變形，由江于紗垂直于當v漠和戶w劣，因此，話對這兩個銷方向的位糟移，應力歸上不作功勁。此外，幫、俗對然x燦方向的位列移也有貢滿獻?；谟芡瑯拥睦碜g由，它們倦對衰x漆方向上厭元位移寫的功也為浮零。這樣佛在物體的丑應變從零吳發(fā)展到吊的整個過長程中，應幟力郊的功為飲(懸4-73里)籮上式中積粥分變量是護，堪是圖的函數(shù)，雜因此上面淚的積分可貝寫為臘由于只需事要考慮風x燦方向的應代變，可將剝一維應力課應變關系剃代入上式潮積分，得滲到箭(逮4-74戒a慕)驚同樣，可臘以得到屋(灘4-74難b訊、粥c循)aa、變形前b、變形后圖4-9崗下面考慮穿剪應力在陳物體變形蝶上的功，攪設在凡x斷正面和負娛面上的剪用應力咳相同，但蠶在位移過椅程中是變魔化的。在攀AD傘面和溪BC材面上，剪稱應力產生焦的作用力勉為愚。增AD顏面在階y元方向的位爺移為加v磁，按位移語分析，建BC株面在右y瘋方向上的貸位移為其，柿v圍與撕y濱正向相同處，因此在漢AD團面上剪應浪力或做負功，廟在顛BC扶面上剪應需力浩做正功?？孢@樣在集x懇的正、負狂面上，剪任應力在晴元位移惡上的總功工為嘆(防4-75涼a診)例在收y聰?shù)恼⒇撊拭嫔霞魬伭β橐鸬淖円庑稳缦聢D底所示圖4-10圖4-10蘭在負劉y輸面上，拌與位移相包反，在正逃y盜面上，保與位移方枝向相同。沉因此，在奇y鏟的正、負溝面上，剪這應力較在角元位移啄上的功為屈(痰4-75打b廟)鎮(zhèn)迭加園(賤4-75貓a團、卷b朋)尼可得，在乖x渴的正、負蝴面和江y玻的正、負上面上的一渡對剪應力前和倘在雷元位移換上的總功梳為木在本全部位移瞧(菊應福變跌)歌上的總功釘為畜將瞇，代入上姻式后可得及(聰4-76阿a矮)領類似地可梯以得到因(肆4-76述b跟、緒c宴)漫這樣，所糟有的應力成分量，在滾單位體積舉上的功為墻(使4-78互a背)爺在微元體辣dV御上的功為籮(躺4-78葬b董)博(卷4-78俯a垂)悉式與甘(詢4-72眼)依式相同，價這樣，我未們從力學橫的角度，環(huán)再次導出咱了錘(糖4-72替)覺式。維W酸0村被稱為應敬變能函數(shù)稈，也可稱幻為應變能癢密度，表范示在單位聞體積上，盈應力對應厭變的功，躁在全部的姨體積上，才應力對應體變的功為奶(投4-79康)趨將應力應奉變關系蕩(燈4-45陸)秤代入綿(駱4-72痛)右或櫻(劫4-78袖a慰)昂，得到黎(庭4-80億)梢將催(荷4-53帆)忠代入刷(留4-31竊)供，得到惠(光4-81爸)掌(載4-80企)嘩和鳳(切4-81汁)駛式表明應住變能密度我是應力或很應變的二茅次齊次式涌。扭將及(戶4-80氧)墾式兩端對尤應變求導撇，可得帖(喘4-8