第03講多項(xiàng)式的根（原卷版）

第03講多項(xiàng)式的根【題型歸納目錄】題型一：多項(xiàng)式的根題型二：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、多項(xiàng)式的根設(shè)多項(xiàng)式，如果數(shù)滿足，則稱為多項(xiàng)式的根．由多項(xiàng)式根的定義，因式定理可等價(jià)地?cái)⑹鰹椋憾ɡ?數(shù)是多項(xiàng)式的根的充要條件是有一個(gè)因式，即，其中是多項(xiàng)式，那么，次多項(xiàng)式是否一定有根呢?對(duì)此，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯在1799年做出了回答，也就是下面的代數(shù)基本定理．定理2任何次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)至少有一個(gè)根．此定理的證明比較艱深，在此從略．定理3（根的個(gè)數(shù)定理）任何次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恰有個(gè)根．定理4（實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理）若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式有一個(gè)虛根（，）那么共軛虛數(shù)也是的根．2、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）設(shè)次多項(xiàng)式的個(gè)根為，則有分解式．將此式右邊展開并比較兩邊系數(shù)得 【典例例題】題型一：多項(xiàng)式的根1．（2021秋·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程兩個(gè)虛根為，，且，則（

）A． B． C．或 D．不存在2．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的兩根為、．若，則______．3．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求證：在復(fù)平面上，點(diǎn)集中，除去某一個(gè)點(diǎn)外的所有的點(diǎn)都在圓環(huán)中.4．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程.（1）設(shè)（i是虛數(shù)單位）是方程的根，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，該方程沒有實(shí)數(shù)根.題型二：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）5．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)有三個(gè)正零點(diǎn)，求的最小值.6．（2021·浙江·高二競(jìng)賽）已知二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).若有四個(gè)不同的根，且，，，成等差數(shù)列，求的取值范圍.7．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足求證：x、y、z中至少一個(gè)為2020．8．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，是方程的兩個(gè)實(shí)根，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·江蘇蘇州·高一常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)根，則（

）A．2008 B．8002 C．2009 D．20202．（2022春·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2007·上?！じ呖颊骖}）已知，且（是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值分別是A． B． C． D．4．（2022春·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)的兩實(shí)根為，，而以，為根的一元二次方程仍是，則數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．05．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若2007次方程有2007個(gè)正實(shí)根，那么，對(duì)于所有可能的方程，的最大值為（）．A． B．C． D．6．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知中，，，成等差數(shù)列.則的取值范圍是（

）.A． B．C． D．7．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)，其中為常數(shù)．如果，，，那么，的值是（

）A．1 B．4 C．7 D．88．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)滿足.則的最小值是.A．2 B．3 C． D．69．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知方程的兩個(gè)不同的根，β滿足，其中．則．A． B． C． D．二、多選題10．（2022春·山東日照·高一日照一中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，如下給出的結(jié)論中正確的是（

）A．這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根 B．這兩個(gè)方程的根中可能存在正根C． D．三、填空題11．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知多項(xiàng)式有2020個(gè)非零實(shí)根（可以有重根），其中為非負(fù)整數(shù)，求的最小值．12．（2021·浙江·高三競(jìng)賽）已知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有______個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.13．（2019·福建·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）已知，若方程f(x)=0的根均為實(shí)數(shù)，m為這5個(gè)實(shí)根中最大的根，則m的最大值為____________.14．（2018·河北·高三競(jìng)賽）若實(shí)數(shù)x、y、z滿足，，則_____.15．（2018·湖南·高三競(jìng)賽）四次多項(xiàng)式的四個(gè)根中有兩個(gè)根的積為-32，則實(shí)數(shù)k=_____.16．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知關(guān)于的方程的兩根均為整數(shù)．則實(shí)數(shù)的值為______．17．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知是邊長(zhǎng)為1的正邊上的點(diǎn),的內(nèi)切圓半徑分別為.若滿足的點(diǎn)D有兩個(gè)(設(shè)為),則______.18．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知關(guān)于的方程（）有三個(gè)實(shí)數(shù)根．則的最大值為______．19．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知實(shí)系數(shù)方程有三個(gè)正實(shí)根.則的最小值為______.20．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）使得方程①只有整數(shù)解的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為______.21．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)、、.且滿足方程組，則的取值范圍是__________.22．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)實(shí)數(shù)使得關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根均是整數(shù).則所有這樣的是__________.四、解答題23．（2018·天津·高三競(jìng)賽）設(shè)、、是方程的三個(gè)根，且.⑴求的整數(shù)部分；⑵求的值.24．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程的解的個(gè)數(shù)為偶數(shù)（可以是0個(gè)，但不能是無數(shù)個(gè)），則稱為“偶的函數(shù)”.證明：（1）任何多項(xiàng)式均不是偶的函數(shù)；（2）存在連續(xù)函數(shù)是偶的函數(shù).25．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）為多項(xiàng)式的三個(gè)根，滿足，且復(fù)平面上的三點(diǎn)恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形.求該直角三形的斜邊的長(zhǎng)度.26．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若為某一整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則稱為“代數(shù)數(shù)”.