第02講多項(xiàng)式的基本運(yùn)算

第02講多項(xiàng)式的基本運(yùn)算【題型歸納目錄】題型一：多項(xiàng)式的加法和乘法題型二：帶余除法題型三：多項(xiàng)式的相等【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、多項(xiàng)式的加法和乘法(1)形如（，為非負(fù)整數(shù)的代數(shù)式叫一元次多項(xiàng)式，叫此多項(xiàng)式的次數(shù)，記為次．常數(shù)0叫零多項(xiàng)式，不次數(shù)．當(dāng)次，即為零次多項(xiàng)式時(shí)，為一個(gè)非零常數(shù)．(2）多項(xiàng)式的加(減）法是把同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)相加(減）．多項(xiàng)式的乘法是把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)．（3）多項(xiàng)式的加法和乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律，另外還滿(mǎn)足次數(shù)律，即次次+次．次數(shù)是控制多項(xiàng)式的一個(gè)重要特性數(shù)，從分析多項(xiàng)式的次數(shù)入手，正確地比較多項(xiàng)式的次數(shù)常能開(kāi)辟解題途徑．2、多項(xiàng)式的帶余除法我們知道，數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除各種運(yùn)算，在整數(shù)集中加、減、乘三種運(yùn)算是永遠(yuǎn)可實(shí)施的，但數(shù)一元次多項(xiàng)式，若限制且，令，則就可與某個(gè)位的整數(shù)建立起對(duì)應(yīng)；反之，位的整數(shù)亦能轉(zhuǎn)化成一元次多項(xiàng)式的形式．因此一元次多項(xiàng)式的許多性質(zhì)可以對(duì)照整數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究．整數(shù)除以整數(shù)，有時(shí)除得盡，有時(shí)除不盡．它們有帶余除式：被除數(shù)=商除數(shù)余數(shù)．多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式也有類(lèi)似的情況，即多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式有時(shí)能整除，而更多的情況就不能整除而有余式．我們學(xué)過(guò)兩個(gè)多項(xiàng)式的除法，其中被除式與除式均按降冪排列．由此容易得出：(1)帶余除法對(duì)于多項(xiàng)式和，其中，必存在多項(xiàng)式和，使得次次或，且，=1\*GB3①其中和分別稱(chēng)為被除式、除式、商式和余式．在上述意義下，可以證明商式與余式是唯一的．因此，求除以的余式，只要寫(xiě)成上述式子，且次次，則即為所求的余式．注意=1\*GB3①式是一個(gè)重要的恒等式，也是我們研究問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，由此式容易得到：(2)余數(shù)定理多項(xiàng)式除以，所得的余數(shù)等于．余數(shù)定理把一元次多項(xiàng)式的值與除以的余數(shù)，這兩個(gè)似乎無(wú)關(guān)的數(shù)緊密地聯(lián)系了起來(lái)，這種聯(lián)系有深刻的含意，即應(yīng)用余數(shù)定理求一元次多項(xiàng)式除以的余數(shù)，可改為求多項(xiàng)式的值．反之，求多項(xiàng)式的值，可以通過(guò)除法運(yùn)算而得到．由余數(shù)定理很自然地推出因式定理．推論1：多項(xiàng)式有因式的充要條件是．這樣一來(lái)，一元次多項(xiàng)式有因式與多項(xiàng)式的值建立了聯(lián)系，它們之間互為充要條件．推論2：若為整系數(shù)多項(xiàng)式，為整數(shù)，則除以所得的商也為整系數(shù)多項(xiàng)式，余數(shù)為整數(shù)．3、多項(xiàng)式的相等兩個(gè)多項(xiàng)式相等，是指它們的次數(shù)相同并且同次項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，因此，要證明關(guān)于多項(xiàng)式的恒等式，可以將等式兩邊整理后比較同次項(xiàng)系數(shù)，反之，如果已知這個(gè)恒等式成立，則可以得到關(guān)于同次項(xiàng)系數(shù)的等式．這是多項(xiàng)式理論中證明許多重要定理的重要依據(jù)（如韋達(dá)定理的證明），也是處理多項(xiàng)式問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)之一．【典例例題】題型一：多項(xiàng)式的加法和乘法例1．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）給定一個(gè)正整數(shù)，設(shè)個(gè)實(shí)數(shù)，，…，滿(mǎn)足下列個(gè)方程：．確定和式的值（寫(xiě)成關(guān)于的最簡(jiǎn)式子）．【答案】【解析】由題設(shè)知．其中的次數(shù)不超過(guò)．對(duì)，2，3，…，成立，所以（為待定的常數(shù)）．從而，有，

①①的兩邊同乘以后仍然是恒等式，

②這是因?yàn)棰诘拇螖?shù)不超過(guò)，且有，2，3，…，這個(gè)根．除此之外，還有無(wú)窮多個(gè)根（因?yàn)槌?，，…，，之外的?shù)皆為其根，這是由于①為恒等式），取得，即．于是．再把代入式①，并取得，故．例2．（2018·四川·高三競(jìng)賽）試求，之值，使多項(xiàng)式可分解為兩個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的二次式與之積，且1.有相異兩實(shí)根，，2.，．【答案】或【解析】設(shè)，.由2有得，代入①得.從而，，.又，與原多項(xiàng)式比較系數(shù)得或例3．（2012·安徽·高三競(jìng)賽）設(shè).求所有滿(mǎn)足的次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)，則,且是次多項(xiàng)式.故是所求多項(xiàng)式中的一個(gè)解.下面證明：所求多項(xiàng)式是唯一的.首先,設(shè)的項(xiàng)系數(shù).則的項(xiàng)系數(shù)分別是,得.其次，假設(shè).①因?yàn)?、的?xiàng)系數(shù)都是1，所以，是次多項(xiàng)式.而是次多項(xiàng)式，是次多項(xiàng)式，與式①矛盾.唯一性得證.例4．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）假定，，…，和，，…，都是由不相等的復(fù)數(shù)所組成的序列.已知對(duì)均有.證明對(duì)任何，乘積都等于同一常數(shù)，并求出此常數(shù).【答案】【解析】令.

①則由題設(shè)條件知，，，…，是多項(xiàng)式的不同的10個(gè)復(fù)根.由于是的10次多項(xiàng)式，且的系數(shù)為1，故由多項(xiàng)式的理論立知必有.

②這樣，由②知.然后，由①知.這就證明了所求的常數(shù)是-100.題型二：帶余除法例5．（2020·浙江·高三競(jìng)賽）已知，為整系數(shù)多項(xiàng)式，若，求，.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】由題意得：，即.因?yàn)?，故無(wú)公約式，若，則，若，因?yàn)?，為整系?shù)多項(xiàng)式，則或，其中無(wú)公約式，若，則，故，，同理當(dāng)時(shí)，，，綜上，，或，，為整系數(shù)的多項(xiàng)式.例6．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）記（在模p意義下，其中p為奇質(zhì)數(shù)），為系數(shù)定義在F上的多項(xiàng)式且，n為未定元的個(gè)數(shù)．若，證明：除外還有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得．（注：取值也均從F中取，本題中所有等于與取值均在模意義下進(jìn)行）【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】反證法：若結(jié)論不成立，則對(duì)任意有．考慮多項(xiàng)式，則．

①下證，則結(jié)論成立．對(duì)n歸納證明，當(dāng)時(shí)，由拉格朗日定理知結(jié)論成立（即）．設(shè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的g滿(mǎn)足．對(duì)時(shí)，記．考慮以為主元，對(duì)g用h作帶余除法，有，且在p中的次數(shù)小于．而對(duì)任意我們知當(dāng)時(shí)，，故．即對(duì)任意一給定的，有．而給定后，相當(dāng)于的多項(xiàng)式，而關(guān)于次數(shù)小于．故此時(shí)p相對(duì)為零多項(xiàng)式（由拉格朗日定理），故也為0．故在取值上，恒為0．（僅在取值上！如可?。剩藭r(shí)作為關(guān)于的多項(xiàng)式也滿(mǎn)足①式．由歸納假設(shè)知，故．例7．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）是否存在實(shí)數(shù)，使得是一個(gè)三元多項(xiàng)式．【答案】【解析】假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)．則有因式．令．則是的因式．作多項(xiàng)式除法．用除以的余式為．要使整除，則．故綜上，這樣的實(shí)數(shù)存在，且．例8．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）給定由正整數(shù)組成的數(shù)列（1）求證：數(shù)列相鄰項(xiàng)組成的無(wú)窮個(gè)整點(diǎn)均在曲線(xiàn)上.（2）若設(shè)，證明：整除.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】1.用數(shù)學(xué)歸納法顯然在曲線(xiàn)上.現(xiàn)設(shè)整點(diǎn)在曲線(xiàn)上，有.配方、變形，得.把代入得.這表明整點(diǎn)在曲線(xiàn)上.由數(shù)學(xué)歸納法得整點(diǎn)均在曲線(xiàn)上.將按照的要求分組分解，使能提取出公因式，有.由均為正整數(shù)知，整除.題型三：多項(xiàng)式的相等例9．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿(mǎn)足.證明：.【答案】見(jiàn)解析【解析】根據(jù)恒等式得.設(shè).只需證明：.注意到，.則.令，分別代入上式得..例10．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式滿(mǎn)足.①證明：對(duì)所有正整數(shù)，至少有五個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).【答案】見(jiàn)解析【解析】式①等價(jià)于.

②在式②中分別令，，，.則.再在式②中令.則.故、、0、1及是的根.則，

③其中，為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.由式③得.

④將式③、④代入式②得.設(shè).則.考慮兩邊次項(xiàng)系數(shù)知.所以，為常數(shù).故，其中，常數(shù).首先證明：至少有四個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).否則，至多有三個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)2、3、.但、、、兩兩之間的最大公因數(shù)為1、2、3，其中兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)，則為、.從而，兩個(gè)偶數(shù)為、.故.解得.因此，這兩個(gè)偶數(shù)為8、6或16、18.前者不符，后者得到另兩個(gè)奇數(shù)為15、17或17、19，均導(dǎo)致矛盾.其次，假設(shè)存在某個(gè)正整數(shù)，使得的每個(gè)質(zhì)因數(shù)都是的質(zhì)因數(shù)，且恰有四個(gè)質(zhì)因數(shù)，否則，結(jié)論成立.顯然，.由,知或3，或7.故.但9|不能，故，則.由假設(shè)知、、、的質(zhì)因數(shù)為2、3、7、.則.考慮其中兩個(gè)偶數(shù)、兩個(gè)奇數(shù)的質(zhì)因數(shù)集合、.顯然，，，.故或且.若或，則兩個(gè)偶數(shù)為、或、，得或.故這兩個(gè)偶數(shù)為16、18或16、14.前者得7|（n+2）不能；后者使有質(zhì)因數(shù)2、3、5、7及13(或17），矛盾.若，則為奇數(shù)，為偶數(shù).由.故，，且.從而，.于是，.則，矛盾.若，則，且為偶數(shù)，.故.從而，，，.于是，，矛盾.若，則，且為奇數(shù)，.故.但，則的奇質(zhì)因數(shù)不是3、7，矛盾.例11．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）求滿(mǎn)足條件的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式：（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有；（2）存在某一實(shí)數(shù)，使，，…，，，其中為的次數(shù).【答案】【解析】取，由（1）可得，從而，不含常數(shù)項(xiàng)，記.再由條件（1）可知：展開(kāi)后比較兩邊系數(shù)可得，故.由（2）可得，但，故.所求的多項(xiàng)式為.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）互不相等的復(fù)數(shù)、、滿(mǎn)足，，記，，.則、、的關(guān)系為.A． B．C． D．【答案】D【解析】由..得.同理，，.相加得.2．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若函數(shù)，對(duì)所有的實(shí)數(shù)恒為常數(shù)，則正整數(shù)的值為A．3 B．1 C．3或1 D．不存在【答案】A【解析】由可知.又由題意，對(duì)所有實(shí)數(shù)，恒為常數(shù)，則必有.取，則，.顯然，為奇數(shù)，于是，，，.由此得或3.當(dāng)時(shí)，不恒為0.可以驗(yàn)證時(shí)，恒為0.選A.3．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知多項(xiàng)式，其中為非負(fù)整數(shù)，為正整數(shù)，，，…，為整數(shù)，且滿(mǎn)足.則這樣的多項(xiàng)式共有個(gè).A．4 B．5 C．6 D．不存在【答案】B【解析】由于是正整數(shù)，，，，…，是非負(fù)整數(shù).則有如下的5組解：；；；；.即所求多項(xiàng)式為，，，，共5個(gè).選B.4．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，某同學(xué)求得的結(jié)果是，，，.則他計(jì)算錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式為.顯然有.其中和都是整數(shù).由此結(jié)論一一驗(yàn)證，可知計(jì)算有誤.選C.5．（2018·四川·高三競(jìng)賽）設(shè)多項(xiàng)式除以的商式為，余式，其中為實(shí)數(shù)，則的值為（

）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】注意到，令，得，即，因此故答案為D6．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知.則多項(xiàng)式除以后，所得余式為（

）.A．0 B．1 C． D．【答案】A【解析】，是的十次單位方根.即，且.更有是的根，其中，2，…，9.又.則是方程的根，其中，2，…，9.故.選A.7．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若多項(xiàng)式能除盡另一個(gè)多項(xiàng)式（、皆為常數(shù)）.則等于（

）.A．0 B． C．1 D．2【答案】C【解析】由綜合除法易得余式.由于能除盡，故且.即，.所以，.選C.二、填空題8．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足則_________．【答案】82【解析】，，．故答案為：82.9．（2019·江蘇·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）若x+y－2是關(guān)于x、y的多項(xiàng)式的因式，則a－b的值是________.【答案】1【解析】結(jié)合因式分解待定系數(shù)，即可得解.【詳解】由題：x+y－2是關(guān)于x、y的多項(xiàng)式的因式，所以即所以，解得所以a－b的值是1.故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查多項(xiàng)式因式分解，利用待定系數(shù)法求解系數(shù)，也可利用賦值法，結(jié)合特殊值求解.10．（2019·山東·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）整數(shù)n使得多項(xiàng)式f(x)=3x3－nx－n－2，可以表示為兩個(gè)非常數(shù)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，所有n的可能值的和為_(kāi)_____.【答案】192【解析】由題意知f(x)=(ax2+bx+c)(dx+e)，其中a、b、cd、e均為整數(shù)，且不妨設(shè)(a，d)=(1，3)或(3，1).若(a，d)=(1，3)，則－5=f(－1)=(1－b+c)(－3+e)，所以，得e=－2，2，4，8；又得，有3|e，矛盾.若(a，d)=(3，1)，一方面由－5=f(－1)得(e－1)|(－5)，有e=－4，0，2，6；另一方面f(e)=0，得3e3－ne－n－2=0，故可以求得n的值為38，－2，26，130.所以所求之和為192.故答案為：192．11．（2022·北京·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）滿(mǎn)足的所有正實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分之和是___________．【答案】5【解析】，，，∴．整數(shù)部分分別是2，3．和是5．故答案為：5.12．（2020·浙江·高三競(jìng)賽）設(shè)曲線(xiàn)：，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】.【解析】直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立，消去得：，法1：由題設(shè)，該方程對(duì)任意的，均有且又只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，設(shè)，則，則對(duì)任意的恒成立，這不可能成立，故的取值范圍為.法2：設(shè)方程的根為，則.由題意得，方程無(wú)解，或方程的根為.對(duì)比兩邊的系數(shù)得：.因?yàn)?，所以，方程化?

（1）方程無(wú)解時(shí)，則，即對(duì)任意恒成立，故的取值范圍為.（2）方程有唯一的解，則，于是，矛盾.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：13．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）若，則__________．【答案】【解析】令，條件式立即化為，即.故答案為：.14．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）計(jì)算：______.【答案】【解析】考慮多項(xiàng)式.令.則.類(lèi)似地，當(dāng)時(shí)，故原式.15．（2019·江西·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）將集合{1，2，……，19}中每?jī)蓚€(gè)互異的數(shù)作乘積，所有這種乘積的和為_(kāi)________.【答案】16815【解析】所求的和為.故答案為：16815．16．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)、、、滿(mǎn)足，，，.則______.【答案】20【解析】由，

①，

②聯(lián)立式①、②解得，.則.故答案為2017．（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）對(duì)正整數(shù)k，方程的整數(shù)解組有_____個(gè)．【答案】無(wú)數(shù)【解析】取.則.因，所以，.由b的任意性知，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.故答案為無(wú)數(shù)三、解答題18．（2011·全國(guó)·高三競(jìng)賽）證明：對(duì)任意整數(shù)，存在一個(gè)次多項(xiàng)式具體如下性質(zhì)：（1）均為正整數(shù)；（2）對(duì)任意的正整數(shù)及任意個(gè)互不相同的正整數(shù)，均有.【解析】令.①將式①的右邊展開(kāi)即知是一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為