等積變形問題

一元一次方程的應(yīng)用2021/5/91

商店對某種商品進行調(diào)價，決定按原價的九折出售，此時該商品的利潤率是15℅,已知這種商品每件的進貨價為1800元，求每件商品的原價。解設(shè)商品的原價為x元，根據(jù)題意，得

90℅x=1800(1+15℅)解這個方程，得x=2300所以，每件商品的原件為2300元。售價=成本×（1+利潤率）2021/5/92

在有關(guān)營銷問題中，一般要涉及到成本、售價、利潤。它們的關(guān)系是：利潤=售價-成本，利潤率=利潤/成本×100℅，售價=成本×（1+利潤率）。

有時可以用“進貨價”代替“成本”。但是，成本除包括進貨價外，還應(yīng)包括諸如運輸費、倉儲費、損耗、職工工資等。加油站2021/5/93等積變形問題一元一次方程的應(yīng)用2021/5/94復(fù)習(xí)：常用幾何圖形的計算公式長方形的周長=長方形的面積=三角形的面積=圓的周長=圓的面積=長方體的體積=圓柱體的體積=（長＋寬）×2長×寬

×底×高2πr(其中r是圓的半徑）πr２長×寬×高

底面積×高=π

r２h（這里r為底面圓的半徑，h為圓柱體的高）2021/5/95想一想：請指出下列過程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量保持不變？1、把一小杯水倒入另一只大杯中；

2、用一塊橡皮泥先做成一個立方體，再把它改變成球。解：水的底面積、高度發(fā)生變化，水的體積和質(zhì)量都保持不變解：形狀改變，體積不變2021/5/96例如圖，用直徑為200毫米的圓鋼，鍛造一個長、寬、高分別為300毫米、300毫米和90毫米的長方體毛坯底板，應(yīng)截取圓鋼多少（計算時取3.14.要求結(jié)果誤差不超過1毫米）？200

??

90300300精講例題2021/5/9790300300精講例題200x分析

思考1：題目中有哪些已知量和未知量？它們之間有什么關(guān)系？如何設(shè)未知數(shù)？已知：圓鋼直徑（200mm）、長方體毛胚的長寬高（300mm、300mm、90mm）未知：圓鋼的高相等關(guān)系：圓鋼體積=長方體毛胚的體積設(shè)未知數(shù)：設(shè)應(yīng)截取圓鋼x毫米。一、分析題意，找出等量關(guān)系，分析題中數(shù)量及其關(guān)系，用字母（例如x）,表示問題里的未知數(shù)；2021/5/9890300300精講例題200

x分析

思考2：如何用字母（未知數(shù)x）表示圓鋼的體積？二、用含未知數(shù)x的一次式表示有關(guān)的量；圓鋼的體積=

x

立方毫米2021/5/9990300300精講例題200

x分析思考3：如何根據(jù)等量關(guān)系“圓鋼體積=長方體毛胚的體積”列出方程？三、根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

根據(jù)等量關(guān)系列出方程，得：

?

?

x=300×300×802021/5/910

90300300精講例題200

x分析

思考4：如何解這個方程？四、解方程，求出未知數(shù)的值；五、檢驗求得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案.

×

x=300×300×90方程化簡為x=810

解得x≈2582021/5/911例如圖，用直徑為200毫米的圓鋼，鍛造一個長、寬、高分別為300毫米、300毫米和80毫米的長方體毛坯底板，應(yīng)截取圓鋼多少（計算時取3.14.要求結(jié)果誤差不超過1毫米）？一、分析題意，找出等量關(guān)系：圓鋼體積=長方體毛坯體積，設(shè)應(yīng)截取圓鋼長為x毫米二、用含未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量：是指圓鋼的體積是（200/2)2x立方毫米.三、根據(jù)等量關(guān)系列出方程，得：×（200/2)2?

x=300×300×90四、解方程求出未知數(shù)的值即解這個方程得：

x258五、檢驗求得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案：應(yīng)截取圓鋼的長為258毫米.精講例題解：設(shè)應(yīng)截取的圓鋼長為x

毫米，根據(jù)題意得：

?（200/2)2?x=300×300×80

3.14x=720

x230答：應(yīng)截取圓鋼的長為230毫米.2021/5/912變形前的體積（周長)=變形后的體積（周長)等積變形問題的等量關(guān)系2021/5/913列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：1、分析題意，找出等量關(guān)系，分析題中數(shù)量及其關(guān)系，用字母（例如x）,表示問題里的未知數(shù).2、用代數(shù)式表示有關(guān)的量.3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程.4、解方程，求出未知數(shù)的值.5、檢驗求得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案.歸納2021/5/9141.將一個底面直徑為10厘米，高為36厘米的“瘦長”形圓柱鍛壓成底面直徑是20厘米的“矮胖”形圓柱，高變成了多少？鍛壓等量關(guān)系：變形前的體積=變形后的體積練習(xí)2021/5/915解：設(shè)鍛壓后圓柱的高為x厘米，填寫下表：鍛壓前鍛壓后底面半徑高體積

5厘米10厘米

36厘米

x厘米等量關(guān)系：鍛壓前的體積=鍛壓后的體積×52×36×102?

x根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：解得：

x

=99

×52×36

×102?

x

=因此，高變成了

厘米

列方程時，關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系。2021/5/9162.已知一圓柱形容器底面半徑為0.5m,高為1.5m,里面盛有1m深的水，將底面半徑為0.3m，高為0.5m的圓柱形鐵塊沉入水中，問容器內(nèi)水面將升高多少?

1.5m0.5m0.5m0.3m練習(xí)1m2021/5/917分析：根據(jù)以上演示我們知道了它們的等量關(guān)系：水位上升部分的體積=小圓柱形鐵塊的體積圓柱形體積公式是_______,水升高后的體積小鐵塊的體積（__________）（________________)解：設(shè)水面將升高x米,根據(jù)題意得方程為：___________________解這個方程：__________答：______________________r2h0.52X0.32×0.50.52X=0.32×0.5X=0.18容器內(nèi)水面將升高0.18m。2021/5/918一圓柱形容器的內(nèi)半徑為3厘米，內(nèi)壁高30厘米，容器內(nèi)盛有15厘米高的水。現(xiàn)將一個底面半徑為2厘米、高18厘米的金屬圓柱豎直放入容器內(nèi)，問容器的水將升高多少米？分析：本題涉及圓柱的體積v=

π

r2h，這里r是圓柱底面半徑，h為圓柱的高。一個金屬圓柱豎直放入容器內(nèi)，會出現(xiàn)兩種可能：（1）容器內(nèi)的水升高后不淹沒放入的金屬圓柱；（2）容器內(nèi)的水升高后淹沒放入的金屬圓柱。因此列方程求解時要分兩種情況。2021/5/919解設(shè)容器內(nèi)放入金屬圓柱后水的高度為x厘米。（1）如果容器內(nèi)的水升高后不淹沒放入的金屬圓柱，根據(jù)題意，得π·(32-22)·x=π32×15解這個方程，得x=27因為27>28,這表明此時容器內(nèi)的水已淹沒了金屬圓柱，不符合題意，應(yīng)舍去。2021/5/920（2）如果容器內(nèi)的水升高后淹沒放入的金屬圓柱，根據(jù)題意，得π

·32·x=π

·

32×15+π·22×18解這個方程，得x=23