2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第九章 9-7雙曲線

第九章§9.7雙曲線考試要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型內(nèi)容索引課時(shí)精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的

等于非零常數(shù)(_____|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的

，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的

.絕對(duì)值小于焦點(diǎn)焦距標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

性質(zhì)焦點(diǎn)_________________________________________焦距__________范圍_______或

，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：

；對(duì)稱中心：_____2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－ax≥a坐標(biāo)軸原點(diǎn)性質(zhì)頂點(diǎn)________________________________________軸實(shí)軸：線段

，長(zhǎng)：

；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：____，實(shí)半軸長(zhǎng)：

，虛半軸長(zhǎng)：___

離心率e＝

∈__________漸近線_________________

a，b，c的關(guān)系c2＝

(c>a>0，c>b>0)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2bab(1，＋∞)a2＋b2常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為

.常用結(jié)論(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則＝

，其中θ為∠F1PF2.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)√×√×√由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.2.設(shè)P是雙曲線

＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.以上均不對(duì)√根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8?|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.3.(2022·汕頭模擬)寫一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且離心率為

的雙曲線方程________________________________________.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)已知定點(diǎn)F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是A.橢圓

B.雙曲線C.拋物線

D.圓√題型一雙曲線的定義及應(yīng)用所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以|MF2|＝2.因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為______.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得∴|PF1|·|PF2|＝8，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，1.已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為教師備選√設(shè)圓M的半徑為r，由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(－3,0)和C2(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，√設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，則|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周長(zhǎng)為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，當(dāng)F′，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF′|＋|PA|有最小值，為|AF′|＝3，故△PAF的周長(zhǎng)的最小值為10.思維升華在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.A.12或6 B.2或4C.6或4 D.12或4√設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，由題意知|PF2|＝8，所以||PF1|－|PF2||＝4，解得|PF1|＝12或|PF1|＝4，故點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為4或12.(2)已知F是雙曲線

＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為___.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以當(dāng)|PF1|＋|PA|最小時(shí)滿足|PF|＋|PA|最小.由雙曲線的圖象，可知當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)1共線時(shí)，滿足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值為9.9題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程√教師備選√解得a2＝4，b2＝12，設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0).思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.√將點(diǎn)(2,3)代入其中，得λ＝1，√命題點(diǎn)1漸近線題型三雙曲線的幾何性質(zhì)√由題意知，b＝2，思維升華命題點(diǎn)2離心率例4

(1)(2021·全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為√設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝3m，在△F1PF2中，高考改編√點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由雙曲線定義得|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，又|F1F2|＝2c，√所以3a2>4(c2－a2)，所以7a2>4c2，又因?yàn)殡p曲線的離心率e>1，教師備選√√如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，思維升華求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝

轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).√由離心率的計(jì)算公式，√因?yàn)閳AQ與雙曲線M的漸近線有且僅有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以圓Q與漸近線bx±y＝0相切，其漸近線方程為x±y＝0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；KESHIJINGLIAN課時(shí)精練1.雙曲線9x2－16y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√3.若雙曲線E：

＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于A.11

B.9

C.5

D.3√12345678910111213141516方法一依題意知，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.方法二根據(jù)雙曲線的定義，得||PF2|－|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|－3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去).1234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√因?yàn)閍2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正確；因?yàn)閍＝4，b＝3，雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c－a＝1，故D錯(cuò)誤.1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415167.(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線C的漸近線方程為__________.123456789101112131415168.設(shè)雙曲線

＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_____.1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閍2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，12345678910111213141516不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線的定義知m－n＝2a＝8. ①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，

②由①②得m·n＝8.1234567891011121314151612345678910111213141516解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；又一條漸近線方程為2x－y＝0，12345678910111213141516由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，解得a2＝1，b2＝4，12345678910111213141516設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,4)，直線AB的斜率為k，1234567891011121314151612345678910111213141516所以直線l的方程為y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.12345678910111213141516技能提升練√a＝4，b＝3，c＝5，該雙曲線的左焦點(diǎn)為F1(－5,0).12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√又該圓的圓心為(c,0)，又b2＝c2－a2＝c2－4，則(c2－4)c2<9c2，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516由題意可設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)，A(－a,0)，B(a,0)，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，1234567891011121314151614.已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，若以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，且|F1P|＝|OP|，則C的漸近線方程為__________.1234567891011121314151612345678910111213141516根據(jù)雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，如圖所示，所以在△POF1中，由余弦定理可得12345678910111213141516拓展沖刺練12345678910111213141516√設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由已知得點(diǎn)N在雙曲線的左支上，連接MF1，NF1(圖略)，根據(jù)雙曲線的定義，|NF|－|NF