河北省衡水中學(xué)高考試卷1高三下學(xué)期第六次調(diào)研考試（A）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：由于,因此應(yīng)選D．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．2．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C考點(diǎn)：二次不等式的解法和集合的運(yùn)算．3．某工廠生產(chǎn)、、三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為120的樣本，已知種型號產(chǎn)品共抽取了24件，則種型號產(chǎn)品抽取的件數(shù)為（）A．24 B．30 C．36 D．40【答案】C【解析】試題分析：因,故,應(yīng)選C.考點(diǎn)：抽樣方法及計算．4．如圖給出的是計算的值的一個框圖，其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：從所給算法流程可以看出當(dāng)時仍在運(yùn)算,當(dāng)時運(yùn)算就結(jié)束了,所以應(yīng)選C.考點(diǎn)：算法流程圖的識讀和理解．5．已知把函數(shù)的圖像向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到函數(shù)，則函數(shù)的一條對稱軸為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：因,向右平移個單位后變?yōu)?再將其橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍后得到,應(yīng)選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．6．已知等比數(shù)列的前項的和為，則的極大值為（）A．2 B．3 C． D．【答案】D考點(diǎn)：等比數(shù)列的前項和與函數(shù)的極值.7．已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（）A．48種 B．72種 C．78種 D．84種【答案】A【解析】試題分析：先將穿紅衣服的兩人排定有種排法；再將穿黃衣服的兩人插空有種排法；最后將穿藍(lán)衣服的人插入有四種插法,由分布計數(shù)原理共有種排法,應(yīng)選A.考點(diǎn)：排列組合數(shù)公式及兩個計數(shù)原理的運(yùn)用.8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合．且直線與雙曲線右支相交于點(diǎn)，則當(dāng)雙曲線離心率最小時的雙曲線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)．【易錯點(diǎn)晴】本題考查的是圓錐曲線的基本量的計算問題.解答這類問題的一般思路是依據(jù)題設(shè)條件想方設(shè)法建構(gòu)含的方程,然后再通過解方程或方程組使問題獲解.解答本題的難點(diǎn)是如何建立和求出關(guān)于離心率的目標(biāo)函數(shù),再進(jìn)一步探求該函數(shù)取得最小值時的條件,從而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的的值.本題中的函數(shù)是運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式建立的,求解時是解不等式而求出的值.9．一個長方體的四個頂點(diǎn)構(gòu)成一個四面體，在這個長方體中把四面體截出如圖所示，則四面體的側(cè)視圖是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】試題分析：側(cè)視圖就是左視圖,也就是從幾何體的左側(cè)向右看,幾何體所投射到平面上所得到的圖形,由于被遮擋故應(yīng)畫虛線,所以應(yīng)選D.考點(diǎn)：三視圖的識讀和理解．10．已知函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo)為，且有三個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的零點(diǎn)中的運(yùn)用．11．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，且平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：設(shè)球心為,外接圓的圓心為,外接圓的半徑為,則平面,由于平面,因此,在中,由余弦定理得,所以,即.由此可得,所以球的面積是,應(yīng)選A.考點(diǎn)：球的幾何性質(zhì)與表面積的計算．【易錯點(diǎn)晴】本題考查的是多面體的外接球的表面積問題.解答本題的難點(diǎn)是如何求出該四棱錐的外接球的半徑,如何確定球心的位置,這對學(xué)生的空間想象能力的要求非常高.解答時充分借助題設(shè)條件,先求出三角形的外接圓的半徑,再借助平面,球心與的外接圓的圓心的連線也垂直于所在的平面,從而確定球心與共面.求出了球的半徑,找到解題的突破口.12．已知函數(shù)下列是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的四種判斷：①當(dāng)時，有3個零點(diǎn)；②當(dāng)時．有2個零點(diǎn)；③當(dāng)時，有4個零點(diǎn)；④當(dāng)時，有1個零點(diǎn)．則正確的判斷是（）A．③④ B．②③ C．①④ D．①②【答案】A【解析】試題分析：若.當(dāng),即時,,解得；當(dāng),即時,,當(dāng),解得適合；當(dāng),解得不適合.若,若,則,即,當(dāng)合適,時不合適；若,則,即也即,當(dāng)時適合；當(dāng)不合適.因此當(dāng)時有四個根；當(dāng)只有一個根,應(yīng)選A.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)和分類整合思想．【易錯點(diǎn)晴】本題考查的是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)及求解問題.解答時借助題設(shè)條件,合理運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想,通過對變量的分類討論,建立了關(guān)于函數(shù)的方程,再通過對參數(shù)的分類討論,求解出方程的根,求解時分類務(wù)必要求合乎邏輯力爭做到不重不漏,要有條理.解答本題的難點(diǎn)是如何轉(zhuǎn)化方程,如何進(jìn)行分類整合.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，的頂點(diǎn)都在拋物線上，且滿足，則______．【答案】【解析】試題分析：設(shè),由可得.因,故,,則.考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)．14．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則的值為______．【答案】考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．15．已知中，角、、的對邊分別為、、，已知，則的最小值為______．【答案】【解析】試題分析：由得,即.因為,即,所以,即的最小值為.考點(diǎn)：余弦定理和基本不等式的運(yùn)用．【易錯點(diǎn)晴】本題考查的是以三角形中的三角變換為背景,其實是和解三角形有關(guān)的最小值問題.求解本題的關(guān)鍵是如何將題設(shè)條件與的最小值進(jìn)行聯(lián)系,這也是解答好本題的突破口.解答時先運(yùn)用二倍角公式將其化為,再運(yùn)用正弦定理將其轉(zhuǎn)化為三角形的邊的等式.然后再借助余弦定理和基本不等式進(jìn)行聯(lián)系,從而求出的最小值.16．若函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上是增函數(shù)，且在上也是增函數(shù)，則稱是上的“完美函數(shù)”．已知，若函數(shù)是區(qū)間上的“完美函數(shù)”，則整數(shù)的最小值為______．【答案】考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的幾何意義．【易錯點(diǎn)晴】本題以新定義的完美函數(shù)為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用問題.解答本題的關(guān)鍵是如何建立滿足不等式的實數(shù)的值.求解時依據(jù)題設(shè)條件先對函數(shù)和求導(dǎo),建立不等式組,求參數(shù)的值時運(yùn)用的是試驗驗證法,即根據(jù)題設(shè)條件對適合條件的實數(shù)的值進(jìn)行逐一檢驗,最終獲得答案.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且首項．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若為遞增數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（2）由（1）得，，所以．當(dāng)時，．…………8分若為遞增數(shù)列，則對恒成立．當(dāng)時，，則對恒成立，則；…………………10分又所以的取值范圍為考點(diǎn)：等比數(shù)列及遞增數(shù)列等有關(guān)知識的運(yùn)用．18．（本小題滿分12分）有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻率分布如下表：所用的時間（天數(shù)）10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010假設(shè)汽車只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車只能在約定日期的前12天出發(fā)（將頻率視為概率）．（l）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，估計汽車和汽車應(yīng)如何選擇各自的路徑；（2）若通過公路1、公路2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬元、1.6萬元（其他費(fèi)用忽略不計），此項費(fèi)用由生產(chǎn)商承擔(dān)．如果生產(chǎn)商恰能在約定日期當(dāng)天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬元，若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給生產(chǎn)商2萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天，生產(chǎn)商將支付給銷售商2萬元．如果汽車按（1）中所選路徑運(yùn)輸貨物，試比較哪輛汽車為生產(chǎn)商獲得的毛利潤更大．【答案】(1)汽車選擇公路，汽車選擇公路；(2)汽車為生產(chǎn)商獲得毛利潤更大．.【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件計算概率,通過比較分析求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的大小分析推證.試題解析:（1）頻率分布表，如下：所用的時間（天數(shù)）10111213通過公路1的頻數(shù)0.20.40.20.2通過公路2的頻數(shù)0.10.40.40.1設(shè)分別表示汽車在約定日期前11天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；、分別表示汽車在約定日期前12天出發(fā)選擇公路1、2將貨物運(yùn)往城市乙；，，，，所以汽車選擇公路1，汽車選擇公路2．（Ⅱ）設(shè)表示汽車選擇公路1時，銷售商付給生產(chǎn)商的費(fèi)用，則．的分布列如下：424038360.20.40.20.2．∴表示汽車選擇公路1時的毛利潤為（萬元）．設(shè)表示汽車選擇公路2時的毛利潤，．則的分布列如下：42.440.438.436.40.10.40.40.1．∵，∴汽車為生產(chǎn)商獲得毛利潤更大．考點(diǎn)：概率和隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識的運(yùn)用．19．（本小題滿分12分）如圖，平面平面，，為等邊三角形，，過作平面交、分別于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）設(shè)，求的值，使得平面與平面所成的銳二面角的大小為．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件建立空間直角坐標(biāo)系推證；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用向量的數(shù)量積公式建立方程求解.試題解析:（2），設(shè)平面的法向量，則，可取，又∵是平面的一個法向量，由，以及可得，即，解得（負(fù)值舍去），故．考點(diǎn)：空間直線與平面的位置關(guān)系及空間向量等有關(guān)知識的運(yùn)用．【易錯點(diǎn)晴】空間向量是理科高考的必考的重要內(nèi)容之一,也是高考的難點(diǎn)之一.解答這類問題的關(guān)鍵是運(yùn)算求解能力不過關(guān)和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和思想方法不到位.解答本題的兩個問題時,都是通過建立空間直角坐標(biāo)系,充分借助題設(shè)條件和空間向量的有關(guān)知識進(jìn)行推證和求解.第一問中的求證是借助向量共線定理進(jìn)行推證的；第二問中充分運(yùn)用向量的數(shù)量積公式建立方程的,通過解方程從而求出.如何通過計算建立方程是解答好本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵之所在.20．（本小題滿分12分）如圖，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)線段的垂直平分線和半徑相交于．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與（1）中軌跡相交下兩點(diǎn)，直線的斜率分別為（其中）．的面積為，以為直徑的圓的面積分別為．若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義建立方程求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系建立函數(shù)求解.試題解析:（1）連結(jié)，根據(jù)題意，，則，故動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．2分設(shè)其方程為，可知，則，3分所以點(diǎn)的軌跡的方程為為．4分（2）設(shè)直線的方程為，由可得，由韋達(dá)定理有：且………6分∵構(gòu)成等比數(shù)列，∴，即：由韋達(dá)定理代入化簡得：．∵，∴………………8分此時，即．又由、、三點(diǎn)不共線得從而．故10分又則為定值．12分∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．綜上：．14分考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識的運(yùn)用．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（l）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求在上的最大值和最小值；（3）求證：．【答案】(1)若，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，若，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)最大值為，最小值為；(3)證明見解析.【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件依據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系分類求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解；(3)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識及最大最小值進(jìn)行推證.（2）時，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值為；而；，，所以，故函數(shù)在上的最小值為．（3）由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上的最大值為，即．故有恒成立，所以，故，即．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值中的運(yùn)用．【易錯點(diǎn)晴】本題以探求函數(shù)的單調(diào)性和不等式的推證為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的綜合應(yīng)用問題.解答本題的第一問時,是直接依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用分類討論的思想求出單調(diào)區(qū)間；第二問中的最值求解則是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性,再依據(jù)最值的定義求出最值；第三問中的不等式的證明和推證則是依據(jù)題設(shè)條件,將問題進(jìn)行合理有效的轉(zhuǎn)化為求最值問題.體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的巧妙運(yùn)用.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時請寫清題號.22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講已知直線與圓相切于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)，交圓于，，，，．（1）求證：；（2）求的長．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造等角,探尋相似三角形的條件推證；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用相似三角形和圓冪定理求解.試題解析:（1）因為，所以，因為與圓相切于點(diǎn)，所以，所以．考點(diǎn)：圓的