第一類曲線積分

第 一 類 曲 線 積 分ThefinaleditionwasrevisedonDecember14th,2020.§1第一類曲線積分的計(jì)算

f,y,zll則fx,y,zsTfxt,yt,zt x2ty2tz'2tt。l t0l

yxaxbf(x,y)s

fx,

(x)

1'2(x)dx。l alxacost, yat,

0

(x2y2)ds。lly24xO(0,0)1,2)l

yds。l

x2dslx

y

z2

a2x

yz0

xyslO,0A,0B,l§2塊Szf

x,y。fx,y具對(duì)x和y偏導(dǎo)即影 可求xy該塊S

1f2

f2dxdy。x yxy令Ex2y2z2

xxyyz

G

x2y2z2，u u u

v u v uv

v vS

F2。x2

y2z2

a2含柱x2y2

0x2

y2z2

a2x2y2

0

y,zSSz

fxy

x,y具xy xyxyzdSxyfxy1f2f2dxdy。x yS xyx,y,zS令Ex2y2z2

xxyyz

G

x2y2z2，u u u

v u v uv

v v則x,y,zdSS

xv

yvzv

EGF2dudv。xyzSS

x2

y2z2

a2z0。SSSxucosvyuvzv

0ua,0v2。IS

x2

y2dS

SR?！?線變力做功線F(xyP(xy),Q(xy)沿線L從A到B所作功先微元法再法討論問(wèn)題得W

F。型線1 L

xyzLLAAx,yzi i i i

nAAi i1

B。xx x。每AA

任取P,,

作和式：i i1 i

i i1

i i i in

fP

f,,

x。i1

i i i i i iAAA AAA Axy

為AA

x ,y ,z

為B。

這里1 1 1 1

n1

n1 n1 n1

i i i1

i i1AA示長(zhǎng)度。若當(dāng)0時(shí)和極限I它與L法無(wú)關(guān)也與P的AAi i1 i選擇無(wú)關(guān)IfxyzdxLI fx,y,I fx,y,。L 注：如果類積為

x,y,zPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z則量L按第二IL

Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,zdz。注：第二類積與關(guān)。這第二類積很重要性質(zhì)也是它區(qū)別于第類積特征。注：平面情況下若人立平面閉路循作環(huán)行時(shí)如閉路所圍區(qū)域靠近這人部總他左則這就算作正否則就算作負(fù)。這時(shí)只要不變積值與位置無(wú)關(guān)。二第二類積計(jì)算AB自身不相交其參程為：xx

yy

zzt 0

tT。AB。當(dāng)參tt調(diào)地增加到T時(shí)A按連續(xù)地變到B。0PxyzAB它AB連續(xù)。則 T P x,y,zx 0Pxt,yt,ztx't t。 （*）L t0注：（*）積下限必須對(duì)應(yīng)積所限必須對(duì)應(yīng)。注：如果f類積為例：計(jì)算積L

x,y,zPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z則量L按第二yx)dyL123A點(diǎn)B；

2(x)21；3(1,1)(2,1) (2,3) (1,1).L

xdy

ydx, L:1y2x200)12)；2

2x00)12)；3)0)2) I=

xy)dyx2dzLxat，Lyat

zbt

0

M。P2Q2xP2Q2IR

0。DLDSS1S 。1側(cè)概念1．單側(cè)雙側(cè)

2 L§4在實(shí)際生活碰雙側(cè)至單側(cè)也存在牟彼烏斯帶就典子。2．上側(cè)和下側(cè)外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)上、下側(cè)左、右側(cè)法向量為n(cos,cos,cos),則上側(cè)法方向應(yīng)量0應(yīng)cos0即法方向Z向側(cè)法方程S,ST。S以任何割n小塊1,2 ,nGS在投i i得 相應(yīng)割如果取上側(cè)G作如取下xy iG。設(shè)i

fxyz定義在S上S任取一點(diǎn)iP,,i i i

和式D表示G面積。由上述見D是帶符號(hào)它們符號(hào)是由選來(lái)決定。i i i設(shè)dS致敬記xd0IIi i i i

PIi

fxySI

f(x,y,。S注：也會(huì)碰到幾個(gè)積分連在一起情形例如：PxyzdydzQxyRxyzdxdy。S注：如果沿曲面另一積分則得值應(yīng)當(dāng)變號(hào)。三 兩類曲面積分聯(lián)系及第二類曲面積分計(jì)第二型曲面積分與第一型曲面積分關(guān)系設(shè)n為曲面S指定法, 則S

P(x,y,z)cos(n,x)Q(x,y,z)cos(n,y)R(x,y,z)cos(n,z)dS.定理1 設(shè)R(x,y,z)是定義在光滑曲面S為正(即0有

zz(x,y),

(x,y)D

上S上側(cè)xyR(x,y,z)dxdyy,z(x,.SDxy類似地,對(duì)光滑曲面S:xx(y,z),

(y,z)D

,在其前上積分yzP(x,y,z)dydzPx(y,z),SD

y,zdydz.yz對(duì)光滑曲面S:yy(x), (x)

D上積分zxQ(x,y,,y(x),.SDyz計(jì)PdydzRdxdy三個(gè)積分SPdydz, S

, S

Rdxdy.為此,分別把曲面S投影到Y(jié)ZZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì).投影域由曲面SP(xyzQ(xyzR(xyzSz,

z(x,y)

(x,y)D

xyP(x,y,z)dydzQ(x,y,R(x,y,z)dxdyS =S

P(x,y,z)x)Q(x,y,z)y)R(x,y,z)z)dSS,S下,例：計(jì)算積分S

Sx

y

z21

x0

y0。例：計(jì)算積分

(x

y)dydzy(z3x)dxdyx2

y

z2

R2.解：對(duì)積分(xy)dydz,用 和 , : x前

R2y

z2,

D : yyz

z2

R2; : x后

R2y

z2,

D : yyz

z2

R2.因,

(x

y)dydz=

+前 后 1 3 2 44 2

R2r

2 33

rRr0

R3.3

y

和 , : 右 : 左

R

z2

右 x2,R2R2z2x2

D : x2zxD : xzx

z2z2

R2;R2.因此,

(yz)dydz 右

+左2 x2z2R

R2z2

x2

R3.434對(duì)積分(z3x)dxdy

和 , : z上

R2x

下y2,