線彈性體系的互等定理

16.6線彈性體系的互等定理16.6線彈性體系的互等定理16.6線彈性體系的互等定理【引言】所謂線彈性體系，指的是變形與荷載成比例關(guān)系或線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)體系。線彈性體系必須滿足以下兩個條件：第一，結(jié)構(gòu)的變形是微小的，因而在考慮力的平衡時可以忽略結(jié)構(gòu)的變形；第二，材料服從胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。這兩個條件也是疊加原理成立的條件，因此對線彈性體系總是可以應(yīng)用疊加原理的。線彈性體系有四個簡單的互等定理：功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理以及反力與位移的互等定理，其中功的互等定理是基本的互等定理，其他三個互等定理都可以從功的互等定理推導(dǎo)出來。本課程后面的章節(jié)中將要用到這些定理。16.6線彈性體系的互等定理一、功的互等定理以如圖所示的線彈性體系的兩種狀態(tài)進(jìn)行介紹：圖示簡支梁,先在梁上的1點(diǎn),作用一個靜力荷載F1,則梁將產(chǎn)生變形,梁上1點(diǎn)產(chǎn)生位移Δ11。在梁上的靜力荷載F1作用達(dá)到平衡以后,再在梁上的2點(diǎn)作用另一靜力荷載F2,則梁的形狀再次改變成如中圖所示位置,而梁上1點(diǎn),在原來位移Δ11的基礎(chǔ)上,又增加了新的位移Δ12。根據(jù)本章第二節(jié)的介紹,有關(guān)系：

T12=W1216.6線彈性體系的互等定理上面W12是第一狀態(tài)的內(nèi)力在第二狀態(tài)引起的虛變形上所作的內(nèi)力虛功，其值為：如果改變上面靜力荷載F1與靜力荷載F2的加載順序，即先加載F2，再加載F1，則同樣可以得到關(guān)系：T21=W2116.6線彈性體系的互等定理上面W21是第二狀態(tài)的內(nèi)力在第一狀態(tài)引起的虛變形上所作的內(nèi)力虛功，其值為：比較W12與W21，顯然有W12

=W21，所以有T12

=T21即：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應(yīng)的虛位移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)相應(yīng)的虛位移上所作的外力虛功，這就是功的互等定理。16.6線彈性體系的互等定理在這里，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，只要兩個狀態(tài)滿足小變形及胡克定理，則由于第一狀態(tài)與第二狀態(tài)是彼此獨(dú)立無關(guān)的，所以可以將它們分離開來，如圖所示。16.6線彈性體系的互等定理另外兩個狀態(tài)的力系中所包含的力，都可以是力、力偶或廣義力，與之相應(yīng)的分別是另一個狀態(tài)中的線位移、角位移和廣義位移。如圖所示，第一狀態(tài)作用在1點(diǎn)的是一個集中力，而第二狀態(tài)作用在2點(diǎn)的是一個集中力偶，但是應(yīng)用功的互等定理，仍然有：

T12

=T21即有：F1Δ12=F2Δ2116.6線彈性體系的互等定理還應(yīng)指出，第一狀態(tài)與第二狀態(tài)都可以分別是一組荷載作用，但是不管哪一組荷載先作用，其內(nèi)力虛功總是相等的，所以功的互等定理仍然成立，從而有：同時，這一定理同樣也適用于超靜定結(jié)構(gòu)和有支座移動的情況，只要將支座反力也包括在作功的力系之內(nèi)，可見本節(jié)后面關(guān)于反力互等定理和位移與反力互等定理的內(nèi)容。16.6線彈性體系的互等定理二、位移互等定理如果將功的互等定理中的兩個狀態(tài)的作用力都為單位力即等于1，則得到如圖所示的變形及位移情況。顯然，應(yīng)用功的互等定理：可得：F1

12=F2

21所以有：

12=

2116.6線彈性體系的互等定理

12=

21即：第一狀態(tài)的單位力作用點(diǎn)由于第二狀態(tài)單位力作用所引起的位移,等于第二狀態(tài)的單位力作用點(diǎn)由于第一狀態(tài)單位力作用所引起的位移,這就是位移互等定理。在這里，兩個狀態(tài)的單位力，也可以是廣義單位力，與之相應(yīng)的則是廣義位移。如圖所示，應(yīng)用功的互等定理，仍然有

12=

21

【注】位移互等定理在力法計算超靜定結(jié)構(gòu)中被經(jīng)常應(yīng)用到。16.6線彈性體系的互等定理三、反力互等定理如圖所示線彈性體系的兩個狀態(tài)。在第一狀態(tài)中，支座A沿約束1（轉(zhuǎn)動約束）的方向發(fā)生單位位移，并引起了相應(yīng)的支座反力；在第二狀態(tài)中，支座B沿約束2的方向發(fā)生單位位移，并引起了相應(yīng)的支座反力。對這兩個狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理（公式16－16），可得16.6線彈性體系的互等定理其中Fr21為支座2由于支座1產(chǎn)生單位位移所引起的反力;Fr12為支座1由于支座2產(chǎn)生單位位移所引起的反力。Fr21或Fr12的第一個下標(biāo)表示與反力相應(yīng)的支座約束,第二個下標(biāo)表示引起反力的原因。由于1=2=1，所以有：Fr21

=Fr12(16－18)即：第二個約束由于第一個約束發(fā)生單位位移所引起的反力，等于第一個約束由于第二個約束發(fā)生單位位移所引起的反力。這就是反力的等定理。反力的互等定理將在計算超靜定結(jié)構(gòu)的位移法（第18章）中得到應(yīng)用第十六章靜定結(jié)構(gòu)的位移小結(jié)1．本章主要介紹用虛功原理求位移，重點(diǎn)是變形體系的虛功原理。剛體或剛體系的虛功原理可以看成是變形體系虛功原理的特例。如果結(jié)構(gòu)的桿件只發(fā)生剛體位移（靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移而發(fā)生的位移就屬于這種情況），則用剛體或剛體系的虛功原理就可以解決問題；當(dāng)結(jié)構(gòu)受其他外因作用時，位移總是伴隨變形而產(chǎn)生，這時就要用變形體系的虛功原理來計算位移。2．虛功原理一般有兩種形式：虛位移原理和虛力原理。在位移計算中得到應(yīng)用的是虛力原理。為了計算簡便，計算位移時采用的“虛擬單位力”是與所求位移相應(yīng)的單位荷載，這就是單位荷載法。在求廣義位移時，虛設(shè)的荷載應(yīng)是與廣義位移相應(yīng)的廣義單位荷載。第十六章靜定結(jié)構(gòu)的位移小結(jié)3．本章以變形體系虛功原理為基礎(chǔ)，用單位荷載法建立了位移計算的一般公式，又分別給出了靜定結(jié)構(gòu)由于荷載作用、支座移動和溫度變化等不同因素而產(chǎn)生的位移的具體計算公式。對于這些公式，要分清層次，理清它們的“來龍去脈”和各自的適用范圍,切忌死記硬背,生搬硬套。4．結(jié)構(gòu)同時受到荷載、溫度變化和支座移動的作用時,可先分別計算結(jié)構(gòu)由于各種因素單獨(dú)作用產(chǎn)生的位移，再用疊加原理將所得結(jié)果相加，求出它們共同作用所引起的總位移。第十六章靜定結(jié)構(gòu)的位移小結(jié)5．在計算結(jié)構(gòu)因荷載而產(chǎn)生的位移時，可用圖乘法簡化積分運(yùn)算。在應(yīng)用圖乘法時，一般要“先分段，再分塊”：先將