黑龍江省2016-2017學年高二數(shù)學下學期期末試卷

2016-2017學年黑龍江省齊齊哈爾市試驗中學高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一項是符合題目要求的）1．已知復數(shù)z=，則z的虛部是（） A． B．﹣ C．﹣i D．﹣2．用反證法證明命題“：若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”時，假設應為（） A．a(chǎn)，b都能被3整除 B．a(chǎn)不能被3整除 C．a(chǎn)，b不都能被3整除 D．a(chǎn)，b都不能被3整除3．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，則P（0＜ξ＜2）=（） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a6+a7=10，則在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的綻開式中，x11項的系數(shù)是（） A．60 B．﹣60 C．30 D．﹣305．設x＞0，y＞0，A=，B=，則A與B的大小關系為（） A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B6．若函數(shù)f（x）=2x2﹣lnx在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間（k﹣1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（） A．[1，3） B． C． D．7．若2a＞3b＞0，則2a+的最小值為（） A．3 B．6 C．9 D．278．由直線y=2x及曲線y=3﹣x2圍成的封閉圖形的面積為（） A． B． C． D．9．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛（同一品牌的小車完全相同），安排將其放在4個車庫中且每個車庫放2輛，則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（） A．144種 B．108種 C．72種 D．36種10．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務．則下列結論中正確的是（）①P（B）=；②；③事務B與事務A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事務． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④11．如圖是二次函數(shù)f（x）=x2﹣bx+a的部分圖象，則函數(shù)g（x）=ex+f′（x）的零點所在的區(qū)間是（） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）12．已知f（x）=ex，x∈R，a＜b，記A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），則A，B的大小關系是（） A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.）13．計算=．14．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2+b2=c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四面體O﹣ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則S，S1，S2，S3滿意的關系式為．15．若存在實數(shù)x使+＞a成立，求常數(shù)a的取值范圍．16．函數(shù)f（x）的定義域為R，f（0）=2，對隨意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式ex?f（x）＞ex+1的解集為．三．解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．設函數(shù)f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值為3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求滿意條件的x的集合．18．已知數(shù)列{an}滿意a1=2，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．19．甲乙二人競賽投籃，每人連續(xù)投3次，投中次數(shù)多者獲勝．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中與否相互獨立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在競賽前，從輸贏的角度考慮，你支持誰？請說明理由．20．甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙兩人同時參與A崗位服務的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；（Ⅲ）設隨機變量ξ為這五名志愿者中參與A崗位服務的人數(shù)，求ξ的分布列．21．設函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）當a=時，設函數(shù)g（x）=x2﹣2bx﹣，若對于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)b的取值范圍．2）已知a，b為實數(shù)，并且e＜a＜b，其中e是自然對數(shù)的底，證明ab＞ba．（2）假如正實數(shù)a，b滿意ab=ba，且a＜1，證明a=b．

2016-2017學年黑龍江省齊齊哈爾市試驗中學高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一項是符合題目要求的）1．已知復數(shù)z=，則z的虛部是（） A． B．﹣ C．﹣i D．﹣考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題： 數(shù)系的擴充和復數(shù)．分析： 由復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)z，從而求得復數(shù)z的虛部．解答： 解：由=，則復數(shù)z的虛部是．故選：B．點評： 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了復數(shù)z的虛部的求法，是基礎題．2．用反證法證明命題“：若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”時，假設應為（） A．a(chǎn)，b都能被3整除 B．a(chǎn)不能被3整除 C．a(chǎn)，b不都能被3整除 D．a(chǎn)，b都不能被3整除考點： 反證法與放縮法．專題： 規(guī)律型．分析： “a，b中至少有一個能被3整除”的對立面是：“a，b都不能被3整除”，得到假設．解答： 解：反證法證明命題時，應假設命題的反面成立．“a，b中至少有一個能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故應假設a，b都不能被3整除，故選D．點評： 本題考查用反證法證明命題，應假設命題的反面成立．3．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，則P（0＜ξ＜2）=（） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2考點： 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．專題： 計算題．分析： 依據(jù)隨機變量X聽從正態(tài)分布N（2，σ2），看出這組數(shù)據(jù)對應的正態(tài)曲線的對稱軸x=2，依據(jù)正態(tài)曲線的特點，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到結果．解答： 解：∵隨機變量X聽從正態(tài)分布N（2，σ2），μ=2，得對稱軸是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故選C．點評： 本題考查正態(tài)曲線的形態(tài)相識，從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值從x=μ點起先，曲線向正負兩個方向遞減延長，不斷靠近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的．4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a6+a7=10，則在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的綻開式中，x11項的系數(shù)是（） A．60 B．﹣60 C．30 D．﹣30考點： 等差數(shù)列的性質(zhì)．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)得：a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10，再由條件求出x11項的系數(shù)是﹣（a1+a2+…+a12），代入即可求出答案．解答： 解：由題意知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a6+a7=10，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10，∴在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的綻開式中，x11項的系數(shù)是﹣（a1+a2+…+a12）=﹣6（a6+a7）=﹣60，故選：B．點評： 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的敏捷應用，屬于中檔題．5．設x＞0，y＞0，A=，B=，則A與B的大小關系為（） A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B考點： 不等式比較大小．專題： 不等式的解法及應用．分析： 通過A、B分別常數(shù)1，干脆利用放縮法推出所求結果．解答： 解：A==1﹣，B===1﹣，∵＜＜，∴﹣＜﹣，∴A＜B，故選：C．點評： 本題考查了不等式大小比較的方法，屬于基礎題．6．若函數(shù)f（x）=2x2﹣lnx在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間（k﹣1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（） A．[1，3） B． C． D．考點： 利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性．專題： 導數(shù)的概念及應用．分析： 先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間（k﹣1，k+1）內(nèi)，建立不等關系，解之即可解答： 解：因為f（x）定義域為（0，+∞），又f′（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．當x∈（0，）時，f'（x）＜0，當x∈（，+∞）時，f'（x）＞0據(jù)題意，，解得1≤k＜，故選：B．點評： 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，以及利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性等基礎學問，考查計算實力，屬于基礎題．7．若2a＞3b＞0，則2a+的最小值為（） A．3 B．6 C．9 D．27考點： 基本不等式．專題： 不等式的解法及應用．分析： 變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵2a＞3b＞0，∴2a+≥==a+a+=3，當且僅當a=1，b=時取等號．故選：A．點評： 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．8．由直線y=2x及曲線y=3﹣x2圍成的封閉圖形的面積為（） A． B． C． D．考點： 定積分．專題： 計算題．分析： 依據(jù)圖形可以得到直線y=2x及曲線y=3﹣x2圍成的封閉圖形的面積為第三象限二分之一矩形的面積減去拋物線在第三象限曲邊三角形的面積，加上拋物線在第一和其次象限曲邊梯形的面積減去直角三角形的面積．解答： 解：如圖，由得：或，所以直線y=2x及曲線y=3﹣x2圍成的封閉圖形的面積為S=﹣﹣=8+=8+（3x﹣）=8+．故選D．點評： 本題考查了定積分，考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想，解答此題的關鍵是明確微積分基本定理．9．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛（同一品牌的小車完全相同），安排將其放在4個車庫中且每個車庫放2輛，則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（） A．144種 B．108種 C．72種 D．36種考點： 計數(shù)原理的應用．專題： 計算題；排列組合．分析： 依據(jù)題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，②、將取出的2個品牌的小車隨意的放進2個車庫中，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，分別分析每一步的狀況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．解答： 解：依據(jù)題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個品牌的小車隨意的放進2個車庫中，有A42種狀況，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，有1種狀況，則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A4故選：C．點評： 本題考查排列、組合的應用，須要分析如何滿意“恰有2個車庫放的是同一品牌的小車”的要求．10．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務．則下列結論中正確的是（）①P（B）=；②；③事務B與事務A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事務． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④考點： 條件概率與獨立事務．專題： 綜合題；概率與統(tǒng)計．分析： 由題意A1，A2，A3是兩兩互斥的事務，由條件概率公式求出P（B|A1），P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），比照四個命題進行推斷找出正確命題，選出正確選項．解答： 解：由題意A1，A2，A3是兩兩互斥的事務，P（A1）==，P（A2）==，P（A3）=；P（B|A1）==，由此知，②正確；P（B|A2）=，P（B|A3）=；而P（B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）==．由此知①③不正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事務，由此知④正確；比照四個命題知②④正確；故選：A．點評： 本題考查相互獨立事務，解題的關鍵是理解題設中的各個事務，且嫻熟駕馭了相互獨立事務的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較困難，正確理解事務的內(nèi)蘊是解題的突破點．11．如圖是二次函數(shù)f（x）=x2﹣bx+a的部分圖象，則函數(shù)g（x）=ex+f′（x）的零點所在的區(qū)間是（） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）考點： 導數(shù)的運算；二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)零點的判定定理．專題： 綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 由圖象可知，0＜f（0）=a＜1，f（1）=0，從而可得b的范圍，然后依據(jù)零點判定定理可得結論．解答： 解：由圖象可知，0＜f（0）=a＜1①，f（1）=0，即1﹣b+a=0②，由①②可得1＜b＜2，g（x）=ex+2x﹣b，且g（0）=1﹣b＜0，g（1）=e+2﹣b＞0，又g（x）的圖象連綿不斷，所以g（x）在（0，1）上必存在零點，故選B．點評： 本題考查導數(shù)的運算、函數(shù)零點的判定定理，考查數(shù)形結合思想，屬中檔題．12．已知f（x）=ex，x∈R，a＜b，記A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），則A，B的大小關系是（） A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B考點： 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用．專題： 計算題．分析： 利用特別值驗證，推出A，B的大小，然后利用反證法推出A=B不成立，得到結果．解答： 解：考查選項，不妨令b=1，a=0，則A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，?2e﹣2＜e+1?e﹣1＜（e+1）．即A＜B．解除A、B選項．若A=B，則eb﹣ea=（b﹣a）（eb+ea），整理得：（2﹣b+a）eb=（b﹣a+2）ea視察可得a=b，與a＜b沖突，解除D．故選：C．點評： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，選擇題的解法，假如常用干脆法，解答本題難度比較大．考查學生敏捷解題實力．二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上.）13．計算=．考點： 定積分．專題： 計算題．分析： 欲求定積分，可利用定積分的幾何意義求解，即可被積函數(shù)y=與x軸在0→1所圍成的圖形的面積即可．解答： 解：依據(jù)積分的幾何意義，原積分的值即為單位圓在第一象限的面積．∴=，故答案為：．點評： 本小題主要考查定積分、定積分的幾何意義、圓的面積等基礎學問，考查考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題．14．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2+b2=c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四面體O﹣ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則S，S1，S2，S3滿意的關系式為．考點： 類比推理．專題： 推理和證明．分析： 本題考查的學問點是類比推理，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何性質(zhì)時，我們常用的思路是：由平面幾何中點的性質(zhì)，類比推理空間幾何中線的性質(zhì)；由平面幾何中線的性質(zhì)，類比推理空間幾何中面的性質(zhì)；由平面幾何中面的性質(zhì)，類比推理空間幾何中體的性質(zhì)；或是將一個二維平面關系，類比推理為一個三維的立體關系，故類比平面內(nèi)的勾股定理，我們可以推斷四面體的相關性質(zhì)．解答： 解：由a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2+b2=c2，類比到空間中：在四面體O﹣ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則S，S1，S2，S3滿意的關系式為：．故答案為：點評： 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相像性或一樣性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推想另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．15．若存在實數(shù)x使+＞a成立，求常數(shù)a的取值范圍（﹣∞，8）．考點： 二維形式的柯西不等式；基本不等式．專題： 不等式的解法及應用．分析： 利用柯西不等式，求出左邊對應函數(shù)的最大值，即可確定常數(shù)a的取值范圍．解答： 解：由題意，由柯西不等式得（+）2=（+）2≤（3+1）（x+2+14﹣x）=64，∴+≤8，當且僅當x=10時取“=”，∵存在實數(shù)x使+＞a成立∴a＜8∴常數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，8）．故答案為：（﹣∞，8）．點評： 本題主要考查運用柯西不等式求最值，解題的關鍵是變形，利用柯西不等式解題．16．函數(shù)f（x）的定義域為R，f（0）=2，對隨意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式ex?f（x）＞ex+1的解集為{x|x＞0}．考點： 函數(shù)的定義域及其求法．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 設h（x）=exf（x）﹣ex﹣1，則不等式exf（x）＞ex+1的解集就是h（x）＞0的解集．由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出不等式ex?f（x）＞ex+1的解集．解答： 解：設h（x）=exf（x）﹣ex﹣1，則不等式exf（x）＞ex+1的解集就是h（x）＞0的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=ex[f（x）+f′（x）]﹣ex，∵[f（x）+f′（x）]＞1，∴對于隨意x∈R，ex[f（x）+f′（x）]＞ex，∴h'（x）=ex[f（x）+f'（x）]﹣ex＞0即h（x）在實數(shù)域內(nèi)單調(diào)遞增．∵h（0）=0，∴當x＜0時，h（x）＜0；當x＞0時，h（x）＞0．∴不等式ex?f（x）＞ex+1的解集為：{x|x＞0}．故答案為：{x|x＞0}．點評： 本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時要細致審題，留意導數(shù)性質(zhì)的敏捷運用．三．解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．設函數(shù)f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值為3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求滿意條件的x的集合．考點： 肯定值不等式的解法．專題： 不等式的解法及應用．分析： （1）由條件利用肯定值的意義可得|a﹣4|=3，再結合a＞1，可得a的值．（2）把f（x）≤5等價轉(zhuǎn)化為的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示數(shù)軸上的x對應點到4、a對應點的距離之和，它的最小值為|a﹣4|=3，再結合a＞1，可得a=7．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集為[3，8]．點評： 本題主要考查肯定值的意義，肯定值不等式的解法，關鍵是去掉肯定值，化為與之等價的不等式組來解，屬于基礎題．18．已知數(shù)列{an}滿意a1=2，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．考點： 數(shù)學歸納法；數(shù)列遞推式．專題： 點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．分析： （1）由題設條件得an+1=，由此能夠求出a2，a3，a4的值．（2）猜想an=，然后用數(shù)學歸納法進行證明．解答： （本小題滿分12分）解：（1）由題意得an+1=，又a1=2，∴a2==，a3==，a4==．…（4分）（2）猜想an=..…．…（6分）證明：①當n=1時，=2=a1，故命題成立．②假設n=k時命題成立，即ak=，ak+1====，故命題成立．綜上，由①②知，對一切n∈N*有an=成立．．…（12分）點評： 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要細致審題，細致解答，留意數(shù)學歸納法的證明過程，屬于中檔題．19．甲乙二人競賽投籃，每人連續(xù)投3次，投中次數(shù)多者獲勝．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中與否相互獨立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在競賽前，從輸贏的角度考慮，你支持誰？請說明理由．考點： 離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事務的概率乘法公式．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （1）設事務Ai表示“乙第i次投中”，由已條件知P（Ai）=，（i=1，2，3），由P（乙直到第3次才投中）=P（），能求出乙直到第3次才投中的概率．（2）設乙投中的次數(shù)為η，由η～B（3，），求出Eη=3×=．設甲投中的次數(shù)為ξ，ξ的可能取值為0，1，2，3，求出Eξ，由Eη＞Eξ，推導出在競賽前，從輸贏的角度考慮應當支持乙解答： 解：（1）設事務Ai表示“乙第i次投中”，（i=1，2，3）則P（Ai）=，（i=1，2，3），事務A1，A2，A3相互獨立，P（乙直到第3次才投中）=P（）=（1﹣）?（1﹣）?=．（2）設乙投中的次數(shù)為η，則η～B（3，），∴乙投中次數(shù)的數(shù)學期望Eη=3×=．設甲投中的次數(shù)為ξ，ξ的可能取值為0，1，2，3，∵甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率，∴甲前2次投中次數(shù)股從二項分布B（2，），且每次投中與否相互獨立，P（ξ=0）=（1﹣）?（1﹣）?（1﹣）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴甲投中次數(shù)的數(shù)學期望Eξ==，∴Eη＞Eξ，∴在競賽前，從輸贏的角度考慮應當支持乙．點評： 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．20．甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙兩人同時參與A崗位服務的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；（Ⅲ）設隨機變量ξ為這五名志愿者中參與A崗位服務的人數(shù)，求ξ的分布列．考點： 古典概型及其概率計算公式；離散型隨機變量及其分布列．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （Ⅰ）甲、乙兩人同時參與A崗位服務，則另外三個人在B、C、D三個位置進行全排列，全部的事務數(shù)是從5個人中選2個作為一組，同其他3人共4個元素在四個位置進行排列．（Ⅱ）總事務數(shù)同第一問一樣，甲、乙兩人不在同一個崗位服務的對立事務是甲、乙兩人同時參與同一崗位服務，即甲、乙兩人作為一個元素同其他三個元素進行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中參與A崗位服務的人數(shù)ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有兩人同時參與A崗位服務，同第一問類似做出結果．寫出分布列．解答： 解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時參與A崗位服務為事務EA，總事務數(shù)是從5個人中選2個作為一組，同其他3人共4個元素在四個位置進行排列C52A4滿意條件的事務數(shù)是A33，那么，即甲、乙兩人同時參與A崗位服務的概率是．（Ⅱ）記甲、乙兩人同時參與同一崗位服務為事務E，滿意條件的事務數(shù)是A44，那么，∴甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是．（Ⅲ）隨機變量ξ可能取的值為1，2．事務“ξ=2”是指有兩人同時參與A崗位服務，則．∴，ξ的分布列是ξ 1 2P 點評： 本題考查概率，隨機變量的分布列，近幾年新增的內(nèi)容，整體難度不大，可以作為高考基本得分點．總的可能性是典型的“捆綁排列”，易把C52混淆為A52，21．設函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）當a=時，設函數(shù)g（x）=x2﹣2bx﹣，若對于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)b的取值范圍．考點： 利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)探討曲線上某點切線方程．專題： 導數(shù)的概念及應用．分析： （Ⅰ）通過令a=1時，化簡函數(shù)f（x）的表達式，通過求出f（1）、f′（1）的值即可；（Ⅱ）通過求出f′（x）的表達式，并對a的值是否為0進行探討即可；（Ⅲ）通過（II）可知當時函數(shù)f（x）在區(qū)