雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

PAGE13雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)一、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).1．雙曲線(xiàn)的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù)(大于零，小于｜F1F2｜)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。兩定點(diǎn)F1、F2是焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離｜F1F2｜是焦距，用2c表示，常數(shù)用2表示。(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2時(shí)，曲線(xiàn)只表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線(xiàn).(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2時(shí)，曲線(xiàn)只表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線(xiàn).(3)若2=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線(xiàn)，而是以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線(xiàn).(4)若2＞2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：-=1(＞0,b＞0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；-=1(＞0,b＞0)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系數(shù)的符號(hào)，焦點(diǎn)在系數(shù)正的那條軸上.3.雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象關(guān)系范圍頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)、關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)漸近線(xiàn)離心率焦點(diǎn)等軸雙曲線(xiàn)：x2-y2＝2(≠0),它的漸近線(xiàn)方程為y＝±x,離心率e＝.4.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定。（1）通常消去方程組中變量(或)得到關(guān)于變量(或)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)點(diǎn)；直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于一個(gè)點(diǎn)；直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)．（2）若得到關(guān)于(或)的一元二次方程，則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)．(3)直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)或，其中是直線(xiàn)的斜率，，是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)，的坐標(biāo)，且，，可由韋達(dá)定理整體給出．二、例題選講例1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的實(shí)軸與虛軸相等，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為eq\r(2)，則雙曲線(xiàn)方程為 ()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝eq\r(2)D．x2－y2＝eq\f(1,2)解析：由題意，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0)，則c＝eq\r(2)a，漸近線(xiàn)y＝x，∴eq\f(|\r(2)a|,\r(2))＝eq\r(2)，∴a2＝2.∴雙曲線(xiàn)方程為x2－y2＝2.答案：B例2、根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過(guò)點(diǎn)，離心率．(2)、是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，雙曲線(xiàn)離心率為且，．解：(1)依題意，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸可能在軸上，也可能在軸上，分別討論如下．如雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求．由，得．①由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，得．②，又，由①、②得，．③若雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求．同理有，，．解之，得（不合，舍去）．∴雙曲線(xiàn)的實(shí)軸只能在軸上，所求雙曲線(xiàn)方程為．(2)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，因，而，由雙曲線(xiàn)的定義，得．由余弦，得，∴．又，∴．∴，，得，．∴所求雙曲線(xiàn)的方程為．三、鞏固測(cè)試題1．到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（D）A．橢圓 B．線(xiàn)段 C．雙曲線(xiàn) D．兩條射線(xiàn)2．方程表示雙曲線(xiàn)，則的取值范圍是 （D）A． B． C． D．或3．雙曲線(xiàn)的焦距是 （C）A．4 B． C．8 D．與有關(guān)4．若，雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有 （D）A．相同的虛軸 B．相同的實(shí)軸 C．相同的漸近線(xiàn) D．相同的焦點(diǎn)5．過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6，則（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是（A）A．28B．22 C．14 D．126．雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為()A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(3)D．1解析：雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦點(diǎn)為(4,0)或(－4,0)．漸近線(xiàn)方程為y＝eq\r(3)x或y＝－eq\r(3)x.由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，任一焦點(diǎn)到任一漸近線(xiàn)的距離相等，d＝eq\f(|4\r(3)＋0|,\r(3＋1))＝2eq\r(3).7．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的曲線(xiàn)的方程為（）AA．B．C．D．8．過(guò)點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：如圖所示，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有3條．9．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為（）CA．B．C．D．10．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，焦點(diǎn)是，，則雙曲線(xiàn)方程為（）A．B．C．D．11．已知P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，且則的面積為（）DA．B．C．D．12．雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)等于，虛軸長(zhǎng)等于，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線(xiàn)方程為，離心率等于．13．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，則=________12．14．過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)M平分的雙曲線(xiàn)的弦所在直線(xiàn)方程為。13．15．雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則。雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴m<0，且雙曲線(xiàn)方程為，∴m=。16．已知雙曲線(xiàn)的離心率e＝eq\f(\r(5),2)，且與橢圓eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,3)＝1有共同的焦點(diǎn)，求該雙曲線(xiàn)的方程．解：在橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(10)，0)，∴c＝eq\r(10)，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),a)＝eq\f(\r(5),2)，∴a2＝8，b2＝2.∴雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,2)＝1.17．已知、是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上且滿(mǎn)足，求的面積．解：∵為雙曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)且、為焦點(diǎn)．∴,∵，∴在中，∵，∴，∴∴18．已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程；18.(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線(xiàn)段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由,點(diǎn)P在橢圓上,得,∴線(xiàn)段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.19．已知橢圓C的焦點(diǎn)F1（－，0）和F2（，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)6，設(shè)直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。解:由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其中c=,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是:.聯(lián)立方程組,消去y得,.設(shè)A(),B(),AB線(xiàn)段的中點(diǎn)為M()那么:,=所以=+2=.也就是說(shuō)線(xiàn)段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).20．求兩條漸近線(xiàn)為且截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)方程。解:設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2-4y2=.聯(lián)立方程組得:,消去y得，3x2-24x+(36+)=0設(shè)直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦為AB，且A(),B()，那么：那么：|AB|=解得:=4,所以，所求雙曲線(xiàn)方程是：21．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的一個(gè)橢圓與一雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)，且，橢圓的半長(zhǎng)軸與雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸之差為4，離心率之比為3︰7。（