定積分典型例題20例答案

1/6n)wn2分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限．若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間[0,1]n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來上下限．n每個小區(qū)間長為n每個小區(qū)間長為編x=，然后把=.的一個因子乘inn2nnn入和式中各項．于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分．即n)wn2n)wnnnn04例2j2例2j2000222幾幾20j02fxjxetdtfx___；(2)若f(x)=jxxf(t)dt，求f,(x)=___．x0分析這是求變限函數(shù)導數(shù)的問題，利用下面的公式即可djv(x)f(t)dt=f[v(x)]v,(x)一f[u(x)]u,(x)．dxu(x)(2)由于在被積函數(shù)中x不是積分變量，故可提到積分號外即f(x)=xjxf(t)dt，則可0得fxjxftdtxf(x)．00解對等式jx3一1f(t)dt=x兩邊關(guān)于x求導得02/63x2271t解F(x)31，令F(x)0得13，解之得0x1，即(0,1)為所求．xx990xf(x)-00＋10－0nn分析兩曲線yf(x)與yg(x)在點(0,0)處的切線相同，隱含條件f(0)g(0)，f(0)g(0)．解由已知條件得0且由兩曲線在(0,0)處切線斜率相同知f)g(0)e(arcsinx)21．x2x0nnn30nx0sx解limsxx3/6注此處利用等價無窮小替換和多次應用洛必達法則．分析易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達法則．0x2x解lim1jxt2dt=lim解lim1jx=lim=lim=1，ax01bcosxx01x22lim=1x220解法1由于limf(x)=limsin(sin2x).cosxx0g(x)x03x2+4x3x03+4xx0x2limlimxx解法2將sint2展成t的冪級數(shù)，再逐項積分，得到f(x)=jsinx[t21(t2)3+]dt=1sin3x1sin7x+，03!342則limf(x)limf(x)=lim342x0g(x)x0x3+x43=lim33x0x01分析被積函數(shù)含有絕對值符號，應先去掉絕對值符號然后再積分．11021202注在使用牛頓－萊布尼茲公式時,應保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件．如j31dx=[1]3=1，則是錯誤的．錯誤的原因則是由于被積函數(shù)1在x=0處間斷且在被2x2x26x24/6積區(qū)間無界.0分析此題只需要注意到定積分jbf(x)dx是常數(shù)(a,b為常數(shù))．a(chǎn)解因f(x)連續(xù)，f(x)必可積，從而j1f(t)dt是常數(shù)，記j1f(t)dt=a，則00400120312032fx=x．4例13計算j12x2+xdx．分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，因此首先應考慮被積函數(shù)的奇偶性．解j12x2+xdx=j12x2dx+j1xdx．由于2x2是偶函數(shù)，而x是奇函數(shù)，有j1xdx=0,于是04例14計算djxtf(x2t2)dt，其中f(x)連續(xù)．dx0元使被積函數(shù)中不含x，然后再求導．jxtf(x2t2)dt=1jxf(x2t2)dt2．020jxtf(x2t2)dt=1j0f(u)(du)=1jx2f(u)du，02x220故djxtf(x2t2)dt=d[1jx2f(u)du]=1f(x2).2x=xf(x2)．dx0dx2025/600002錯誤解答djxtf(x2t00002dx0錯解分析這里錯誤地使用了變限函數(shù)的求導公式，公式,(x)=djxf(t)dt=f(x)dxa中要求被積函數(shù)f(t)中不含有變限函數(shù)的自變量x，而f(x2t2)含有x，因此不能直接求0分析被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法．00006026例16計算j1ln(1+x)dx．0(3x)2分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法．2401+x3x240分析被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法．00000而0將(2)式代入(1)式可得0故0(1) 6/6(2)分析被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法．(2)0022002(1)022404將(2)式代入(1)式中得080分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解．000000