中科大光學講義01光的波動模型

-1-1-是相互對立的假說，不管理論上如何完美，都不足以使反對的一方完全信服。正Newton立力學的崇高威望和他的眾多的追隨象相似的光的干涉現(xiàn)象，即光經(jīng)過雙孔后，由于干涉，光能量在空間重新分布，hlhelmWeber麥克斯韋(JamesClerkMaxwell,1831~1879)-2--2-磁波理論，ellEB了質中的特性，又引入了另外一組物理量：電流密度矢量J，電位移矢量D和磁場強度矢量H。電磁場的規(guī)律用Maxwell方程組和反映介質電磁-3-3-???D=ρ1)?×H=J+S=E×H(1.1.3)Maxwell方程組得到電磁場的分布，即得到E和B的數(shù)學表達式。???D=o(1.1.4)?×H=?×(?×E)=?(??E)??2E-4--4-v2?t2v2?t2c2?t2c2?t2r0r0v2?t2v2?t2c2?t2c2?t2r0r0?E?=0?E?=0(1.1.6)B=0B=0(1.1.7)有?E?=0?E?=0(1.1.9)在直角坐標系中，設在與Z軸垂直的平面上，電場分量和磁場分量分別有相同的值，即E和B的值與x、y無關，則上述方程(1.1.9)可以寫作如下形式：?p2?p2?p?q?q2?p?p?q?q-5-?zv?t?zv?t，用標量方程表示為?z?p?z?q?z?p?q ?z?p?z?q?z?p?q p+?)?q=(?+?)(?+?)?z?p?p?q?z?q?p?q?z?p?q?p?q ?t?p?t?q?t?p?q v?t?p?t?q?t?p?q vpvqv?)?t?p?p?q?t?q?p?q?t?p?q?p?qv2)2v2)-6--6-代入方程(1.1.12)，得到xxyyzzssexxyyzz為E?s=Const.(1.1.19)和B?s=Const.(1.1.20)在這種情況下，可以將坐標系XYZ旋轉得到新的坐標系ηξζ，并使ζ軸沿矢量s的方向。此時由于邊界條件的要求，E和B的值與η、ξ無關，即-7-7-?η2?ξ2形式上與式(1.1.11)完全相同，所以同樣得到其通解為n此時E與θ，?無關，微分方程(1.1.9)為-8--8-r?r?r?r?r?r?r?rr?r?r?r?r?r?r?r?rv?t?rv?t與式(1.1.11)有相同的形式，其通解為球面波道，在滿足一定的邊界條件時，可以通過對標量方程齊次方程(1.1.9)的標量形式求解。的解設為E(r,t)=E(r)f(t)，則方程化為令方程的兩端都等于常數(shù)l，可以得到對于(1.1.30)，通解為-9-9-f(t)=f0e±ivltl的常數(shù)值，即可以是正數(shù)、負數(shù)或者復數(shù)。這里僅討kf(t)=f0e±i(ωt+?1)可以將f(t)中的常數(shù)并入E(r)中，而將其記作it為?2E(r)?k2E(r)=0(1.1.33)在平面場中，利用1.1.3中的結論，可知一般情形下，當電場強度在法線為?ζ2v2?t2?ζ2v2?t2elmholtzkE1.34)為E=E(ζ)=E0ei(kζ+?0)(1.1.35)而ηξζ系中的任一點r(η,ξ,ζ)，在XYZ坐標系中為-10--10-如果引入矢量k=ks(1.1.36)空間部分的解，即(1.1.35)式可以寫成在XYZ坐標系下的表達式，為t樣的方法求出，為說明波是沿著矢量k的方向(+k或?k)傳播的。由(1.1.28)式，知道電磁波的速度為v=1μμrμ0εrε0設波長為λ，則由波的周期性，在k方向每變化λ，振動不變，于是k稱為波矢，其方向為波的傳播方向，數(shù)值為。因為常用波長的倒數(shù)λλ知道利用Maxwell方程組(1.1.4)的第二式krEeikrt取(1.1.38)式的散度，有由(1.1.42)及(1.1.43)式，可以判斷三個矢量k、E和B是相互正交的，故為橫波，而且E和B是同步的(即同時取得極大值)。波動模型-12-如果電磁場的邊界條件為：電場分量和磁場分量在一個球面上分別有相同的值，即E和B的值只與r有關，即球面場中，波動方程為(1.1.25)式，Helmholtz方程為與(1.1.34)式解的形式(1.1.35)相同，為取(1.1.47)式的散度，有rrrrrrrr與平面波相似，取(1.1.47)式的旋度-13-13-rrrrr可以判斷三個矢量r、E和B是相互正交的。此時如果同樣引入矢量kkk=則k、E和B相互正交。場分量和磁場分量的一般的波動方程的。方程(1.1.6)和(1.1.7)只有在固定不變的頻率下才能夠成立。也就是說，上述結論只對單色波才適用。這種以確定頻1.2定態(tài)光波及其描述期性-14--14-波場中任一點：具有振動的周期性，該點的物理量經(jīng)過一定時間后又可以恢復原來的數(shù)值，即具有時間的周期性。這種周期性可以用振動的周期T描述。振即單位長度內波長的數(shù)目，則波矢k=即表示2π長度內波的數(shù)目。從以上的討論，可以看出，波場具有時間和空間兩重周期性。這是所有波動間變化的情況，即物理量偏離其平衡位置的程度，以及這一物理量在空間是如何?0而被稱作初相位，即初?0-15-15-kkv，v就是平面波振動傳播的速度，稱作相速度。對-16--16-εrμrεrμr實驗研究表明，對于絕大多數(shù)各向同性的光傳播介質而言，可見光幾乎不會n≈εr(1.2.3)即電場分量E即可。EyeyExEy -17-，有時也將研究對象稱作“標量波”。如，對于平面波，利用(1.1.42)，得到kωTE2dt=E2dt=Ecos2(k?r±ωt)dt=E即Irε0EEEE(1.2.4)2μrμ02μrμ02cμrμ02cμ0故I∝nE02(1.2.5)0播，通常取0I=E2(1.2.6)-18--18-波場(1)空間各點的擾動是同頻率的簡諧振動。(2)波場中各點擾動的振幅不隨時間變化，在空間形成一個穩(wěn)定的振幅分布。滿足上述要求的光波應當充滿全空間，是無限長的單色波列。但當波列的持波的描述P類波面：空間中?(P)相同的點所組成的平面或曲面是光波的等相位面，即波。相位同的空間點應滿足下述方程(相同時刻)?(P)=Const.(1.2.8)場點P可以用直角坐標表示為P(x,y,z)=xex+yey+zez或者用球坐標表示為P(r,9,?)(1)平面波：波面是平面。(a)振幅A(P)為常數(shù)；(b)空間相位?(P)為直角坐標的線性函數(shù)，即-19-19-空間點P(x,y,z)處的相位為時刻t=0時原點的相位。stk與X，Y，Z軸的夾角。則波矢可以用矢量式表示為：kksinexsineysinez.2.11)-20--20-?(x,y,z)=k(xsinθ1+ysinθ2+zsinθ3)+?0(1.2.12)接收屏往往是一個平面，所以通常總是研究波場中一為?(x,y,0)=k(xsinθ1+ysinθ2)+?0(1.2.13)z為λk=k(excosθ+ezsinθ)-21-21-kkexcos9+ezsin9)?(P)=k(xcos9+zsin9)和?′(P)=k(?xcos9+zsin9)(2)球面波：波面是球面(a)振幅A(P)=a/r(1.2.13)(b)空間相位是球面對稱的?(P)=kr+?0(1.2.14)波面?zhèn)鞑ニ俣葹関==，為從原點發(fā)出的發(fā)散球面波。-22--22-(0，0，z0)出發(fā)出的球面波在(x，y，0)平面上的振動為(0，0，-z0)出發(fā)出的球面波在(x，y，0)平面上的振動亦為向(0，0，z0)點匯聚的球面波為向(0，0，-z0)點匯聚的球面波為-23-23-，其在某點的振幅和相位只與該點到源點的距離r有關，而與場點相對于源點的方位無關，所以在球面波的表達式化簡和變換的過程中，應該注的復振幅描述波動的表達式，即可以用余弦或正弦函數(shù)表示，也可以用復指數(shù)表示。用復PtAPeiPtAPeiPeit)復振幅為(P)=A(P)ei?(P)(1.2.15)間P點的振動，或者說復振幅表示了波在空間的分布情況。所以，對于定態(tài)光波，凡是需要用振光波場在P點的強度可以直接從復振幅求得I(P)=A2(P)=*(P)(P)(1.2.16)-24--24-對于球面波，=exp[ik]，為從-25-25-1.3遠場條件、近軸條件1.3.1軸上物點的近軸條件和遠場條件物點在OXYZ坐標平面的原點，接收屏X′O′Y′與物平面XOY相距較遠，在接收屏上的任一點P，有x′2+y′2x′2+y′222r=zz<z2(1.3.2)則(ρ/z)2可忽略，有A(P)=E0/|z|(1.3.2)ρ2<<z2稱為近(傍)軸條件。zz-26--26-時?(P)=kz(1.3.4)物點發(fā)出的球面波可以簡化為物點發(fā)出的球面波可以簡化為件-27-27-22z(1.3.9)=02z22z(1.3.9)=02z2zzx2+y2xx′+yy′r′Qxy點在平面X′O′Y′上，為P(x′,y′,z)。距心的間距r=ρ2+z2=x′2+y′2+z2(1.3.8)點的間距xx+y+z22202z02zz02zz02zz02zz幅-28--28-如果物點滿足近軸條件，而場點P再滿足遠場條件的話，(1.3.16)式化為k如果場點滿足近軸條件，而物點Q再滿足遠場條件的話，(1.3.15)式化為1.4波場中的相位與光程雖然“光程”這一概念并不是在光的波動理論中最先被提出來的，但是這一-29-29-相位表示為λ0為真空中的波長，n為介質的折射率。以一維為例，設?0=0，則λλλλ00nz=ns為介質中波的光程，即光走過的路徑(路程)與介質的折射率的乘因而振動也相同?；蛘哒f，等光程面，就是等相位面，即波面。平面波的反射、折射都可以用光程與波面的關系解釋。入射光的波面為AA1，反射光的波面為BB1，由于兩個波面上的各個點之間平面波通過棱鏡或透鏡，將發(fā)生折射。折射后，方向和波面都會發(fā)生改變。棱鏡、透鏡的原理都可以從光程的變化進行解釋。 例如，平面波射入棱鏡之前，波面為ABC，射出時，經(jīng)過的光程為nAA1，nBB1，nCC1，各不相同，這時的波面，即等相位面必須處于A′B′C′的方位，-30--30-如果將其分成一系列厚度為波長或波長整倍數(shù)的薄片，則在各個薄片的相應位置平面上，經(jīng)過該透鏡的平面光即平行光束仍將匯聚在原來的像方焦點上。根據(jù)這-31-31-一原理做成的透鏡稱為菲涅耳(Fresnel)透鏡。但菲涅耳透鏡不能用于成像。因ZOP即則t時刻P點的振動為t-?t時刻在O點的振動，即(ω/v=2πν/νλ=2π/λ=k)-32--32-達式或復振幅表達式中，相位數(shù)值大表示滯后?？梢岳斫鉃椋辔?與光程成正作中，由于習慣的原因，簡諧波的表達式往往寫作如下形式O點開始沿著相同的方向傳播。但經(jīng)過時間t后，由于波的速度不同，兩列波分顯然，由于λ1<λ2，?1>?2。相位小表示超前。和第一種情況在表達方式上是PPOZ1.5光波的疊加光波場中各點都有振動，可以用復振幅來描述。振動本身是一個力學量，即-33-33-的是一般性的原理，適用于普遍往用來處理分立、有限的幾列波，或無限但可數(shù)的波列1．代數(shù)法(瞬時值法)表示為Acos1?ωt)(1.5.1)和ψ2=A2cos(?2?ωt)(1.5.2)簡諧振動。則有ost-34--34-AAinsintsin?=A1sin?1+A2sin?2 (A1cos?1+A2cos?2)2+(A1sin?1+A2sin?2)2(A1cos?1+A2cos?2)2+(A1sin?1+A2sin?2)2= A(cos2?1+sin2?1)+A(cos2?2+sin2?2)= A1sin?1+AA1cos?1+A2cos?2政府可以寫作AeiAei=Aei?可得A2及tg?表達式與(1.4.4)和(1.5.5)相同。-35-35--36--36-IAAyAAycosAxII+2A1A2cosαcos??(1.5.6)從數(shù)學上看，頻率不同的兩函數(shù)相加，其結果不能化簡為一個簡諧波的表達、傳播方向相同、振幅相同，頻率不同的兩列波，即0022-37-37-E1E2EE+E12復色光)中包含有不同波長的光，實際上是波長不同的一系列單色波的疊加，疊如果這些非單色光的波長(波矢)是連續(xù)分布的，則上述求和變?yōu)榉e分，有(z,t)=(z,k,t)=a(z,k)ei(kz?ωt)dk(1.6.2)-38--38-設波矢的分布范圍為k0±?k/2，為計算簡單，可以假設其中的各個單色成所示，即積分(1.6.2)式化為zteikkzvgkkteikz(k0)t)dk，-39-39-t?ki(z?vgt)(z?vgt)ei(k0z