中科大概率論與數(shù)理統(tǒng)計講義03隨機變量的數(shù)字特征

第三章隨機變量的數(shù)字特征教學(xué)目的:1)理解隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差的概念,并會運用它們的基本性質(zhì)計算具體分布的期望、方差.2)掌握二項分布、Poisson分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差.3)會根據(jù)隨機變量的概率分布計算其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.4)理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念,掌握它們的性質(zhì),并會利用這些性質(zhì)進(jìn)行計算,了解矩的概念.5)理解大數(shù)定理與中心極限定理O在前章中,我們討論了隨機變量的概率分布,這種分布是隨機變量的概率論性質(zhì)最完整的刻畫.而隨機變量的數(shù)字特征是某些由隨機變量的分布所決定的常數(shù),它刻畫了隨機變量或者說刻畫了其分布的某一方面的性質(zhì),這些性質(zhì)往往是實際應(yīng)用中人們比較關(guān)心的.例如,我們在了解某一行業(yè)工人的經(jīng)濟(jì)狀況時,我們首先關(guān)心的恐怕會是其平均收入,這會給我們一個總體的印象,而收入的分布狀況,倒不一定是最重要的,這就是刻畫總體平均值的數(shù)字特征.另一類重要的數(shù)字特征,是用來衡量隨機變量取值的分散程度.還拿我們上個例子說明,如果我們考慮兩個行業(yè)工人的經(jīng)濟(jì)狀況,他們的平均收入大體相近,但是一個行業(yè)收入分配較平均,即大多數(shù)人的收入都在平均值上下不遠(yuǎn)處,分散程度就小;另一個行業(yè)則相反,其收入遠(yuǎn)離平均值很多,分散程度就大,這兩者的實際意義當(dāng)然很不相同.平均值和分散度是刻畫隨機變量性質(zhì)的兩類最重要的數(shù)字特征.除了這兩者之外,對于多維變量而言,還有一類刻畫各分量之間關(guān)系的數(shù)字特征,較為常用的是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),這些我們將在下面的章節(jié)詳細(xì)討論.數(shù)字特征另一個重要意義在于,當(dāng)我們不知道隨機變量的確切概率分布,但是清楚其數(shù)字特征的情形下,我們可以根據(jù)這些數(shù)字特征推斷該隨機變量大致的概率性質(zhì).比如某個工廠生產(chǎn)一批燈泡,我們想了解這批燈泡的質(zhì)量如何.我們不知道這批燈泡壽命的確切概率分布,但是如果我們知道這批燈泡的平均壽命,知道這批燈泡壽命的分散程度,那我們就可以大致推斷出這批燈泡的質(zhì)量狀況.?3.1數(shù)學(xué)期望(均值)及中位數(shù)?3.1.1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望也稱均值,是隨機變量的一個最基本的數(shù)字特征.我們先看如下的一個例子例3.1.1.一甲乙兩人賭技相同,各出賭金100元,約定先勝三局者為勝,取得全部200元.現(xiàn)在甲勝2局乙勝1局的情況下中止,問賭本該如何分?解:如果繼續(xù)賭下去而不中止,則甲有3/4的概率取勝,而乙勝的概率為1/4.所以,在甲勝2局乙勝1局的這個情況下,甲能期望“得到”的數(shù)目,應(yīng)當(dāng)確定為200×+0×=150(元),而乙能“期望”得到的數(shù)目,則為200×+0×=50(元).如果引進(jìn)一個隨機變量X,X等于在上述局面(甲值2勝乙1勝)之下,繼續(xù)賭下去甲的最終所得,則X有兩個可能的值:200和0,其概率分別為3/4和1/4.而甲的期望所得,即X的“期望”值,即等于X的可能值與其概率之積的累加這就是“數(shù)學(xué)期望”這個名稱的由來.另一個名稱“均值”形象易懂,也很常用.下面我們就給出數(shù)學(xué)期望(均值)的定義:對一般的離散型分布,我們有定義3.1.1.設(shè)X為一離散型隨機變量,其分布律為P(X=xi)=pi,i=1,2,...,如果|xi|pi<+o,則稱i=1,．xipii=1,為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望(均值),用符號EX表示.若|xi|pi=+o,則稱X的數(shù)學(xué)期望(均值望(均值)不存在.對連續(xù)型隨機變量,其數(shù)學(xué)期望的定義如下定義3.1.2.如果連續(xù)型隨機變量X具有密度函數(shù)f(x),則當(dāng)\-|x|f(x)dx<o時,我們將積分\-xf(x)dx的值稱為X的數(shù)學(xué)期望,記作EX.如果\-|x|f(x)dx=o,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.下面求解幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望.1.二項分布X~B(n,p):k=0EX=k.pk(1-p)n-k=0=np.．i!(n-=np.．i!(n-1-i)!pi(1-p)n-1-ii=0=np2.Poisson分布Xi=0=npEX=λ3.正態(tài)分布X~N(μ,σ2):EX=\-e-dx=\-(σy+μ).e-y2/2dy=μ4.均勻分布X~U[a,b]:EX=a+EX=25.指數(shù)分布X~Exp(λ):EX=1/λ?3.1.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.若干個隨機變量線性組合的期望,等于各變量期望的線性組合.假設(shè)c1,c2,...,cn為常數(shù),則有E(c1X1+c2X2+...+cnXn)=c1EX1+c2EX2+...+cnEXn,這里假定各變量的期望都存在.例3.1.2.假設(shè)隨機變量X~B(n,p),求EX.解:令I(lǐng)i~B(1,p),i=1,2,...,n,則X=Ii且EIi=p.所以，EX=EIi=np.2.若干個獨立隨機變量之積的期望,等于各變量的期望之積,即E(X1X2...Xn)=EX1EX2...EXn,這里假定各變量相互獨立且期望都存在.3.(隨機變量函數(shù)的期望)設(shè)隨機變量X為離散型,有分布P(X=ai)=pi,i=1,2,...,或者為連續(xù)型,有概率密度函數(shù)f(x).則Eg(X)=,尸尸例3.1.3.假設(shè)c為常數(shù),則EcX=cEX.例3.1.4.設(shè)隨機變量X~N(0,1),求Y=X2+1的數(shù)學(xué)期望.解:由X~N(0,1),我們有EX2=\-x2.e-dx=1.所以,EY=EX2+1=2.例3.1.5.飛機場載客汽車上有20位乘客,離開機場后共有10個車站可以下車,若某個車站沒有人下車則該車站不停車.設(shè)乘客在每個車站下車的可能性相等,以X表示停車的次數(shù),求EX.解:設(shè)Yi=,第i個車站有人下車第i個車站無人下車i=1,...,20.則顯然X=Yi,所以i=12020EX=．EYi=．P(第i個車站有人下車)i=1i=1=．[1-0.920]=8.784.i=1?3.1.3條件期望我們知道條件分布也是一個概率分布,因此類似數(shù)學(xué)期望的定義,我們可以給出條件期望的定義.在給定了隨機變量X取值x的條件之下,Y的條件期望,我們記為E(Y|X=x),也可簡記為E(Y|x).定義3.1.3.設(shè)X和Y為隨機變量,若(X,Y)為離散型,且在給定X=x之下,Y有分布P(Y=ai|X=x)=pi,i=1,2,...,或者(X,Y)為連續(xù)型,且在給定X=x之下,Y的條件密度函數(shù)為f(y|x).則E(Y|X=x)=,尸(X,Y)為連續(xù)型;(X,Y)為離散型.期望所具有的性質(zhì)條件期望同樣滿足.例3.1.6.設(shè)(X,Y)~N(a,b,σ,σ,ρ),試計算E(Y|X=x).解:由于Y|X=x~N(b+ρ(x-a),(1-ρ2)σ),所以由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知E(Y|X=x)=b+ρ(x-a).[注]:條件期望E(Y|X=x)是x的函數(shù),當(dāng)我們將x換為X時,E(Y|X)就是一個隨機變量.我們有如下的公式成立:定理3.1.1.設(shè)X,Y為兩個隨機變量.則有EX=E{E[X|Y])[全期望公式]證:我們僅在連續(xù)型隨機變量的情形下證明此定理.設(shè)Y的p.d.f為p(y),X|Y=y的p.d.f為q(x|y).則EX=…-q(x|y)p(y)dxdy=\\-q(x|y)dxp(y)dy=\-E[X|Y=y]p(y)dy=E{E[X|Y])[推廣]:當(dāng)g(X)為可積隨機變量時,有Eg(X)=E{E[g(X)|Y]).由此得到求解期望的第二種方法:先求解h(x)=E(Y|X=x),再求解Eh(X),即可求得EY.例3.1.7.一竊賊被關(guān)在有3個門的地牢里,其中第一個門通向自由.出這門走3個小時便可以回到地面;第2個門通向另一個地道,走5個小時將返回到地牢;第3個門通向更長的地道,走7個小時也回到地牢.若竊賊每次選擇3個門的可能性總相同,求他為獲得自由而奔走的平均時間.解:設(shè)這個竊賊需要走X小時才能到達(dá)地面,并設(shè)Y代表他每次對3個門的選擇情況,Y各以1/3的概率取值1,2,3.則3EX=E[E(X|Y)]=．E(X|Y=i)P(Y=i)i=1注意到E(X|Y=1)=3,E(X|Y=2)=5+EX,E(X|Y=3)=7+EX,所以EX=[3+5+EX+7+EX]即得到EX=15.例3.1.8.設(shè)(X,Y)~N(a,b,σ,σ,ρ),試計算EXY.解:先算得E(XY|X=x)=xE(Y|X=x)=x(b+ρ(x-a));所以EXY=E(bX+ρX2-ρaX)=ab+ρ(a2+σ)-ρa2?3.1.4中位數(shù)我們已經(jīng)知道,隨機變量X的數(shù)學(xué)期望就是它的平均值,因此從一定意義上,數(shù)學(xué)期望刻畫了隨機變量所取之值的“中心位置”.但是,我們也可以用別的數(shù)字特征來刻畫隨機變量的“中心位置”.中位數(shù)就是這樣一種數(shù)字特征.定義3.1.4.稱μ為連續(xù)型隨機變量X的中位數(shù),如果P(X<μ)=,P(X>μ)=.從定義上可以看出,m這個點把X的分布從概率上一分兩半:在m左邊占一半,m右邊也占一半,從概率上說,m這個點正好居于中央,這就是“中位數(shù)”得名的由來.在實用上,中位數(shù)用得很多,特別有不少社會統(tǒng)計資料,常拿中位數(shù)來刻化某種量的代表性數(shù)值,有時它比數(shù)學(xué)期望更說明問題,例如,某社區(qū)內(nèi)人的收入的中位數(shù)告訴我們:有一半人的收入低于此值,另一半高于此值.我們直觀上感覺到這個值對該社區(qū)的收入情況,的確很具有代表性,和期望值相比它的一個優(yōu)點是受個別特別大或特別小的值的影響很小,而期望則不然,舉例而言,若該社區(qū)中有一個收入在百萬元以上,則該社區(qū)的均值可能很高,而絕大多數(shù)人并不富裕,這個均值并不很有代表性,中位數(shù)則不然,它幾乎不受少量這種特大值的影響.從理論上說,中位數(shù)與均值相比還與一個優(yōu)點,即它總存在,而均值則不是對任何隨機變量都存在.雖則中位數(shù)有這些優(yōu)點,但在概率統(tǒng)計中,無論理論和應(yīng)用上,數(shù)學(xué)期望的重要性都超過中位數(shù),其原因有一下兩個方面:1.均值有很多優(yōu)良的性質(zhì),這些性質(zhì)時使得在數(shù)學(xué)處理上很方便.例如,E(X1+X2)=EX1+EX2,而X1+X2的中位數(shù)與X1,X2各自的中位數(shù)之間,不存在簡單的聯(lián)系,這使中位數(shù)在數(shù)學(xué)上的處理很復(fù)雜且不方便;2.中位數(shù)本身固有的某些缺點,中位數(shù)可以不唯一,且對于離散型隨機變量不易定義.例3.1.9.設(shè)隨機變量X~B(1,),求X的中位數(shù).解:由于X的分布函數(shù)為0,x<0F(x)=．,0<x<1．由中位數(shù)的定義知區(qū)間(0,1)內(nèi)的每一個數(shù)都是X的中位數(shù),所以此例說明中位數(shù)可以不唯一.?3.2方差、標(biāo)準(zhǔn)差和矩?3.2.1方差和標(biāo)準(zhǔn)差現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)到本章開始時候提到的另一類數(shù)字特征,即刻畫隨機變量在其中心位置附近散布程度的數(shù)字特征,其中最重要的是方差.在實際應(yīng)用中,方差不僅是信息度量的標(biāo)準(zhǔn)也是風(fēng)險度量的標(biāo)準(zhǔn).定義3.2.1.設(shè)X為隨機變量,分布為F,則稱Var(X)=E(X-EX)2=σ2為X(或分布F)的方差,其平方根^Var(X)=σ(取正值)稱為X(或分布F)的標(biāo)準(zhǔn)差.顯然有Var(X)=EX2-(EX)2.對隨機變量的方差,我們可以得到定理3.2.1.設(shè)c為常數(shù).則有1.0<Var(X)=EX2-(EX)2,因此Var(X)<EX2.2.Var(cX)=c2Var(X)3.Var(X)=0當(dāng)且僅當(dāng)P(X=c)=0,其中c=EX.4.對任何常數(shù)c有,Var(X)<E(X-c)2,其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)c=EX.5.如果隨機變量X和Y相互獨立,a,b為常數(shù).則Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y).常見分布的方差,1.二項分布X~B(n,p):VarX=np(1-p)2.Poisson分布X~P(λ):VarX=λ3.均勻分布X~U[a,b]:VarX=(b-aVarX=4.指數(shù)分布X~Exp(λ):VarX=1/λ25.正態(tài)分布X~N(μ,σ2):VarX=σ2由此得到正態(tài)分布N(μ,σ2)中另一參數(shù)σ2的解釋:它就是分布的方差,正態(tài)分布完全由其均值μ和方差σ2決定,故也常稱為“均值為μ方差為σ2的正態(tài)分布”.方差σ2越小,則X的取值以更大的概率集中在其均值μ附近.定義3.2.2.我們稱X*=為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量.易見EX*=0,Var(X*)=1.我們引入標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量是為了消除由于計量單位的不同而給隨機變量帶來的影響.例如,我們考察人的身高,那么當(dāng)然可以以米為單位,得到X1,也可以以厘米為單位,得到X2.于是就有得到X2=100X1.那么這樣一來,X2與X1的分布就有所不同.這當(dāng)然是一個不合理的現(xiàn)象.但是通過標(biāo)準(zhǔn)化,就可以消除兩者之間的差別,因為我們有X=X.對于正態(tài)分布,我們經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化Y=(X-μ)/σ,就可以得出均值為0方差為1的正態(tài)分布,即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.?3.2.2矩下面我們引入矩的概念，并將之與我們前面所說的期望、方差建立聯(lián)系.定義3.2.3.設(shè)X為隨機變量,c為常數(shù),r為正整數(shù),則E[(X-c)r]稱為X關(guān)于c點的r階矩.比較重要的有兩個情況:1.c=0.這時αk=EXr稱為X的r階原點矩.2.c=EX.這時μk=E[(X-EX)r]稱為X的r階中心矩.容易看出,一階原點矩就是期望,二階中心矩就是X的方差Var(X).?3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)現(xiàn)在我們來考慮多維隨機向量的數(shù)字特征,以二維的情況為例,設(shè)(X,Y)為二維隨機變量,X,Y本身都是一維隨機變量,那么它們相應(yīng)的均值方差,我們都在上兩節(jié)中討論過了,我們更有興趣的數(shù)字特征是反映分量之間關(guān)系的那種量,其中最重要的,是本節(jié)要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).?3.3.1協(xié)方差定義3.3.1.我們稱Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)為X與Y的協(xié)方差,其中Cov是英文單詞Covariance的縮寫.由協(xié)方差的定義,我們立刻可以得到協(xié)方差具有如下性質(zhì):1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=Var(X)2.Cov(X,Y)=EXY-EXEY,顯然若X、Y相互獨立,則Cov(X,Y)=03.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)22Cov(a1X1+a2X2,b1Y1+b2Y2)=．．a(chǎn)ibjCov(Xi,Yj)i=1j=1?3.3.2相關(guān)系數(shù)定義3.3.2.設(shè)隨機變量X,Y為隨機變量,稱ρX,Y=CovρX,Y=Cov(X,Y)為X與Y的相關(guān)系數(shù).當(dāng)ρX,Y=0時,則稱X與Y不相關(guān).由定義容易看出,若令X*=(X-EX)/^VarX和Y*=(Y-EY)/^VarY分別為X和Y相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量,則ρX,Y=Cov(X*,Y*).因此,形式上可以把相關(guān)系數(shù)視為“標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差”,從這個角度上說,相關(guān)系數(shù)可以更好的反映兩個隨機變量間的關(guān)系,而不受它們各自所用度量單位的影響.例3.3.1.設(shè)(X,Y)~N(a,b,σ,σ,ρ),則ρX,Y=ρ.相關(guān)系數(shù)有如下的性質(zhì):1.若X和Y相互獨立,則ρX,Y=02.|ρX,Y|<1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)X,Y之間存在嚴(yán)格的線性關(guān)系,即ρX,Y=1,ρX,Y=-1,則存在a>0,beR使得X=aY+b則存在a<0,beR使得X=aY+b(正相關(guān))(負(fù)相關(guān))[注]:ρX,Y也常稱作X和Y線性相關(guān)系數(shù),只能刻畫X和Y間的線性相依程度,|ρX,Y|越接近1,就表示X,Y間的線性相關(guān)程度越高;|ρX,Y|=0時,只是表示X和Y間不存在線性相關(guān),但可以存在非線性的函數(shù)關(guān)系.例3.3.2.設(shè)X~U(-,),而Y=cosX,則Cov(X,Y)=EXY=\xcosxdx=0所以X,Y不相關(guān).但是X,Y之間存在著非線性的函數(shù)關(guān)系.下面我們來討論不相關(guān)與獨立性之間的關(guān)系.定理3.3.1.對隨機變量X,Y,如果X與Y相互獨立,那么它們一定不相關(guān);但是如果它們不相關(guān)卻未必相互獨立.例3.3.3.試證明若(X,Y)服從單位圓內(nèi)的均勻分布,則X,Y不相關(guān)但不獨立.解:由(X,Y)服從單位圓內(nèi)的均勻分布,則(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)=,,,y2<1;由此,可得X和Y的邊緣密度函數(shù)為fX(x)=fY(x)=←1-x2,-1<x<1.因此,EX=EY=0,又EXY=\-11x.\y.dydx=0.所以,Cov(X,Y)=0,從而ρX,Y=0,即X和Y不相關(guān).但由f(x,y)fX(x).fY(y),知X和Y顯然不獨立.例3.3.4.設(shè)隨機變量X和Y的分布律分別為X~╱1\,Y~╱\并且P(X.Y=0)=1.則X與Y不獨立,也不相關(guān).[注]:只在正態(tài)情形下,不相關(guān)與獨立等價.我們舉二維正態(tài)的例子來說明,不妨設(shè)(X,Y)~N(a,b,σ,σ,ρ),則X和Y獨立等價于ρ=ρX,Y=0,從而等價于X和Y不相關(guān).?3.4其他一些數(shù)字特征與相關(guān)函數(shù)●平均絕對差E|X-EX|表3.3.1常見分布表分布名稱參數(shù)概率密度期望方差特征函數(shù)退化分布cc0eict二點分布p(0<p<1)qp╱0qppq+peit二項分布pn>10<p<1k=0,...,nnp(q+peit)n幾何分布p(0<p<1)qk-1p,k=1,2,...1p p2 peit1-qeit巴斯卡分布reN0<p<1k=r,r+1,...rprqp2波松分布P(λ)λ(λ>0)e-λ,k..λλeλ(eit-1)超幾何分布M,N,neN()nMNnM(N-M)N-nNNN-1均勻分布a,b(a<b)Ia<x<ba+b2(b-a)22eitb-eitait(b-a)正態(tài)分布1-(x?a)21-σ^2πe2σ2aσ2σeiat-σ2t2指數(shù)分布λ(λ>0)λe-λxIx>01λ λ2(1-)-1χ2分布n(n>1)xn/2-1e-x/2x>0n(1-2it)-n/2●矩母函數(shù)EetX,其中teR.●特征函數(shù)EeitX,其中teR,i為虛數(shù).定義3.4.1.如果離散型隨機變量X的分布律為P(X=ai)=pi,ieN,那么,EeitX=．eitaipi.i=1如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),那么EeitX=\-eitxf(x)dx.nεnε?3.5大數(shù)定律和中心極限定理極限定理是概率論的重要內(nèi)容,也是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基石之一.中心極限定理,是概率論中討論隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理,這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ),指出了大量隨機變量近似服從正態(tài)分布的條件.?3.5.1大數(shù)定律定義3.5.1.如果對任何ε>0,都有一olimP(|ξn-ξ|~ε)=一o那么我們就稱隨機變量序列{ξn,neN)依概率收斂到隨機變量ξ,記為ξnξ.定理3.5.1.設(shè){Xn)是一列獨立同分布(i.i.d.)的隨機變量序列’具有公共的數(shù)學(xué)期望μ和n則nX=XkX=Xkoμ,k=k=1即{Xn)服從(弱)大數(shù)定律О[注]:實際上，我們只需要均值存在即有大數(shù)定律成立，上述定理中加上了方差存在的條件，只是為了證明的方便O作為上述定理的一個特例，我們有例3.5.1.如果以ζn表示n重Bernoulli試驗中的成功次數(shù),則有op.ζop.n如果用fn=ζn/n表示成功出現(xiàn)的頻率,則上例說明fnp,即頻率(依概率)收斂到概率.為證明定理3.5.1,我們需要如下的Chebyshev不等式:引理3.5.1(Chebyshev不等式).設(shè)隨機變量X的方差存在’則2,P(|X-EX|~ε)>Var(X)Aε2,nn我們可以用Chebyshev不等式來估計X與EX的偏差,但是Chebyshev不等式作為一個理論工具比作為估計的實際方法要恰當(dāng)一些,其重要性在于它的應(yīng)用普遍性,但是不能希望很普通的命題對一些個別情況給了深刻的結(jié)果.如令X為擲一個均勻的骰子所得到的點數(shù),則μ=EX=7/2,σ2=Var(X)=35/12.X與μ的最大偏差為2.5二3σ/2.|X-μ|大于這個偏差的概率為0,然而利用Chebyshev不等式僅僅斷定這個概率少于0.47.這時就需要找更精確的估計.定理3.5.1的證明.利用Chebyshev不等式，并注意到EX=μ,VarX=σ2/n,我們有,P(|X-μ|~ε)>σ2/(nε2)o0,noo,Vε>0.定理得證.?3.5.2中心極限定理中心極限定理是概率論中討論隨機變量序列的分布收斂于正態(tài)分布的一類定理.它是概率論中最重要的一類定理,有廣泛的實際應(yīng)用背景.在自然界與生產(chǎn)中,一些隨機現(xiàn)象可能會受到許多不確定因素的影響,如果這些彼此之間沒有什么依存關(guān)系,且誰也沒有特別突出的影響,那么,這些影響的累積效應(yīng)將會使現(xiàn)象近似地服從正態(tài)分布.中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象.定理3.5.2.設(shè){Xn)為i.i.d的隨機變量序列’具有公共的數(shù)學(xué)期望μ和方差σ2.則X1+...+Xn的標(biāo)準(zhǔn)化形式(X1+...+Xn-nμ)滿足中心極限定理.即對任意xeR’有一olimFn(x)=Φ(x)一o其中Fn(x)為(X1+...+Xn-nμ)的分布函數(shù),而Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù).記為(X1+...+Xn-nμ)N(0,1).定理3.5.2的令人吃驚之處就是任何獨立同分布的隨機變量序列,不論它的分布是什