專題252空間向量方法的角鞏固自測教師版?zhèn)鋺?zhàn)2020年數(shù)學(xué)新高考考點突破紙間書屋

專題25.2空間向量方法--空間的角（鞏固自測1（2019·福建高二期中）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為棱C1D1的中點，則異面直線AM與BD所成角 A．B．C．【答案】正方體ABCD-A1B1C1D1，MA1B1的中設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)（1，0，0，M（0，1，B（1，1，0，D（0，0，0=（-1，，1， = 所以異面直線AM與BD所成角的余弦值為，2（2019·） 【答案】，，為的中點．以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系 ， ，0，，，2，，，0，，，0，則 故選：．3（2019· 所成角的正弦值為（ 【答案】建立如圖所示的空間直角坐標系有圖知由題 設(shè)平 令， ，.設(shè)直 與平 所成的角為，則故選4（2019·） ．若是棱 【答案】C為原點，CAx軸，在ABC中過作AC的垂線為y軸，CC1z軸，建立空間直角坐標系∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面E，F(xiàn)分別BB1，CC1上的點，且，3，A（4，0，0，，﹣3，4，0，6 所成角所成角為θ，則 ∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為．5（2019·） ，為棱的中點，是棱 A．B．【答案】以為原點，為軸為為所以，，為棱的中點，所，是棱上的點，所 ， 則.故選6（2020·）形 , 邊將四邊 ，如圖2，動點 為，則 的最大值為（ 【答案】如圖以為坐標原點建立空間直角坐標系，由題意可，，動 ，，令則則 取最大值故選：7（2019· 面平面，則二面角的余弦值為（ B．C．【答案】 的中點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，令棱的邊長為，則，，，設(shè)平 令則，即 的法向量為令二面角的夾角為因二面角為銳二面故選：8（2019·吉林高二期末（理）多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為（）A． C．【答案】則設(shè)，為平行四邊形由得，， ，設(shè)為平面的法向量，顯然不垂直于平面 故可設(shè)，， 所以又， 與的夾角為 到平面的距離為D.9（2019·市七寶中學(xué)高二期中）過平面外一點引斜線段、以及垂線段，若 所成角是，， A．B．C．【答案】 ， ， 、平面，平面在中，，，.是在中，，，.是以為斜邊的直角三角形，， ，因.故選10（2019·、、分別為、上的點，， ，分別記二面、、的平面角為 、，則 、的大小關(guān)系為 ，A．B．C．【答案】 所在的直線分別為軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系. ，，，.設(shè)平面的法向量 ， ， ， ，可得 ，取，同理可得，，，因此， 故選11（2019· 中，，已知G與E分別為和 ， ，則線段DF的長度的平方取值范圍為（ B． 【答案】（0，0，，（0，1G（，0，1，F(xiàn)（x，0，0，D（0，y，0）∴∴當y時，線段DF長度的最小值是y＝0DF1而不包括端點，故y＝1不能故線段DF的長度的取值范圍是 即線段的長度的平方取值范圍 故選12（2019·） 【答案】 、 所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系 ， 且，此時 13（2019·高二期末（文）如圖，正方體 中，E為線段的中點，則AE與 【答案 ABCD﹣A1B1C1D12，A（2，0，0，E（2，2，1，C（0，2，0，D1（0，0，2（0，﹣2，2AECD1θ，則 ∴AE與CD1所成角的余弦值為． 14（2018· 市七寶中學(xué)高二期中）在長方體中，若，，則點到平面的距離為 .【答案】以為原點， 為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系， 所以設(shè)平面的法向量為 ， ，得所以到平面的距 故答案為 15（2019· 高二期末（理）正方體中，、分別是 線與平面所成角的正弦值為 【答案】 的棱長為，以點為坐標原點， 、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示空間直角坐標系.則點、、、、、， 的一個法向量為，則，. ， ， ，令，則，可知平 的一個法向量為，又，因此，直 與平 16（2018· ，,為底面內(nèi)部及邊界上的動點，則與底面所成角正切值的取值范圍 【答案】以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，由已知得解 ， . ， ，且滿，底面的一個法向量可設(shè) ，設(shè)直 與底 17（2019· 平 ，，分別是的中點(1)(2)求直線與平面所成角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2) 的中點，取 的中點，取的中點，取的中點.根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，而 平面.分別以為軸建立空間直角坐標系，則有，(1)，故有(2)，， 所以直 與平面所成角的正弦 18（2019·） 平面， ，，點滿足（1）；（2）（2）連接，交于點，連 ，∴， ，∴，∴ 平面 以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系則，，， ，， ，取直 與平 19（2019·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且 若點 上一點 ，證明 平面（2）作交于，連 且四邊形為平行四邊平面 平 平面（2）平面，平面又 則，，， 則，則，二面 為銳二面 二面角的大小20（2019·AC=4，AA1=3．DBC的中點．求直線A1DB1C1所成角的余弦值求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值【答案 A（00，0，（2，00，C（，，0，D（，2，0A1（0，0，3，B1（2，0，3，C1（0，4，33，=（0，4，02，0，2，4，0， ＞==∴直線A1D與B1C1所成角的余弦值為（2）設(shè)平面A1C1D的一個法向量為=（x，y，z ，取z=1得∴=（3，0，1）是平面A1C1D的一個法向量因此，設(shè)DB1A1C1D所成角為可得sinθ=cos＜ ，＞== 即直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值等于．21（2017·） 為矩形，且平面 求證：平面 （2） 又∵ ∴.則 平 , 平面解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)則，，∴設(shè)由得，取，由得，取，∵∴∵時 有最小值 ∴點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值 22（2018·交大附中高二月考）如圖，在三棱柱中，邊長為的正方形，， 證明 上存在點，使 ，并求的值因為邊長為的正方形 則,即