六級奧數(shù)解析

?第1講0

計(jì)算綜合（I）

7"W制⑸'葬少一??■—?P-..八…m*7

【內(nèi)容概述】

繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問題.

1.繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級分?jǐn)?shù)的處理，如下所示：

甚至可以簡單地說：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長分?jǐn)?shù)線的”.找到最長的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下

視為分母.

2.一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù).所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分

數(shù).

3.某些時候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀.

4.對于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.

5.本講要求大家對分?jǐn)?shù)運(yùn)算有很好的掌握，可參閱《思維導(dǎo)引詳解》五年級.

【典型問題】

?@*

第一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽?決賽一試第1題

2x44

1826x2

1.計(jì)算:i

13*4

7123

--1--

【分析與解】原式二467?23,17

13--12848128

33

跳級數(shù)：**

第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)遞請賽?復(fù)賽第1題

59

2.計(jì)算：19-—4(+^3--2---—5.22)i+1(Q空Q2型八”/+\.r)

1W+5.22)1995x0.51995

950

【分析與解】注意，作為被除數(shù)的這個繁分?jǐn)?shù)的分子、分母均含有19*.于是，我們想到改變運(yùn)算順序,

9

如果分子與分母在19*后的兩個數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果?致，那么作為被除數(shù)的這個繁分?jǐn)?shù)的值為1;如果不一

9

致，也不會增加我們的計(jì)算量.所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序.

而作為除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)，我們注意兩個加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為1995X0.5.

具體過程如下：

59

19-(+3—-5.22)

1993X04

原式=T—第—七()

1995x0.51995

19-(-6—+5.22)

950

19--1.32

1993x0.44x0.4x0.5

--------------1---------------)

1995x0.41995x0.5

19--1.32

9

11993^^O4=1l

19950.50.54

皴奧級數(shù)：*

也京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽?決賽第一題第1題

3.計(jì)算：1-------1一

1987

，八,1,19861987

【分析與解】原式=1------77^=-=1---=

1?198739733973

1986

?@級數(shù)：**

1999年全國小學(xué)教學(xué)奧林匹克?決褰B卷第2題

Q

4.計(jì)算：已知=——\—

—,則X等于多少?

11

2+-1

x+-

4

]118x+68

【分析與解】方法一:

1+^A-XL1?4x+l12x+711

8x+6

2+—

4x+l

x+-

4

交叉相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.

方法二：有1+—1—=U11=l+3‘，所以2+18c213

——r=-=2+-；所以xH———,那么x=1.25.

2+-18813342

Tx+-

4

x+一

4

@@級數(shù)：?/

5.求4,43,443,…，山空這10個數(shù)的和.

9個4

【分析與解】方法一：

4+43+443+…+44…43

'----V----'

9個4

=4+(44-1)+(444一1)+…+(4^4-1)

10個4

4

=4+44+444+...+44^4-9=-x(9+99+999+...+999...9)-9

10個49]0個9

4

=-X[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+...4-(1000...0-1)]-9

9

4

=-xlll.l00-9=4938271591.

9

方法二：先計(jì)算這10個數(shù)的個位數(shù)字和為3X9+4=3川;

再計(jì)算這10個數(shù)的十位數(shù)字和為4X9=36,加上個位的進(jìn)位的3,為36+3=3回;

再計(jì)算這10個數(shù)的百位數(shù)字和為4X8=32,加上十位的進(jìn)位的3,為32+3=3固;

再計(jì)算這10個數(shù)的千位數(shù)字和為4X7=28,加上百位的進(jìn)位的3,為28+3=3川；

再計(jì)算這10個數(shù)的萬位數(shù)字和為4X6=24,加上千位的進(jìn)位的3,為24+3=2國；

再計(jì)算這10個數(shù)的十萬位數(shù)字和為4X5=20,加上萬位的進(jìn)位的2,為20+2=2團(tuán)；

再計(jì)算這10個數(shù)的百萬位數(shù)字和為4X4=16,加上十萬位的進(jìn)位的2,為16+2=1叵］；

再計(jì)算這10個數(shù)的千萬位數(shù)字和為4X3=12,加上百萬位的進(jìn)位的1,為12+1=1囪；

再計(jì)算這10個數(shù)的億位數(shù)字和為4X2=8,加上千萬位的進(jìn)位的1,為8+1=回;

最后計(jì)算這10個數(shù)的十億位數(shù)字和為4X1=4,加上億位上沒有進(jìn)位，即為國.

所以，這10個數(shù)的和為4938271591.

鯽電級數(shù):軍I”

1995年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克'決賽A卷第2題

6.如圖1T,每一線段的端點(diǎn)上兩數(shù)之和算作線段的長度，那么圖中6條線段的長度之和是多少？

圖1-1

【分析與解】因?yàn)槊總€端點(diǎn)均有三條線段通過，所以這6條線段的長度之和為:

117

3x(―+—+0.6+0.875)=1+0.75+1.8+2.625=6.175=6—

3440

@@級數(shù)：**

1995年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初賽A卷第4題

7.我們規(guī)定，符號“O”表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符號“△”

(0.625—23)x(15^50.4)

表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：3.5A2.9=2.9A3.5=2.9.請計(jì)算：———33屋4--------

(3°3+(而225)

155

0.625X—

5155c7_25

【分析與解】原式__3M.=—X---------=-2—=

1+2.25838412256

3

竣(?級數(shù)：*市葬

1996年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初春B卷第5題

8.規(guī)定(3)=2X3X4,(4)=3X4X5,(5)=4X5X6,(10)=9X10X11,???.如果」....-xH.

(16)(17)(17)」

那么方框內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是多少？

(17),16x17x18,1

【分析與解】

□心一導(dǎo)志(16)15x16x175

跳)知級數(shù):**二"

北京市第二屆“迎春杯”數(shù)學(xué)克賽?決賽第二題第2題

9.從和式+,+-!-+-!-中必須去掉哪兩個分?jǐn)?shù)，才能使得余下的分?jǐn)?shù)之和等于1?

24681012

【分析與解】因?yàn)镴_+J_=_L,所以_L,_L,J_,J_的和為1,因此應(yīng)去掉！與_1.

612424612810

籟。級數(shù)：*■*顰-

1989年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?決賽第4題

10.如圖1-2排列在一個圓圈上10個數(shù)按順時針次序可以組成許多個整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù)，例如

1.892915929.那么在所有這種數(shù)中。最大的一個是多少？

8

O

5

圖1-2

【分析與解】有整數(shù)部分盡可能大，卜分位盡可能大，則有92918……較大,于是最大的為9.291892915.

跳)勵級數(shù)：***

第一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽.決賽二試第1題

11.請你舉一個例子，說明“兩個真分?jǐn)?shù)的和可以是一個真分?jǐn)?shù)，而且這三個分?jǐn)?shù)的分母誰也不是誰的約

數(shù)”.

111111

【分析與解】有-----1-----=一-----1-----=——

6101510156351410

評注：本題實(shí)質(zhì)可以說是尋找李生質(zhì)數(shù)，為什么這么說呢?

、、11c+a、,，11c+a1

汪意到----+----=--------，當(dāng)a+c=b時，有-——+-----=--------=-----

axbcxbaxbxcaxbcxbaxbxcaxe

當(dāng)a、b、c兩兩互質(zhì)時，顯然滿足題意.

顯然當(dāng)a、b、c為質(zhì)數(shù)時一定滿足，那么兩個質(zhì)數(shù)的和等于另一個質(zhì)數(shù)，必定有一個質(zhì)數(shù)為2,不妨設(shè)a

為2,那么有2+c=b，顯然b、c為一對攣生質(zhì)數(shù).

即可得出一般公式：——~~-+一一=」一，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可.

2x(c+2)cx(c+2)2xc

跳)僦)級數(shù)：***

12.計(jì)算：(1--—)x(1...-)x...x(l10x10)

2x23x3

^(2-1)X(2+1)V(3-1)X(3+1)(10-1)X(10+1)

【分析與解】職工］-------------------X-----------------------------X...X----------------------------------

2x23x310x10

lx3x2x4x3x5x4x6x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11

2x2x3x3x4x4x...x10x10

Ix2x3x3x4x4x5x5x...x9x9x10x11

2x2x3x3x4x4x...x9x9x10x10

1x2x10x1111

2x2x10x1020,

的知級數(shù)：***

第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽.決賽第6題

已知m1x66+12x67+13x68+14x69+15x70

13.x100.問a的整數(shù)部分是多少?

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

【分析與解】

11x66+12x67+13x68+14x69+15x70

a=---------------------------------------------------x100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11x(65+1)+12x(66+1)+13x(67+1)+14x(68+1)+15x(69+1)

=--------------------------------------------------------------------------------x110A()n

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+15_________

=(1+)x100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

________11+12+13+14+15________

=100+xlOO.

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+1511+12+13+14+15100

因?yàn)閤l1OAOA<--------------------------------xltA0A0=——

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69----------(11+12+13+14+15)x65----------65

所以a<100+==101二.

6565

11+12+13+14+15H121314l^^100

同時---------------------------------------------------xlOO>++++xl00

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(11+12+13+14+15)x6969

100_31

所以a>100H-----=10A1—.

6969

3135

綜上有101」<a<1013.所以a的整數(shù)部分為101.

6965

的的級數(shù)：****

第六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請騫?復(fù)賽第8題

1357991

14.問Lx二x±xLx...x工與相比，哪個更大，為什么？

246810010

1357992468100

【分析與解】方法一：令Lx二x±x,x...x工=A,-x-x-x-x.,..x—=B

24681003579101

，，人13579924681001

有AxB=-X—X—X—x...x----x—x—x—x—x...x-----=——.

24681003579101101

而B中分?jǐn)?shù)對應(yīng)的都比A中的分?jǐn)?shù)大，則它們的乘積也是B>A,

WAXA<4XB(=-)<—=—x—,AXA<—x—,那么A<—,

1011001010101010

135799,1,1.,

即一X—X—X—X...X—■與一相比，一更大.

24681001010

13579799

方法二：設(shè)A=-x—x—x—X...X-x----,

246898100

me1133559999

則A=-x—x—x—x—x—x...x----x-----

224466100100

Ix3x3x5x5x7x7x...x97x97x99x99xl

2x2x4x4x6x6x8x...x96x98x98xl00x100

口於1x33x55x797x9999I1

顯然——、——、——-----、---都是小于1的，所以有A“V，于是AV—.

2x24x46x698x9810010010

帽)例)級數(shù)：*****

鴿二居”華羅庚金杯”少年教學(xué)邀請賽?決賽二試第6題

15.下面是兩個1989位整數(shù)相乘：出二UxQJJ.問：乘積的各位數(shù)字之和是多少？

1989個11989個1

【分析與解】在算式中乘以9,再除以9,則結(jié)果不變.因?yàn)?1L.11能被9整除，所以將一個111...11

'-V-，、-，

1989個11989個1

乘以9,另一個除以9,使原算式變成：

X9_9__9……99Jx、1__2__3__4_5__6__7__9__0_…_…___0_1__2__3__4__5__6_7__9/

1989個9共1988位數(shù)

二(1000......00-l)x[23456790..012345679

1989個0共1988位數(shù)

=[23456790..01234567g000……00-123456790..01234567g

共1988位數(shù)1989個0共1988位數(shù)

=[23456790..01234567912345678"76543209..987654320g87654321

共1988位數(shù)共1980位數(shù)

得到的結(jié)果中有1980+9=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和?個

“987654321”，所以各位數(shù)之和為：

(1+2+3+4+5+6+7+9)x220+(9+8+7+6+5+4+3+2)x220

+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901

評注：1111111114-9=12345679；

曉999...9的數(shù)字和為9乂匕(其中MW999…9).可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果.

'----V----''----V----'

k個9k個9

■?第2講。

計(jì)算綜合(H)

崛鞭螂崎蠹￥：丁毋裝飛常寵「丫嚶—八冬:：

【內(nèi)容概述】

本講主要是補(bǔ)充[計(jì)算綜合(D]未涉及和涉及不深的問題，但不包括多位數(shù)的運(yùn)算.

1.nX(n+1)=[nX(n+1)X(n+2)-(n-l)XnX(n+1)]4-3；

1

2.從1開始連續(xù)n個自然數(shù)的平方和的計(jì)算公a式:/+2?+3?+…+〃2=-X〃X(〃+1)x(2〃+1)

6

3.平方差公式：a--b2=(a+b)(a-b).

【典型問題】

__

?⑥級數(shù)：****

1]

試比較、的大小.

1.已知a=丁----------,bab

2+-2+——H—

3+3+——「

+-

99

99+—

100

【分析與解】

1________]

a=~i,b

2+一I2+~

3+-L3+r

+f

98+-98+-

AB

其中A=99,B=99+-----.因?yàn)锳〈B,所以98+—>98+一，

100AB

97+―?—-<97+—^,96+]

>96+-----------------

97+3

98+-98+-97+f

B

98+-98+-

B

1________]

2+---------->2+，所以有a<b.

13+；——

3+-~T~

4+

+r98+工

98+-

AB

眇俺級數(shù)：***■

2.試求的和.

1

1+丁

1+—

3+—

]

H---------4+

2005

H---------

2005

1

【分析與解】記》=-------則題目所要求的等式可寫為:

1

3+—

4+

--------

2005

11Hl11l+X,

-----+------L，而-----+------L=-------+--------=1.

2+x?+12+x?+12+x2+x

1+xl+x

所以原式的和為1.

評注：上面補(bǔ)充的兩例中體現(xiàn)了遞推和整體思想.

■

嫄(?級數(shù)：*

3.試求1+2+3+4+-99+100的值？

【分析與解】方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項(xiàng)+末項(xiàng))X項(xiàng)數(shù)+2=(1+100)X100+2=5050.

方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+-97+98+99+100

100+99+98+97+96+-4+3+2+1

上下兩個數(shù)相加都是101,并且有100組，所以兩倍原式的和為101X100,那么原式的和為

101X100-T2=5050.

方法三：整數(shù)裂項(xiàng)(重點(diǎn))，

原式=(1X2+2X2+3X2+4X2+—+100X2)4-2

=[lx2+2x(3-l)+3x(4-2)+4x(5-3)++100x(101-99)卜2

=(4*2+2*3—4*2+3*4—2*3+4*與—3*4++100x101—劣"449)+2

=100x101+2

=5050.

皴(?級數(shù)：***

4.試求1X2+2X3+3X4+4X5+5X6+???+99X100.

【分析與解】方法一：整數(shù)裂項(xiàng)

原式二(lX2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+???+99X100X3)+3

=[1X2X3+2X3X(4-D+3X4X(5-2)+4X5X(6-3)+5X6X(7-4)+-+99X100X(101-98)]4-3

(1x2x3+2x3)《4--+4^x6—以+5x6x7+99x100x101-

98x99x100)+3

=99x100x1014-3

=33x101x100

=3333x100

=333300.

方法二：利用平方差公式l2+22+3M2+-+n2=H2—(--+1)X(2-+1).

6

原式:12+1+22+2+32+3+42+4+52+5+-+992+99

=12+22+32+42+52+??-+992+1+2+3+4+5+…+99

99x100x19999x100

二-----------------------------+------------------

62

=328350+4950

=333300.

5.計(jì)算下列式子的值：0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+-+9.7X9.9+9.8x10.0

【分析與解】這個題看上去是一個關(guān)于小數(shù)的問題，實(shí)際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)

算.即先計(jì)算lX3+2x4+3X5+4x6+―+97x99+98X100。再除以100.

方法一：再看每一個乘法算式中的兩個數(shù)，都是差2,于是我們?nèi)菀紫氲搅秧?xiàng)的方法.

0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8x10.0

=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100

=[(1X2+1)+(2X3+2)+(3X4+3)+(4X5+4)+…+(97X98+97)+(98X99+98)]-?100

=[(1X2+2X3+3X4+4X5+-+97X98+98X99)+(1+2+3+4+…+97+98)]+100

=(-X98X99X100+-X98X99)4-100

32

=3234+48.51

=3282.51

方法二：可以使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.

0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8X10.0

=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100

=(12-1+22-1+3-1+42-1+52-1+-+99-1)4-100

=(1'+22+32+42+52+—+992-99)4-100

=(-X99X100X199-99)4-100

6

=16.5X199-0.99

=16.5X200-16.5-0.99

=3282.51

評注：首先，我們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計(jì)算與整數(shù)的計(jì)算是有聯(lián)系的.下面簡單介紹一下

整數(shù)裂項(xiàng).

1X2+2X3+3X4+…+(n-1)Xn

=-X[1X2X3+2X3X3+3X4X3+…+(n-l)XnX3]

3

=-X{1X2X3+2X3X(4-D+3X4X(5-2)+…+(nT)Xn[n+l-(n-2)]}

3

1Ix2x3-2x3xl+2x3x4-3x4x2+3x4x5+

——~x

3-(n-1)x〃x(〃-2)+(〃-1)x〃x(〃+1)

二—x(〃-1)x〃x(〃+1)

6.計(jì)算下列式子的值：24x(」一+—1一+

+20X21)-(1T+12+22+12+22++102)

2x34x5

【分析與解】雖然很容易看出」一=」-1

-……可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果,因

2x3234x545

為這不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng).我們再來看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式

l2+22+32+—+n=-XnX(n+1)X(2n+l),于是我們又有-_；~--------=----------------

612+22+32++”2〃x(〃+1)(21)

減號前面括號里的式子有10項(xiàng)，減號后面括號里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個對一個”呢?

111_)-(r+11

24x(---------1-----------F12+22++12+22++102)

2x34x520x21

111111

=24x(-----1------F)-6x(--------------1----------------F+)

2x34x520x211x2x32x3x510x11x12

111_111

=24x(-----1------F)-24x(,---------------1-----------------F4-)--------------------

2x34x520x212x4x34x6x520x22x21

111111

=24x()+()++()

2x32x4x34x54x6x520x2120x22x21

11

=24x(-----1-----六)

2x44x6+

,,111

=6x(----1-------F)

1x22x310x11

=6x(1--)

11

-.6.0

11

1_1+，)2+d+LL

+-++嬴『

45198012345

112,/11)2++(——!——)2+(i+-+-+-11

+-+H--------------、)+(—I-----1-4---------------+-+H--------------

5198012561980121980122345198012

【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們試著看看是否存在遞推的規(guī)律.

顯然12+1=2；

(1+1)2+(1)2+(1+1)=4;

(144)2+(14)2+(1)2+(144>6；

*+"+*+(扣+(1+；+/)=8;

所以原式=198012X2=396024.

習(xí)題：

計(jì)算17X18+18X19+19X20+…+29X30的值.

提示：可有兩種方法，整數(shù)裂項(xiàng)，利用1到n的平方和的公式.

答案：(29X30X31-16X17X18)+3=29X10X31-16X17X6=7358.

0?T???

。第3講?j

多位數(shù)的運(yùn)算

【內(nèi)容概述】|

多位數(shù)的運(yùn)算，涉及利用999…9=10匚1,提出公因數(shù)，遞推等方法求解問題.

'-------V-------'

k個9

【典型問題】

一、999…9=10匚1的運(yùn)用:

k個9

在多位數(shù)運(yùn)算中，我們往往運(yùn)用999…9="-1來轉(zhuǎn)化問題;

'----V----'

攵個9

如:333…3X59049

2004個3

我們把333??-3轉(zhuǎn)化為99%??9彳3,

'----V----'

2004個32004個9

于是原式為333…3X59049=(999…9+3)義59049=999…9X59049二(1000…0-1)X19683=19683

'----V----''----V----''----V----'s-----V-----'

2004個32004個92004個92004個0

X1000---0-19683

2004個0

而對于多位數(shù)的減法，我們可以列個豎式來求解；

2004個9

八.、

1968299--999999+1

叫個9

1968299--999999+1

4-19683

如?---------------------,于是為！：口.

1999個99682999803

?---------------------A---------------------<

1999個9

1968299…980316+1

199?個9

1968299…980317

跳）曲級數(shù)：***

1.計(jì)算666…6x9x333…3的乘積是多少？

20M個62008個3

【分析與解】我們可以把666…6或333…3改寫為999…9=0-1;但是為了

'y.*v**Y*

2001個62008個3卜個9

簡便計(jì)算多位數(shù)的減法，我們改寫這個多位數(shù).

原式=333…3X2X3X3X333…3

'-----V-----1'-----V-----'

2004個32008個3

=333…3X2X3X999…9

、-V-，'1V-，

2004個32008個9

工1999…98X(1000…0-1)

2003個92008個0

二、199_9_丫?_??98/X、100-丫0一---0，-1、999__-丫-_-98,

2003個92008個02003個9

2003個92008個9

________A_____________________A_____________

1999…979999999…99+1

-1999--98

'-------V-------'

2003個9

-2003個92003個0-于是為!9是…？7999y000--02.

___________/<_________________A^______

2003個92003個0

1999…979998000…01+1

[999…？7999卵00丁02

2003個92003個0

級數(shù)：***

2.計(jì)算旦]二J一型二2二AXA,求A.

2004個11002個2

【分析與解】此題的顯著特征是式子都含有二j,從而找出突破口.

n個1

222-2=mjJ000--0-H1-J

2004個11002個21002個11002個01002個1

=、111_丫…_l，x(1\_0V00-/--0-1)

1002個11002個0

(

=、111二y…-I/X9、9-9V…9/)

1002個11002個9

=111…1X(111---1X3X3)=A?

<-v-J、二y-/

1002個11002個1

所以，A=333…3.

1002個3

跳)稅級數(shù)：****

3.計(jì)算666…6X666…6X25的乘積數(shù)字和是多少？

'---V---''----V----'

2004個62003個6

【分析與解】我們還是利用來簡便計(jì)算，但是不同于上式的是不易得出湊成

9S_9___9__…____9__/=1\_0___0__0_…_____0__/-1

k個9k個0

???于是我們就創(chuàng)造條件使用：

、999-V-9，,

k個9

22

666…6x666…67X25=[―xC999---9)]x[-X(999…9)+1]X25

'---V---''----V----'3'---------'3'---------'

2004個62003個6.2004個9"2004個9

22

=[-X(1000---0-1)]x[-x(1000---0)+1]X25

Q'—v—‘a(chǎn)v—v—‘

“2004個0°2004個0

=-X-X[2X1000---0-2]X[2X(1000---0)+1]X25

33'-----v---------',----------v----------'

JJ2004個02004個0

25

=—X[4X1000---0-2X1000---0-2]

O'-----V---------''----------V---------Z

J4008個02004個0

=—x999…9-竺x999--9

Q'-----v-----'Q'-----v-----'

4008個92004個9

=100Xlll---l-50Xlll---l

4008個12004個1

=111---100-555---50(求差過程詳見評注)

4008個12004個5

=111…10555…50

'-----V-----''-----V-----'

2004個I2004個5

所以原式的乘積為！11二」Q，5575Q

2004個12004個5

那么原式乘積的數(shù)字和為1X2004+5X2004=12024.

評注：對于Ul：10Q—J5515Q的計(jì)算,我們再詳細(xì)的說一說.

4008個I2004個5

111--100-555---50

4008個12004個5

=yj^JOOO…0+yj^J00-555…50

2005個12005個02003個12004個5

=、11-1V…—1，\0__9__9_97_…____9，+1+、11-1丫一…1/00—V5,__5_5_…V50/

2004個12005個92003個12004個5

=nj^O444--494-nrjoi

2004個12004個42003個1

=111-7…—1，0555…5，

、X__v____

2004個12004個5

跳）（@級數(shù)：***

4.計(jì)算舉