比較幾種判定正項(xiàng)級數(shù)收斂性的方法

比較幾種判定正項(xiàng)級數(shù)收斂性的方法【摘要】通過對：1：比較判別法；2：根植判別法3：達(dá)朗伯耳判別法的應(yīng)用范圍的比較，加以對其分析，找出若干類型題加以分類，確定哪類適合這兩種判定法，歸納其特點(diǎn)，以便以后做題能夠快速入手，遇到題目以后具體運(yùn)用哪種方法更便捷提供了途徑.【關(guān)鍵詞】比較判別法根植判別法達(dá)朗貝爾例題一：比較判別法.1淀義若從某一項(xiàng)起a<kb若從某一項(xiàng)起a<kb（或者￡e<。）（k>0）,則由Eb的收斂性可推出Ea收abnnnnn-1n-1斂，若從某一項(xiàng)起a>kb（或者J>八）（k>0），則由Eb發(fā)散可推出Ea發(fā)散.nnnnn-1nnn-1n-12：比較判別法的極限形勢設(shè)lim孔=人（人為有限數(shù)或+s）則:bn（i）：0<X<+s時，則a和b收斂性相同.nn（ii）：人=0時，由Eb收斂可推出Ea收斂.n-1nn-1（iii）：人=+s時,由Eb發(fā)散課推出Ea發(fā)散.n-1nn-13:例題（1）：證明：若級數(shù)（1）：證明：若級數(shù)Ea收斂則把該級數(shù)的項(xiàng)通過組合而不改變其先后順序所得的級n-1其中n-1p<p〈…）也收斂且具有相同的和，反之不真，舉出例子.設(shè)級數(shù)EA的部分和序列為l,12，…，l，…，則ln=￡A廣列'氣i=1 i=1級數(shù)由于￡a收斂，故其余部分和序列｛S〃｝趨于定值S，因此，n-1limllimlnts—limS—SnTsPn+11即級數(shù)￡A是收斂的，且與級數(shù)￡即級數(shù)￡An-11-1+1-1+…+(—1)n-1+…是發(fā)散的，但是按下述方法組成的級數(shù)(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…卻是收斂的.(2):判斷級數(shù)：1+—^——+… ….32 52 (2n-1)2解由于0<——1——<—，且級數(shù)￡—收斂，故級數(shù)￡——1——也收斂.(2n—1)2n2 n2 (2n-1)24：小結(jié)由上可知，比較判別法一般是由通過一個級數(shù)作為標(biāo)桿，根據(jù)這個級數(shù)的收斂或者發(fā)散，判斷兩一個級數(shù)的斂散性，一般這種方法通過極限形勢更容易判斷，而且這兩個級數(shù)一般都可以進(jìn)行相互聯(lián)系性的化簡，要特別注意的是被判斷級數(shù)放在分子的位置，標(biāo)桿級數(shù)放在分母的位置.二：根植判別法1：定義則￡a〃發(fā)散.n-1若從某一項(xiàng)起，na<q<1,則￡a則￡a〃發(fā)散.n-1n-1 n-12：根植判別法極限形勢設(shè)limnan-q(q為有限或者+s):(i)則q<1時，￡a收斂.n-1(ii)q>1時，￡a發(fā)散.n-1(iii)q-1時，￡a的收斂性不定.n-1

3：例題(1)研究下列級數(shù)的收斂性:￡(寸2-3'‘2)(w'2-金'2)…(、2-2n疽2)n-1解由于lim4—lim(*2-2n心)-寸2-1<1故級數(shù)￡(72-(2)((2-*’2)…(<2-2n愍2)收斂.n-1(2+—)的斂散性n的斂散性n+1解由于iim海=iim牛坐=：.但是解由于limnTsnnn-nn1 =—<1212+-n故級數(shù)￡一n^收斂(3)n=1(2+—)2n(3)由于nn+1——>1nn-nn(3)1-n-(1+nJn>0寸于級數(shù)￡(1+1"nn其通項(xiàng)趨于1豐0，故它是發(fā)散的.因此，原級數(shù)也是發(fā)散的.￡3+(—1)n+1

a~n+1=an3+(-1n)a~n+1=an=i42[引^)][1,當(dāng)n為奇數(shù)時4：小結(jié)這種、方法一般通過通項(xiàng)求出極限，根據(jù)極限的范圍判斷級數(shù)是否收斂，這種方法一般是看級數(shù)是否開n次方，是否容易求出極限，極限是否為有限數(shù).一般的級數(shù)都可以用此種方法判斷.三：達(dá)朗伯耳判別法1：定義若從某一項(xiàng)起％+r<q<1,則芫a收斂，若從某一項(xiàng)起J>1，則芫a發(fā)散a n+1n a n+1n2：達(dá)朗伯耳判別法的極限形勢limn+1=q（q為有限或+3）nT3anK 元 V1q<1時，Za收斂；q>1時2a發(fā)散；q=1時2a的收斂性不定nnnn=1 n=1 n=13:例題（1）分析Z（7‘2-寸2）（偵2-&,2…（頊2-2n項(xiàng)2）.的斂散性n=1解由于limZ^t=lim32-2n+w2）=電-1<1nT3a nT3n故級數(shù)Z3’2—v；2）（72—<2）…（偵2—2nx‘2）收斂.n=1（2）判斷<2+P‘2—。2+V‘2—*‘2+偵2+\；2—\：2+\：‘2+偵2….的斂散性解 注意至U<2=2cos~=2sin生，4 4」2—2cos」2—2cos—=2sin4」2—2cos—=2sin—8 16 冗利用數(shù)學(xué)歸納法能，可以證得通項(xiàng)公式為a=2sin；[.由于(2)alim—級數(shù)收斂.證明:由于2sinnTs2sinq(a>(2)alim—級數(shù)收斂.證明:由于2sinnTs2sinq(a>0),貝Ua=o(qn),其中q>q.令￡=—(q.-q)>n<q+￡=Xq1q.故lim<an0,則由上式知存在no使得n>n時，，從而其中X=% q<1.利用Xn=o(1),證得a=Xnqn=o(qn).a n1 1n(3)證明:若lim--n+T=q<1(a(3)證明:若lim--n+T=q<1(aannTsan>0),則級數(shù)￡ann=1收斂.相反結(jié)論不真，研究例子1+1+上+工+U….2 3 22 32 23 33取0<￡<1-q，由于limn+1=q<1(a

nTsa

n>0),故存在n0,使得n>n°時.有0^+1<q+￡=I<1.從而，0<a<alannn0-n0(n>n0).◎由于級數(shù)◎由于級數(shù)￡ln-%收斂，故￡an=n n=n0 0收斂.從而，級數(shù)￡a收斂.nn=1反之不真，例如，級數(shù)—2+反之不真，例如，級數(shù)—2+1+m3 22 32 23 33顯然是收斂的.但是，L2、an+1an+1an=、)〔23通過上述證明故有l(wèi)im^=+s.即本題證畢.nTsa

n4：小結(jié)具體一個級數(shù)，用后一項(xiàng)比上前一項(xiàng)通?？梢赃M(jìn)行化簡，化簡之后求其極限，若是得出

一個具體數(shù)或者近似具體數(shù)通?？梢灾苯优袛嗍欠袷諗苛耍@種方法非常便捷，但不適用于帶有非常難開的根號形式的級數(shù).四：例題方法：求出通項(xiàng)a減小的階，從而研究級數(shù)Ea的收斂性.n-11：判斷a-1：判斷a-sin生.的斂散性

nnpn1 .兀由于a>0且limnn-?；騨 1nTs np+1fl—o*( )，np+1故僅當(dāng)1+p>1即p>0時,級數(shù)收斂.2：證明：設(shè)正項(xiàng)級數(shù)Ea的項(xiàng)單調(diào)減小，則級數(shù)Ea與級數(shù)E2na2n同時收斂或同時發(fā)n-1 n-1 n-1散.證設(shè)S—a+a+…+a，則因a>a>…>a>a>…>0，故得<a+2a+…+2na（2）2n 12 2<a+2a+…+2na（2）<a+(a+a)+…+(a +…+a)>—a.+a+2a+>—a.+a+2a+…+2n—1a且有S—a+a+(a+a)+…+(a+…+a)2n 1 2 3 4 2n-1+1 2n（3）由（2）得知：若E2na打發(fā)散，則Ea也發(fā)散.由此本題獲證.n-1 n-1五：總結(jié)由以上通過對各個判別法的分類討論及例題的解題過程，淺談了對于不同級數(shù)使用不同判別法的方法，針對有根號的判別法可以使用根植判別法;對于與典型級數(shù)有一定相似方面，可以使用其為斂散性的判別標(biāo)桿的使用比較判別法（要注意具體探討比較判別法時注意事項(xiàng)）；對于達(dá)朗伯耳判別法，一般都是級數(shù)的后一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值可以進(jìn)行相當(dāng)程度的化簡，化簡后的極限是有限數(shù)，根據(jù)極限判斷其級數(shù)的斂散性.還有很多級數(shù)用以上三種判別法不