2017-2018北京市朝陽區(qū)高三第一學期期末數(shù)學理科試題含答案

PAGEPAGE4北京市朝陽區(qū)2017-2018學年度第一學期期末質量檢測數(shù)學試卷（理工類）2018.1（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.已知集合，，則是A.B.C.D.2.已知為虛數(shù)單位，設復數(shù)滿足，則=A.B.C.D.3.在平面直角坐標系中，以下各點位于不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)的是A.B.C.D.4.“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.某四棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該四棱錐的體積為A.B.C.D.6.已知圓的圓心為.直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，點在點，之間.過作直線的平行線交直線于點，則點的軌跡是A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分D.圓的一部分7.已知函數(shù)的圖象與直線的公共點不少于兩個，則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.圖18.如圖1，矩形中，.點在邊上，且.如圖2，沿直線向上折起成．記二面角的平面角為，當時，圖1圖2存在某個位置，使；圖2存在某個位置，使；任意兩個位置，直線和直線所成的角都不相等.以上三個結論中正確的序號是A.①B.①②C.①③D.②③第二部分（非選擇題共110分）開始i=1開始i=1，S=2結束i=i+1i>4?輸出S是否S=iS9.已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為.11.中，分別為邊中點，若（），則_________.12.已知數(shù)列滿足（），，().設，則;.（用含的式子表示）13.偉大的數(shù)學家高斯說過：幾何學唯美的直觀能夠幫助我們了解大自然界的基本問題.一位17.(本小題滿分14分)ACBB1C1A1D如圖，在三棱柱中，，是線段的中點，且ACBB1C1A1D（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值.18.(本小題滿分13分)已知函數(shù)，.（Ⅰ）求曲線在點處的切線的斜率；（Ⅱ）判斷方程（為的導數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，說明理由；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍.19.(本小題滿分14分)已知拋物線的焦點為,過拋物線上的動點（除頂點外）作的切線交軸于點.過點作直線的垂線（垂足為）與直線交于點.（Ⅰ）求焦點的坐標；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求線段的長.20.(本小題滿分13分)已知集合，其中.表示中所有不同值的個數(shù).（Ⅰ）若集合，求；（Ⅱ）若集合，求證：的值兩兩不同，并求；（Ⅲ）求的最小值.（用含的代數(shù)式表示）北京市朝陽區(qū)2017-2018學年度第一學期期末質量檢測高三年級數(shù)學試卷答案（理工類）2018.1一、選擇題（40分）題號12345678答案ACDAABBC二、填空題（30分）題號91011答案48題號121314答案三、解答題（80分）15.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由題知.由（），解得.所以單調(diào)遞增區(qū)間為（）.……………6分（Ⅱ）依題意，由正弦定理，.因為在三角形中，所以.即當時，；當時，.由于，所以.則.則.又，所以.由，則的取值范圍是.………………13分16.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空氣質量指數(shù)的極差為194.…3分（Ⅱ）可取1，2，3；；.的分布列為123所以.………………9分（Ⅲ）這些措施是有效的.可以利用空氣質量指數(shù)的平均數(shù)，或者這兩年12月空氣質量指數(shù)為優(yōu)的概率等來進行說明.………………13分17.（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：因為，所以．根據(jù)題意，平面，平面，所以．因為，所以平面．又因為平面，所以平面平面．………………4分ACBB1C1A1DEACBB1C1A1DE根據(jù)棱柱的性質可知，為的中點，因為是的中點，所以．又因為平面，平面，所以平面．………………8分（Ⅲ）如圖，取的中點，則，因為，所以，又因為平面，yxzAyxzACBB1C1A1DF 以為原點，分別以為軸建立空間坐標系（如圖）.由（Ⅰ）可知，平面,所以．又因為，,所以平面，所以，所以四邊形為菱形．由已知， 則，，，． 設平面的一個法向量為，因為，，所以，即設，則． 再設平面的一個法向量為，因為，，所以，即設，則． 故．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．…………14分18.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）..…………3分（Ⅱ）設，.當時，，則函數(shù)為減函數(shù).又因為，,所以有且只有一個，使成立.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)根.……………7分（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，由于，即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，且在兩側異號.因為當時，函數(shù)為減函數(shù)，所以在上，，即成立，函數(shù)為增函數(shù)；在上，，即成立，函數(shù)為減函數(shù),則函數(shù)在處取得極大值.當時，雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，但在兩側同號，不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點的要求.由于，顯然.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，且在兩側異號，則只需滿足：即解得.……………13分19.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）……………2分（Ⅱ）設.由，得，則過點的切線的斜率為.則過點的切線方程為.令，得，即.又點為拋物線上除頂點外的動點，，則.而由已知得，則.又，即與不重合，即.…………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)問，直線的方程為，.直線的方程為，.設和交點的坐標為則由（1）式得，（由于不與原點重合，故）.代入（2），化簡得.又，化簡得,（）.即點在以為圓心，1為半徑的圓上.（原點與除外）即.…………14分20.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）；…………3分（Ⅱ）形如和式共有項，所以.對于集合中的和式，：當時，時，；當時，不妨設，則.所以的值兩兩不同.且.