2017-2018北京市朝陽區(qū)高三第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)理科試題含答案_第1頁
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PAGEPAGE4北京市朝陽區(qū)2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(理工類)2018.1(考試時(shí)間120分鐘滿分150分)本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分第一部分(選擇題共40分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).已知集合,,則是A.B.C.D.2.已知為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則=A.B.C.D.3.在平面直角坐標(biāo)系中,以下各點(diǎn)位于不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)的是A.B.C.D.4.“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.某四棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該四棱錐的體積為A.B.C.D.6.已知圓的圓心為.直線過點(diǎn)且與軸不重合,交圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn),之間.過作直線的平行線交直線于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分D.圓的一部分7.已知函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)不少于兩個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.圖18.如圖1,矩形中,.點(diǎn)在邊上,且.如圖2,沿直線向上折起成.記二面角的平面角為,當(dāng)時(shí),圖1圖2存在某個(gè)位置,使;圖2存在某個(gè)位置,使;任意兩個(gè)位置,直線和直線所成的角都不相等.以上三個(gè)結(jié)論中正確的序號(hào)是A.①B.①②C.①③D.②③第二部分(非選擇題共110分)開始i=1開始i=1,S=2結(jié)束i=i+1i>4?輸出S是否S=iS9.已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的值為.11.中,分別為邊中點(diǎn),若(),則_________.12.已知數(shù)列滿足(),,().設(shè),則;.(用含的式子表示)13.偉大的數(shù)學(xué)家高斯說過:幾何學(xué)唯美的直觀能夠幫助我們了解大自然界的基本問題.一位17.(本小題滿分14分)ACBB1C1A1D如圖,在三棱柱中,,是線段的中點(diǎn),且ACBB1C1A1D(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)求證:平面;(Ⅲ)若,,求二面角的余弦值.18.(本小題滿分13分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率;(Ⅱ)判斷方程(為的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù),說明理由;(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.19.(本小題滿分14分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(除頂點(diǎn)外)作的切線交軸于點(diǎn).過點(diǎn)作直線的垂線(垂足為)與直線交于點(diǎn).(Ⅰ)求焦點(diǎn)的坐標(biāo);(Ⅱ)求證:;(Ⅲ)求線段的長.20.(本小題滿分13分)已知集合,其中.表示中所有不同值的個(gè)數(shù).(Ⅰ)若集合,求;(Ⅱ)若集合,求證:的值兩兩不同,并求;(Ⅲ)求的最小值.(用含的代數(shù)式表示)北京市朝陽區(qū)2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷答案(理工類)2018.1一、選擇題(40分)題號(hào)12345678答案ACDAABBC二、填空題(30分)題號(hào)91011答案48題號(hào)121314答案三、解答題(80分)15.(本小題滿分13分)解:(Ⅰ)由題知.由(),解得.所以單調(diào)遞增區(qū)間為().……………6分(Ⅱ)依題意,由正弦定理,.因?yàn)樵谌切沃?,所?即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.由于,所以.則.則.又,所以.由,則的取值范圍是.………………13分16.(本小題滿分13分)解:(Ⅰ)2017年12月空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為194.…3分(Ⅱ)可取1,2,3;;.的分布列為123所以.………………9分(Ⅲ)這些措施是有效的.可以利用空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù),或者這兩年12月空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)的概率等來進(jìn)行說明.………………13分17.(本小題滿分14分)(Ⅰ)證明:因?yàn)?,所以.根?jù)題意,平面,平面,所以.因?yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫?,所以平面平面.……………?分ACBB1C1A1DEACBB1C1A1DE根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知,為的中點(diǎn),因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.……………?分(Ⅲ)如圖,取的中點(diǎn),則,因?yàn)椋?,又因?yàn)槠矫?,yxzAyxzACBB1C1A1DF 以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間坐標(biāo)系(如圖).由(Ⅰ)可知,平面,所以.又因?yàn)椋?所以平面,所以,所以四邊形為菱形.由已知, 則,,,. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)椋?,所以,即設(shè),則. 再設(shè)平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)?,,所以,即設(shè),則. 故.由圖知,二面角的平面角為銳角,所以二面角的余弦值為.…………14分18.(本小題滿分13分)解:(Ⅰ)..…………3分(Ⅱ)設(shè),.當(dāng)時(shí),,則函數(shù)為減函數(shù).又因?yàn)椋?所以有且只有一個(gè),使成立.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.……………7分(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),由于,即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),且在兩側(cè)異號(hào).因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),所以在上,,即成立,函數(shù)為增函數(shù);在上,,即成立,函數(shù)為減函數(shù),則函數(shù)在處取得極大值.當(dāng)時(shí),雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),但在兩側(cè)同號(hào),不滿足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.由于,顯然.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),且在兩側(cè)異號(hào),則只需滿足:即解得.……………13分19.(本小題滿分14分)解:(Ⅰ)……………2分(Ⅱ)設(shè).由,得,則過點(diǎn)的切線的斜率為.則過點(diǎn)的切線方程為.令,得,即.又點(diǎn)為拋物線上除頂點(diǎn)外的動(dòng)點(diǎn),,則.而由已知得,則.又,即與不重合,即.…………6分(Ⅲ)由(Ⅱ)問,直線的方程為,.直線的方程為,.設(shè)和交點(diǎn)的坐標(biāo)為則由(1)式得,(由于不與原點(diǎn)重合,故).代入(2),化簡得.又,化簡得,().即點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上.(原點(diǎn)與除外)即.…………14分20.(本小題滿分13分)解:(Ⅰ);…………3分(Ⅱ)形如和式共有項(xiàng),所以.對(duì)于集合中的和式,:當(dāng)時(shí),時(shí),;當(dāng)時(shí),不妨設(shè),則.所以的值兩兩不同.且.

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