信號與系統(tǒng)習(xí)題集上冊

第1章信號及信號的時(shí)域分析

1.1本草要點(diǎn)

本章在時(shí)域范圍內(nèi)討論信號的分類和信號的基本運(yùn)算，通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該了解

信號的各種分類、定義及相關(guān)波形；了解各類常用信號及其性質(zhì)，掌握幾種奇異信號的特性

及運(yùn)算方法；了解和掌握信號的基本運(yùn)算方法，深刻理解卷積與輸入、輸出信號利系統(tǒng)之間

的物理關(guān)系及其性質(zhì)，為后續(xù)課程打下牢固的基礎(chǔ)。

1、信號的分類

(1)連續(xù)信號與離散信號

一個(gè)信號，如果在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)(除有限個(gè)間斷點(diǎn)外)有定義，就稱該信號在此區(qū)間

內(nèi)為連續(xù)時(shí)間信號，簡稱連續(xù)信號。僅在離散時(shí)間點(diǎn)上有定義的信號稱為離散時(shí)間信號，簡

稱離散信號。

(2)確定信號與隨機(jī)信號

確定信號是指能夠以確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號。即給定某一時(shí)間值，就能得到一個(gè)確

定的信號值。隨機(jī)信號是時(shí)間的隨機(jī)函數(shù)，即給定某一時(shí)間值，其函數(shù)值并不確定的信號。

(3)周期信號與非周期信號

對于連續(xù)信號/⑺，若存在7>0,使得/(/+")=/(/),r為整數(shù)，則稱/(7)為周

期信號；對于離散信號/(〃)，若存在大于零的整數(shù)N,使得/(〃+rN)=.fS),r為整

數(shù)，則稱/(〃)為周期信號。不滿足周期信號定義的信號稱為非周期信號。

①幾個(gè)周期信號相加而成的信號的周期問題

幾個(gè)周期信號相加，所產(chǎn)生的信號可能是周期信號，也可能是非周期信號，這主要取決

于幾個(gè)周期信號的周期之間是否存在最小公倍數(shù)7；。以周期分別為工、T2(角頻率分別為

Q”鼻)的兩個(gè)信號相加產(chǎn)生的信號/(/)為例，

如果生=弓="=有理數(shù)，%,〃，均為整數(shù)，則/■(7)為周期信號，其周期”為

n

。2T\2

2乃27r

4=〃/=也=(1-1)

②離散正(余)弦信號的周期問題

時(shí)域連續(xù)的正(余)弦信號一定是周期信號，但時(shí)域離散的正(余)弦信號不一定是周

27

期信號，要求周期N為正整數(shù)。例如：sin*加為周期信號，周期N為5,sin士〃為非周

55

期信號，因?yàn)?%不是整數(shù)。

(4)能量信號與功率信號

歸一化能量為有限值，歸一化功率為零的信號為能量信號，即滿足0<%<8,尸=0。

歸一化功率為有限值,歸一化能量為無限大的信號為功率信號，即滿足%->8,0〈尸<8。

一般，周期信號為功率信號。

(5)實(shí)信號與復(fù)信號

在各時(shí)刻，(或〃)上的信號幅值為實(shí)數(shù)的信號為實(shí)信號，信號幅值為復(fù)數(shù)的信號稱為

復(fù)信號。

2、常用連續(xù)信號及其性質(zhì)

(1).單位階躍信號用〃(/)表示，定義為：

1/>0

(1-2)

0/<0

(2)單位沖激信號用演/)表示，其狄拉克(Dirac)定義為：

.二附成=1(1-3)

況/)=0,”0

沖激信號的性質(zhì)：

1)篩選性

,"2(/)=/(02⑺(M)

/⑺幻即-幻(1-5)

2)取樣性

匕/(/)即)沸=L/(0)即勸=/(0)匚M)就=/(0)(1-6)

匕/⑺即-幻力=工/(外曲-幻力=/4)￡/(/-Qdt=/(/0)(1-7)

3)尺度變換

6(。/)=」必)(1-8)

同

￡(〃)=」.%⑺(1-9)

同a

以及貧M的n階導(dǎo)數(shù)為

即(〃)=],即(/)

(1-10)

4)奇偶性

利用式(1-10)來分析"/)的奇偶性是比較方便的。令。=-1,得

爾")(—/)=(—1)"爾")(/)

2

〃為偶數(shù)時(shí)，有

b(")(—7)=爾")("”=0,2,4,…(1-12)

〃為奇數(shù)時(shí)，有

即(_/)=一爾")(/)〃=1,3,5,…(1-13)

這樣，得到

%一/)=以/)(1.i4)

以7)=—?(/)(1-15)

即必)是偶函數(shù)，而b'(f)是奇函數(shù)。

5)雙。與〃⑺互為微分與積分的關(guān)系，

“(7)=[a(7)dr(1-16)

的=4〃(/)(1-17)

dt

6)復(fù)合函數(shù)形式的沖激信號

對于形如的沖激信號，若/(/)=0有加個(gè)互不相等的實(shí)根(如果/(/)=0有重

根，況/■(/)]沒有意義)，則有

(1-18)

(3)單位沖激偶函數(shù)

1)單位沖激偶函數(shù)的定義

單位沖激偶函數(shù)可通過對矩形脈沖求一階導(dǎo)數(shù)再取極限引出其定義。脈寬為7、幅度為

1TT

產(chǎn)+,)-2/

圖1-1對矩形脈沖求導(dǎo)的波形

3

可見/'⑺是一正負(fù)兩個(gè)強(qiáng)度均為L的沖激信號。lim/'(/)=￡(/)稱為單位沖激偶函數(shù)。

T…0

2)單位沖激偶函數(shù)的性質(zhì)：

①因?yàn)镾'⑺是奇函數(shù)，所以

￡S\t)dt=0(1-19)

②[y)dr=3(7)(1-20)

③/⑺&⑺=/(0)6'(。-/'(02(/)(1-21)

推廣，有

/(—)=/(/b"T。)_/'&?("%)<1-22)

④「/⑺6⑷龍=—/'(0)(1-23)

推廣，

⑺即(/)力=(-1)了(")(0)(1-24)

口/(/)今("幻血=-/'4)(1-25)

匚/⑴例(一。)力=(-1"㈤&)(1-26)

(4)斜坡信號

單位斜坡信號用，?(/)表示，其定義為：

尸(/)=，“(/)=<(1-27)

0t<0

?/)與〃(1)之間的關(guān)系為：

r(/)=[〃(4〃(1-28)

—r(Z)=u(t)(1-29)

dt

(5)符號函數(shù)sgn。)

符號函數(shù)用sgn。)表示，其定義為：

4

1t>0

sgn(/)=<0z=0(1-30)

-1Z<0

(6)取樣信號

取樣信號用Sa(7)表示，其定義為：

Sa(/)=皿-

CO</<CO(1-31)

取樣信號有如下性質(zhì)：

八「sin/

1)lim-----=1(1-32)

-0t

2)Sa(jc7r)=0k=±1,±2,±3,…(1-33)

、sin/,

3)匕一dt=7V(1-34)

3、常用離散信號及其性質(zhì)

(1)單位序列3(〃)

單位序列用"〃)表示，其定義為:

1H=0

"〃)=jo(1-35)

〃w0

單位序列性質(zhì):

1)/(〃)3(〃)=/(0)以〃)(1-36)

2)—/)=/(〃()2(〃一%)(1-37)

(2)單位階躍序列“(〃)

單位階躍序列用〃(〃)表示，其定義為:

1A?>0

z/(〃)=<(1-38)

0〃<0

若將“(〃)移位〃0,得

5

1〃之名

"(〃-%)=〈(1-39)

0〃</

單位階躍序列與單位序列之間的關(guān)系：

3(〃)=w(w)-u[n-1)(1-40)

“(〃)=汽3(/)(1-41)

y=—oo

或者

〃(〃)=工3(/)=工貝"—z)=Zb(〃-。(1-42)

y=—oo/=oo/=0

4、連續(xù)信號的基本運(yùn)算

(1)信號的相加和相乘

信號的運(yùn)算從數(shù)學(xué)意義上來說，就是將信號經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪恍盘?。兩個(gè)

信號相加，其和信號在任意時(shí)刻的信號值等于兩信號在該時(shí)刻的信號值之和。

/(—2?)443)

兩個(gè)信號相乘，其積信號在任意時(shí)刻的信號值等于兩信號在該時(shí)刻的信號值之積。

/(/)=〃，)/(/)(1-44)

(2)信號的平移

將信號沿時(shí)間軸作平移，得到一個(gè)新的信號。對于連續(xù)信號/(/),若有常數(shù)?！?,

信號/(/-幻是將原信號沿正t軸平移環(huán)時(shí)間，而f(t+外是將原信號沿負(fù)t軸平移t0時(shí)

間。

(3)信號的尺度變換與反轉(zhuǎn)

將信號/(/)的橫坐標(biāo)的尺寸展寬或壓縮稱為信號的尺度變換?？捎米兞考?。為非零

常數(shù))替代原信號/(/)的自變量/，得到信號f(at)o

如果a為正數(shù)，當(dāng)a>l時(shí)，/(H)是將/(/)以原點(diǎn)為基準(zhǔn)，橫軸壓縮到原來的1倍；

a

當(dāng)0<a<1時(shí)，/(?/)是將/⑺橫軸展寬至原來的L倍。

a

信號的反轉(zhuǎn)是將信號/⑺中的自變量，換為-/,即將信號繞縱軸作180。反轉(zhuǎn)。把原信

號/(7)在/時(shí)刻的值變換為-/時(shí)刻的值。

(4)信號的導(dǎo)數(shù)和積分

信號的導(dǎo)數(shù)定義為：

6

加也以(1-45)

dt

信號的積分定義為：

丁(/)=[,/(加7(146)

(5)信號的時(shí)域分解

1)信號的奇偶分解

信號的偶分量用/;(7)表示，其定義為：

/；(/)=力(一/)(147)

信號的奇分量用力(7)表示，其定義為：

〃/)=-〃—)(148)

任意?個(gè)信號都可以表示成奇分量和偶分量之和：

/(/)=￡9)+〃/)(1-49)

則有

〃/)=；[/(/)+/(7)](1-5。)

力(，)=；[/(，)-/(—)]。-51)

信號及信號的奇分量和偶分量如圖1-2所示。

圖1-2信號及信號的奇、偶分量

2)信號的脈沖分解

任意一個(gè)連續(xù)信號都可以用脈沖信號相疊加來近似表示，如圖l-3(a)所示。

圖1-3信號/(/)分解成窄脈沖

7

每個(gè)矩形脈沖可以表示為

￡(/)=/(皿)[〃(/一kM)-u{t-(k+1)A/)]

則

/'(/)?X/?(皿產(chǎn)一皿)——在△/

當(dāng)△，一>0時(shí)，k\t—>T,A/—>,則

-Mr)-s(tk\t-A/).J”?)

.■?/?)=「/?”("7)dT(1-52)

這就是在時(shí)域中任意信號可以分解為無限多個(gè)沖激信號相疊加，如圖l-3(b)所示。式(1-52)

的積分稱為卷積積分。

(6)信號的卷枳積分

1)卷積積分的定義

一般而言，兩個(gè)信號/(/),人")的卷積積分定義為

/(/)=匕/(「)力?—7必7(1-53)

簡稱卷積，記作/(/)=于、(/)*./2(/)?

2)卷積積分性質(zhì)

①交換律設(shè)有工(/)和力(/)兩個(gè)信號，則

工⑺*力⑺=力。)*工⑺(L54)

②分配律設(shè)有/⑺、人⑺和力⑺三個(gè)信號，則

A⑺*M⑺+力⑺]=/⑺*人⑺+工(0*/⑺(1-55)

③結(jié)合律設(shè)有力⑺、人⑺和力。)三個(gè)信號，則

/⑺*"；(/)*力(初=[/.⑺*力(川*力⑺(1-56)

④卷積積分后的微分性質(zhì)

兩個(gè)信號卷積積分后的導(dǎo)數(shù)等于兩個(gè)信號中之一的導(dǎo)數(shù)與另一信號的卷積積分。即

3M(/)*啟以"⑺*誓=誓*啟。(1-57)

⑤卷積的微積分性質(zhì)

如果/9)=.力(/)*力(。，則

/)(/)"⑺(/)*#"，)(/)(1-58)

式中當(dāng)j或J取正整數(shù)時(shí)表示導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。

⑥卷積的平移性質(zhì)

兩個(gè)信號平移后的卷積積分，等于兩個(gè)信號卷積積分后平移，其平移量為兩個(gè)信號分別

平移量的和。即

8

如果.力⑺*力(/)=/(/)

則有工(/一。)*/2(/-/2)=/(/-4一/2)(1-59)

⑦與沖激信號或階躍信號的卷積積分

信號/(/)與單位沖激信號5(。卷積積分的結(jié)果是信號/(/)本身。

即

/(…⑺=/?)(1-60)

利用卷積的平移性質(zhì)，有

/(，)*即-幻=加一。)(1-61)

利用卷積的微積分特性，可以得到以下一系列結(jié)論。

對于沖激偶3(7),有

/(/)*￡(/)=/()(1-62)

推廣到一般情況，可得

f⑴*即⑴=f*'⑴(1-63)

(1-64)

對于單位階躍信號〃(/),有

/(/)*“⑺=r/(加丁(1-65)

J-0O

對于兩個(gè)因果信號，有

(1-66)

工(/)"(/)*〃/)“(/)=J0r)dr

表1-1列出了常用的卷積積分性質(zhì)，以供查閱。

表1T常用的卷積積分性質(zhì)

序號性質(zhì)公式

1交換律%)"(f)*力))"(『)*〃，)

2分配律/⑴=/.⑺*M⑺+力⑴]=/.(0*/2⑺+/,⑺*八⑴

3結(jié)合律/(/)=ZW*/⑺*/,(/)]=[/,(。*/2(0]*八⑺

4微分性質(zhì)/")=，'(，)*6⑴=〃。*月⑴

5積分性質(zhì)/M)(/)=⑴*力⑺=Z⑺*力7⑺

6微積分性質(zhì)/(0=//■■'(0*//(0=f,V)*(0

平移性質(zhì)

7fx(t-a^fSt-b}=f{t-a-h)

8與沖激信號/(f)=/(/)*<5(/)./⑹⑺=/(z)*/⑴

9與階躍信號/(r)*M(r)=￡/(r)c/r./；⑴￡(/)*〃(/)=￡/什市

/(r)的開始時(shí)間=/Q)的開始時(shí)間+力什)的開始時(shí)間

10持續(xù)時(shí)間/(/)的結(jié)束時(shí)間=/；(/)的結(jié)束時(shí)間+/2。)的結(jié)束時(shí)間

/(/)的持續(xù)時(shí)間=/。)的持續(xù)時(shí)間+/2?)的持續(xù)時(shí)間

11面積性質(zhì)/(Z)的面積=<(/)和f2s的面積的乘積

5、離散信號的基本運(yùn)算

9

(1)序列相加/(")=片(〃)+力(〃)

(1-67)

(2)序列相乘/(?)=/(?)?力(〃)

(1-68)

(3)序列/(〃)的平移/(〃一%)：當(dāng)〃°〉。，信號/(〃一〃。)是將/(〃)序列沿正〃軸

平移〃。個(gè)單位，稱為/(")的超前序列，+是將/(〃)序列沿負(fù)〃軸平移〃。個(gè)單位,

稱為/(〃)的延遲序列。

(4)序列/(〃)的尺度變換/(機(jī)〃)：當(dāng)|加|>1時(shí)，/(機(jī)〃)是/(〃)序列每隔加點(diǎn)取一

點(diǎn)形成的，相當(dāng)于時(shí)間軸“壓縮了加倍；當(dāng)|相|<1時(shí)，/(相〃)是/(〃)序列每兩點(diǎn)之間插

入a個(gè)零，相當(dāng)于時(shí)間軸〃擴(kuò)展了加倍；當(dāng)加=-1時(shí)，/(-〃)是將/(〃)序列繞縱軸作180"

反轉(zhuǎn)，稱為/(〃)的反轉(zhuǎn)序列。

(5)序列差分:

一階前向差分A/'(H)=/(?+1)-/(?)(1-69)

二階前向差分A2/(M)=A[Af(M)]=Af(w+1)-△/,(rt)=/(w+2)-2/(w+l)+/(?)

(1-70)

一階后向差分0(〃)=/(?)-/(?-1)(1-71)

二階后向差分□/(〃)=v[V/-(?)]=/(〃)一可(〃-1)=/(〃)—2/(〃一1)+/(〃一2)

(1-72)

(6)序列求和

/(〃)=Z/G)(1-73)

/=—<x>

幾個(gè)典型的累加和：

1)(1-74)

/=—00

2)(1-75)

/=—00

n]

3)^/w(z)=-?(?+1)?(?)(1-76)

/=-002

n1_/+1

4)V677/(7)=-------〃(〃)aw1(1-77)

1-(7

(7)序列的時(shí)域分解

1)序列的脈沖分解

任意離散序列/(〃)可用單位序列及其移位序列表示，即

/(?)=…+/(-2項(xiàng)"+2)+f(-Y)3(n+1)+/(0)b(〃)

+/⑴/〃-1)+???+-/)+???

+8

=Z/(i)b(〃-i)(1-78)

i=-co

可見任意離散序列在時(shí)域可表示為6(〃-z)的線性組合。

10

2)序列的奇偶分解

對于無限長序列，用./；(〃)表示共挽對稱序列，有

?4(“)=/：(-〃)(1-79)

用￡(〃)表示共朝反對稱序列，有

力(〃)=-/；(-〃)(1-80)

?般序列都可用共挽對稱序列和共筑反對稱序列之和表示，即

/(”)=〃〃)+，(〃)(1-81)

所以

/；(〃)=；"(〃)+/*(—〃)](1-82)

Z,(w)=1[/(?)-/*(-?)](1-83)

對于有限長序列，用工.(〃)表示有限長共加對稱序列，有

￡(〃)=￡("-〃)，0<?<^-1(1-84)

用￡”,(〃)表示有限長共加反對稱序列，有

■4(〃)=—￡；(N—〃)，GWnWN-l(1-85)

任何有限長序列都可表示成共軌對稱序列和共腕反對稱序列之和表示，即

/(〃)=幾(〃)+4，(〃)，0<?<A^-l(1-86)

所以

((〃)=；"(")+/*(N—〃)](1-87)

幾(〃)=("(〃)—r(N—〃)](1-88)

如圖1-4所示。

8

原7

6

序5

列4

3

2

i

0123456

共5

腕4

對3

稱2

序

列

共

輒

4

反

對2

稱0

序

列

0123456

圖1?4有限長序列及其共匏對稱、共腕反對稱序列

(8)卷積和

1)卷積和的定義

一般而言，兩個(gè)序列工伽)與人(〃)的卷積和定義為

+00

/(〃)=—，?)=/；(〃)*力(玲(1-89)

11

如果/(〃)與/(〃)均為因果序列,則有：

/；(〃)”(〃)=￡〃”(〃—，)(1-90)

i=0

4)卷積和的性質(zhì)

①離散信號的卷積和運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即

./；(?)*,A(?)=人(〃)*工(〃)(1-91)

工(〃)*LAS)*力(〃)]=[.A(?)*&〃)]*K(〃)(1-92)

./；(?)*[/2(?)+k(〃)]=./；(〃)*人(〃)+./；(?)*，4(?)<1-93)

②任一序列/(〃)與單位序列外〃)的卷積和等于序列/(〃)本身,即

/(〃)**")=b(〃)*/(〃)=/(〃)(1-94)

=/(〃-〃])(1-95)

③若/(〃)="(〃)”(")，則

工(〃-〃1)*人("〃2)=/("-々一〃2)(1-96)

1.2精選例題

例1畫出下列信號波形。

(1)/(/)=J<^(cos^r)7r(2)/(〃)=〃〃(〃)一4里“(”一4左)

解：

⑴/(/)=p(coS7lT)dT

=j同7-0.5)+6(T_1.5)+3(T_2.5)+???比

=j<J(r-0.5”了+j8(T-\,5)dr+j-2.5)d工H—

=u(t—0.5)+u(t-1.5)+u(t-2.5)+???

波形如例1解圖(a)所示。

00

(2)f(")=u{n-4k)

k=l

=nu{n)-4z/(〃-4)-4〃(〃-8)-4u(n-12)---

波形如例1解圖(b)所示。

12

cos加

例1解圖

例2判斷下列信號是否為周期信號？若是周期信號，則確定其周期T。

(1)/j(Z)=1+3sin(^r)+sin(2^-/)

(2)f2⑺=cos(2〃，)-cos(5/)

⑶^(?)=2sinf|w+^

解：

（）

1HL=^L=2L=L

n2Q22乃2

因此，公共周期"=%2'乃=lx2把4=2,

71

基頻/=-L=L=0.5法

T。2

(2)由于兩個(gè)分量的頻率比值」=」是無理數(shù)，因此無法找出公共周期。所以是非周期

Q,5

的。

(3)按定義，周期序列力1)應(yīng)滿足力(〃)=力(〃+N),其中滿足定義式的最小正整數(shù)N稱

為序列的周期。

13

欲使人(〃+N)=2sin[(〃+的+看2sin(-?+-7V+-U2sin(-3?+-TC=力(〃)

44646

，應(yīng)該滿足：N=2匹即N=1乃，N不是正整數(shù)，故人(〃)不是周期序列。

例3判斷下列信號哪些是能量信號，哪些是功率信號。

⑴力”)=”

⑵f2[t}=e-

(3)右(〃)=2/2加/4

解：

(1)g=lim/一"山=\e2,dt+--(1-0)--(0-1)=1J

T->ooJ'，JJ22

—T—oo0

片=0

所以/(7)是能量信號。

T

z2t

(2)E2=limj(e-dt-^e~dt-oo

8一丁”

T

P>=lim——1f(/e-z\dt=oo

7

J82T—fi

所以人(/)既非能量信號，又非功率信號。

(3)力(〃)是一個(gè)周期為N=4的復(fù)數(shù)周期信號，其功率為

1N-121321

P=江|2戶1=；(4+4+4+4)=4%

N〃=。4w=o4

例4計(jì)算

(1)[題)邛山

(2)-2)cos^Z47/

⑶匚立一%

8

(4)工3(〃-〃?)

解：

(1)(必成=1,2必)^^加=「2沖)」龍=2

71

(2)

4

14

(3)L小-朋

因?yàn)閷τ谛稳绲臎_激信號，若/(/)=0有a個(gè)互不相等的實(shí)根，有

又(/一1)'=±2

/=±1

所以

[S(t2-=￡g[必+1)+必—皿/=；x2=1

00

(4)V8[n-m)=u[-n-1)+u(n)

W=-30

(5)￡sin(色)(〃-2)=8(n-2)

例5已知信號的波形如例5圖所示，分別畫出/(7)與@3的波形。

dt

1/(2-2/)

^2nr?(

例5圖

解：

/(2-2/)-/[-2(/-1)]./[-2(/—1+1)反移1/(-2/)反轉(zhuǎn)/?⑵)橫坐標(biāo)擴(kuò)展一倍彳：x2,=/(/)

/'(/)的波形如例5解圖(d)所示。

15

例5解圖

例6計(jì)算下列各題的卷積

⑴已知工(t)=e癡?),f2(t)=tu(t),求：<(/)*〃/)

解：

工⑺*⑴*人9尸=咐*卜2七=響*(1一e-2z)

8|_2

<2)已知/(/)=〃(/一1),人")=〃(/+2),求：工(/)*〃/)

解法1：/'"'(/)=卜/(-1比===g(/2_lM-l)

加/)=*/+2)

母尸=-1)*砧+2)5+2)2一M+2-1)

=*+4/+3“/+1)

解法2：

16

工(，)*力(，)=例(，-1)*〃(/+2)=(/-1+1)i/(/-1)*u{t+2)

=w(/-l)]*w(/+2)

=W)*8(t-1)+〃(，)*8(t-1)]*u(t}*8{t+2)

=[/w(/)*獨(dú)-1)*〃(/)*6(t+2)+w(/)*6(t-1)*w(/)*8(t+2)]

=例(，)*z/0*必+1)+〃(，)*〃(，)*方(f+1)

=—/**7+1)+Z*+1)

=g(，+1)-"(/+1)+(/+1》(7+1)

=；/+4/+31(/+l)

(3)已知工(〃)=3""(〃一1),力(〃)=2"〃(〃+l),求/(")*〃〃)

解：

fx(〃)*/2(")=3.3""(")*6(n—1)*；.2"”(〃)*8(n+1)

=--3Mw(n)*2,,〃(〃)

|(3向_2%(〃)

1.3習(xí)題精解

1.判斷下列信號是否是周期的，如果是周期的，求出它的基頻和公共周期。

(1)/(/)=4一3sin(5?Z)+sin(30^/)

(2)/(/)=cos(l0>Tr)cos(30^r/)

(3)f(t)=cos(l。兀i)-cos(20/)

(4)/(/)=cos(2z)-y[2cos(2z-—)

解：

/71_Q]_5_1

(1)

n2。2306

2萬2)2

因此，公共周期7；=勺1j=x—=—

5萬5

17

基頻4=g=g=2.5也

(2)f(/)=cos(10^/)cos(30^-/)=0.5(cos20^r+cos40；r/)

/71_Q]_20_1

n25402

因此，公共周期"=勺'27r=l2x4*=」1-s

°1Q,20萬10

基頻為=，=10〃z

￡

(3)由于兩個(gè)分量的頻率比值與■="工是無理數(shù)，因此無法找出公共周期。所以是非周期

%20

的。

(4)兩個(gè)分量是同頻率的，基頻＜=1/7：Hz。因此，公共周期TM-LM?S。

0

fo

2.指出并證明下列信號中哪些是功率信號，哪些是能量信號，哪些既不是功率信號也不是能

量信號。

(1)M(/)+5M(Z-1)-2M(Z-2)

(2)〃(，)+51/(/—1)—6〃(才—2)

(3)e~5,u(t)

(4)(e-5/+1)M(Z)

解：

(1)波形如題2解圖(a)所示。顯然是功率信號。

P=limfj；|f^dt=lim[J；14+136dt+=16W

(2)波形如題2解圖(b)加不。顯然是能量信號。

E=fl2J/+j262J/=lxl+62xl=37J

⑶能量信號E=limC(e-5,)2dt=[Vl0,^=-—e-lo,Z=O.lJ

T—8JOJoIQ0

(4)功率信號，顯然有P=1W

3.周期信號如題圖3所示，試計(jì)算信號的功率。

18

題3圖

解：周期T=7,一個(gè)周期的能量為￡：=if42J/+f(-2)2^=16x3+4x2=567

信號的功率為些=8W

T7

4.畫出下列信號的波形。

(1)/⑴=3浴(2-2)

(2)-⑺=2〃(7)+河-2)

(3)人(。=2〃。)即-2)

解：

工(，)，人(/)，■(/)的波形分別如題4解圖(a)、(b)、(c)所示。

4.4(0

5.完成下列信號的計(jì)算。

23,

(1)(4/+(2)e-tJ(4-2/);

⑶sin(2/+yW+|)；(4)e-"2)〃(/)b(7-4)。

解：

⑴(4/+2)5(?=65(/);

⑵e-*b(4-2/)=O.5e-3'b(/-2)=0.5e-6^(Z-2)

(3)sin(2r+y)c>(/+y)=sin(一乃++9=_*演，+今

2

(4)_4)=e~5(t-4)

6.求下列積分。

(1)J：(4-2項(xiàng)/+3)龍；(2)J：(4—『)b(7+4)力；

「6c