高中數(shù)學(xué)邏輯專題訓(xùn)練

§1–2簡(jiǎn)易邏輯一、命題1.2.1假如一個(gè)命題的逆命題是真命題，那么這個(gè)命題的()．(A)否命題必是真命題 (B)否命題必是假命題(C)原命題必是假命題 (D)逆否命題必是真命題解析一個(gè)命題的逆命題與否命題真假相同，答案為A．1.2.2命題“對(duì)隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()．(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1>0(D)對(duì)隨意的x∈R，x3－x2＋1>0解析“對(duì)隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案為C．1.2.3與命題“若a?M，則b?M”等價(jià)的命題是()．(A)若b∈M，則a?M (B)若b?M，則a∈M(C)若b∈M，則a∈M (D)若a?M，則b∈M解析逆否命題與原命題互為等價(jià)命題，原命題的逆否命題為“若b∈M，則a∈M”，所以，答案為C．1.2.4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿意：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()．(A)若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立(B)若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時(shí)，均有f(k)≥k2成立(C)若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f(k)<k2成立(D)若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立解析由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立，答案為D．1.2.5命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()．(A)若x2≥1，則x≥1或x≤－1 (B)若－1<x<1，則x2<1(C)若x>1或x<－1，則x2>1 (D)若x≥1或x≤－1，則x2≥1解析命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”，答案為D．1.2.6在原命題“若A∪B≠B，則A∩B≠A”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是．解析原命題的逆否命題為“若A∩B＝A，則A∪B＝B”．當(dāng)A∩B＝A時(shí)，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，則A?B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命題和原命題都是真命題．原命題的否命題為“若A∪B＝B，則A∩B＝A”，同上，可知否命題和逆命題也都是真命題．所以，在這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是4．1.2.7若a，b都是非零實(shí)數(shù)，證明：|a|＋|b|＝|a＋b|與ab>0等價(jià)．解析若|a|＋|b|＝|a＋b|，則(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab>0；若ab>0，則或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．所以，當(dāng)a，b都是非零實(shí)數(shù)時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|與ab>0等價(jià)．1.2.8已知A和B都是非空集合，證明：“A∪B＝A∩B”與“A＝B”是等價(jià)的．解析若A∪B＝A∩B，則任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，則x∈B，所以，A?B，同理可得B?A，于是，A＝B；若A＝B，則明顯有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”與“A＝B”是等價(jià)的．1.2.9已知a，b，c是實(shí)數(shù)，則與“a，b，c互不相等”等價(jià)的是()．(A)a≠b且b≠c (B)(a－b)(b－c)(c－a)≠0(C)(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0 (D)a2，b2，c2互不相等解析由于不相等關(guān)系不具有傳遞性，當(dāng)a≠b且b≠c，a與c可能相等；由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一個(gè)不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等價(jià)于“a，b，c不全相等”，而不能等價(jià)于“a，b，c互不相等”；a＝－1，b＝0，c＝1，此時(shí)a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”與“a2，b2，c2互不相等”不是等價(jià)的；a≠b等價(jià)于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等價(jià)于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同時(shí)成立，所以，“a，b，c互不相等”與“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等價(jià)，答案為B．1.2.10命題“若ab＝0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為．解析原命題的逆否命題為“若a、b均不為零，則ab≠0”．1.2.11給出下列四個(gè)命題：①若x2＝y(tǒng)2，則x＝y(tǒng)；②若x≠y，則x2≠y2；③若x2≠y2，則x≠y；④若x≠y且x≠－y，則x2≠y2，其中真命題的序號(hào)是．解析由x2＝y(tǒng)2可得x＝y(tǒng)或x＝－y，命題①不成立；若x＝－y≠0，此時(shí)x≠y，而x2＝y(tǒng)2，于是，命題②不成立；若x2≠y2時(shí)有x＝y(tǒng)，則可得x2＝y(tǒng)2，沖突，于是，命題③成立；對(duì)于x≠y且x≠－y，假如x2＝y(tǒng)2，則有x＝y(tǒng)或x＝－y，即x＝y(tǒng)與x＝－y至少有一個(gè)成立，沖突，于是，命題④成立．所以，上述四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是③和④．1.2.12已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0沒有實(shí)根．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析當(dāng)命題p為真時(shí)，應(yīng)有解得m>2．當(dāng)命題q為真時(shí)，應(yīng)有Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”為真的m的取值范圍是m>1，使“p且q”為假的m的取值范圍是m≤2或m≥3，所以，使兩者同時(shí)成立的m的取值范圍是m≥3或1<m≤2．a(chǎn)11a12a13a21a22a23a31a32a331.2.13某人要在一張3×3的表格中填入9個(gè)數(shù)(填的數(shù)有正有負(fù))，他要使得表中隨意一行的三個(gè)數(shù)之和為正，而隨意一列的三個(gè)數(shù)之和為負(fù)．求證：他肯定不能寫出滿意要求的數(shù)表．解析若此人能寫出滿意要求的數(shù)表，則由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得數(shù)表中的九個(gè)數(shù)之和為正；同時(shí)，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，則數(shù)表中的九個(gè)數(shù)之和為負(fù)，沖突，所以，此人肯定不能寫出滿意要求的數(shù)表．1.2.14設(shè)a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy內(nèi)的點(diǎn)的集合．求證：不存在a，b，使得A∩B≠?，且點(diǎn)(a，b)∈C同時(shí)成立．解析設(shè)滿意要求的a，b存在，則P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面內(nèi)，原點(diǎn)到直線ax＋b－(3x2＋15)＝0的距離是＝3≥12，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)3，即x2＝3時(shí)成立，但它與x∈Z沖突，所以，使A∩B≠?成立的(a，b)必有>12，與a2＋b2≤144沖突，所以，滿意要求的a，b不存在．1.2.15中學(xué)數(shù)學(xué)中存在很多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”，“平行關(guān)系”等等，假如集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“~”滿意以下三個(gè)條件：(1)自反性：對(duì)于隨意a∈A，都有a~a；(2)對(duì)稱性：對(duì)于a，b∈A，若a~b，則有b~a；(3)傳遞性：對(duì)于a，b，c∈A，若a~b，b~c，則有a~c，則稱“~”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系(自反性不成立)，請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：．解析由集合、角、向量的性質(zhì)可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是滿意要求的等價(jià)關(guān)系．1.2.16已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，b∈R．寫出命題“若a＋b>0，則f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命題，并推斷其真假．若所寫命題是真命題，給出證明；若所寫命題是假命題，給出反例．解析所求逆命題為：已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，則a＋b>0．該命題是真命題．證明如下：若a＋b≤0，即a≤－b，由函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，與已知條件沖突．所以，a＋b>0．二、充分條件和必要條件1.2.17兩個(gè)圓“周長(zhǎng)相等”是“面積相等”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析兩個(gè)圓周長(zhǎng)相等，則由2πr1＝2πr2得兩圓半徑r1＝r2，則兩圓面積相等，反之亦然，所以，兩個(gè)圓“周長(zhǎng)相等”是“面積相等”的充要條件，答案為C．1.2.18P：四邊形四條邊長(zhǎng)相等，Q：四邊形是平行四邊形，則P是Q的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析當(dāng)四邊形的四條邊長(zhǎng)相同時(shí)，它是菱形，肯定是平行四邊形；反之，一個(gè)平行四邊形的四條邊長(zhǎng)不肯定都相等，所以，P是Q的充分不必要條件，答案為A．1.2.19已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，d，假如a＝b且c＝d，則有a－b＝0，c－d＝0，則a＋c－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＝0，于是，a＋c＝b＋d；反之，假如a＝1，b＝2，c＝4，d＝3，有a＋c＝b＋d，但此時(shí)a≠b，c≠d，所以，“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的充分不必要條件，答案為A．1.2.20已知a，b，c是實(shí)數(shù)，則“a＝b”是“ac＝bc”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析假如a＝b，則a－b＝0，于是，ac－bc＝(a－b)c＝0，可得ac＝bc；反之，假如c＝0，a＝1，b＝2，此時(shí)有ac＝bc，但a≠b，所以，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件，答案為A．1.2.21設(shè)m，n是整數(shù)，則“m，n均為偶數(shù)”是“m＋n是偶數(shù)”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析假如m，n均為偶數(shù)，則m＋n肯定是偶數(shù)；反之，假如m＝1，n＝3，m＋n＝4為偶數(shù)，但此時(shí)m和n都不是偶數(shù)，所以，“m，n均為偶數(shù)”是“m＋n是偶數(shù)”的充分而不必要條件，答案為A．1.2.22設(shè)集合A，B是全集U的兩個(gè)子集，則AB是?UA∪B＝U的()．(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析由表示集合U，A，B關(guān)系的圖形可知當(dāng)AB時(shí)必有?UA∪B＝U成立，反之，當(dāng)A＝B時(shí)，也有?UA∪B＝U成立，即A是B的真子集不是?UA∪B＝U成立的必要條件，所以，答案為A．1.2.23對(duì)于集合M和P，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()．(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析由表示集合M，P的圖形可知當(dāng)x∈M或x∈P時(shí)不肯定有x∈M∩P，而當(dāng)x∈M∩P時(shí)必有x∈M或x∈P，所以，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件，答案為B．1.2.24假如x，y是實(shí)數(shù)，那么“cosx＝cosy”是“x＝y(tǒng)”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析當(dāng)cosx＝cosy時(shí)，不肯定有x＝y(tǒng)，而當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，必有cosx＝cosy，所以，“cosx＝cosy”是“x＝y(tǒng)”的必要不充分條件，答案為B．1.2.25使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要條件為()．(A)x<－1或x>1 (B)－1<x<1(C)x>－1且x≠1 (D)x<1且x≠－1解析此不等式等價(jià)于或解得－1<x<1或x<－1，即為x<1且x≠－1，所以，答案為D．1.2.26一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件是()．(A)ab>0 (B)ab<0 (C)ac>0 (D)ac<0解析若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)正數(shù)根x1和一個(gè)負(fù)數(shù)根x2，則x1x2＝<0，則ac<0；反之，若ac<0，一元二次方程的判別式Δ＝b2－4ac>0，此方程肯定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩根之積為<0，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根肯定是一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)，所以，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)正數(shù)根和一個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件是ac<0，答案為D．1.2.27“x>1”是“<1”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析若x>1，則－1＝<0，即<1；反之，假如x<0，則有<1，此時(shí)，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要條件，答案為A．1.2.28已知x是實(shí)數(shù)，則“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析假如x＝3，則x≠1，此時(shí)x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，假如x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，則x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分條件，答案為B．1.2.29“一個(gè)正整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5”是“這個(gè)正整數(shù)是5的倍數(shù)”的()．(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析假如一個(gè)正整數(shù)的個(gè)位數(shù)是5，即此正整數(shù)肯定可表示成10k＋5(k是非負(fù)整數(shù))，它肯定是5的倍數(shù)；反之，可寫成10n(n是正整數(shù))的正整數(shù)肯定是5的倍數(shù)，但它的個(gè)位數(shù)不是5，所以，“一個(gè)正整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5”是“這個(gè)正整數(shù)是5的倍數(shù)”的充分不必要條件，答案為A．1.2.30對(duì)于集合A，B，下列四個(gè)命題中正確的是()．(A)“A不是B的子集”的充要條件是“對(duì)隨意x∈A都有x?B”(B)“A不是B的子集”的充要條件是“A∩B＝?”(C)“A不是B的子集”的充要條件是“B不是A的子集”(D)“A不是B的子集”的充要條件是“存在x∈A，使得x?B”解析由于A不是B的子集，則至少存在一個(gè)x0∈A有x0?B，并不要求對(duì)隨意的x∈A有x?B，但是，對(duì)隨意x∈A都有x?B，則A肯定不是B的子集，所以，“對(duì)隨意x∈A都有x?B”是“A不是B的子集”的充分不必要條件．若A不是B的子集，不肯定有A∩B＝?，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，反之，當(dāng)A∩B＝?時(shí)，不肯定能推出A不是B的子集，例如A＝?，則A必是B的子集，所以，“A∩B＝?”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要條件．由A不是B的子集不肯定能推出B不是A的子集，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，反之亦然，所以，“B不是A的子集”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要條件．依據(jù)子集的概念可知“存在x∈A，使得x?B”是“A不是B的子集”的充要條件．所以，答案為D．1.2.31已知函數(shù)f(x)＝(a2－1)x2＋(a－1)x＋3，則f(x)>0對(duì)隨意的x∈R恒成立的充要條件是．解析當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝3>0恒成立．而當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－2x＋3不是對(duì)一切x∈R都有f(x)>0成立．當(dāng)a≠±1時(shí)，使f(x)>0對(duì)一切x∈R都成立的充要條件是解得a>1或a<－，所以，使f(x)>0對(duì)隨意的x∈R恒成立充要條件是a≥1或a<－．1.2.32證明：“關(guān)于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一個(gè)根為－1”的充要條件是“a＋c＝b＋d”．解析若a＋c＝b＋d，則方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0即為ax3＋bx2＋cx＋a＋c－b＝0，于是，a(x3＋1)＋b(x2－1)＋c(x＋1)＝0，(x＋1)[a(x2－x＋1)＋b(x－1)＋c]＝0，所以，x＝－1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一個(gè)根；反之，假如x＝－1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一個(gè)根，則有a×(－1)3＋b×(－1)2＋c×(－1)＋d＝0，于是，a＋c＝b＋d，所以，“關(guān)于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一個(gè)根為－1”的充要條件是“a＋c＝b＋d”．1.2.33(1)證明：是的充分不必要條件；(2)指出成立的充要條件．解析(1)當(dāng)a>3且b>3時(shí)，必有a＋b>6，ab>9成立．反之，在a＋b>6且ab>9的條件下，不肯定有a>3且b>3成立，如a＝1，b＝10．所以，是的充分不必要條件．(2)成立的充要條件是1.2.34證明：A?B是(A∩C)?(B∩C)的充分不必要條件．解析當(dāng)A?B時(shí)，任取x∈B∩C有x∈B且x∈