高中數(shù)學(xué) 2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征講解 新人教A版必修3

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（講）一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)—一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；在頻率分布直方圖中，我們?nèi)∽罡叩哪莻€小長方形橫坐標的中點。中位數(shù)——當(dāng)一組數(shù)有奇數(shù)個時等于中間的數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)個時等于中間兩數(shù)的平均數(shù)；在頻率分布直方圖中，是使圖形左右兩邊面積相等的線所在的橫坐標。平均數(shù)——將所有數(shù)相加再除以這組數(shù)的個數(shù)；在頻率分布直方圖中，等于每個小長方形的面積乘以其底邊中點的橫坐標的和。思考探究：分別利用原始數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，觀察所得的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么問題？為什么會這樣呢？你能說說這幾個數(shù)據(jù)在描述樣本信息時有什么特點嗎？由此你有什么樣的體會？答：（1）從頻率分布直方圖得到的眾數(shù)和中位數(shù)與從數(shù)據(jù)中得到的不一樣，因為頻率分布直方圖損失了一部分樣本信息，所以不如原始數(shù)據(jù)準確。（2）眾數(shù)和中位數(shù)不受極端值的影響，平均數(shù)反應(yīng)樣本總體的信息，容易受極端值的影響。練一練：假如你是一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公路項目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設(shè)投資為2000萬元人民幣，另外25個項目的投資是20～100萬元。中位數(shù)是25萬元，平均數(shù)是100萬元，眾數(shù)是20萬元。你會選擇哪一種數(shù)字特征來表示國家對每一個項目投資的平均金額？解析：平均數(shù)。二、標準差、方差在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個運動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？我們知道，。兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察圖2.2－7）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)。1.標準差標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。思考探究：1、標準差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關(guān)系？2、標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？答：（1）顯然，標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。（2）從標準差的定義和計算公式都可以得出：。當(dāng)時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。2.方差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。例題精析例1農(nóng)場種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續(xù)6年的年平均產(chǎn)量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？[分析]采用求標準差的方法解：所以甲水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。點評：在平均值相等的情況下，比較方差或標準差。變式訓(xùn)練：在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為【答案】B【解析】由題意知，所剩數(shù)據(jù)為90，90，93，94，93，所以其平均值為90+=92；方差為2.8，故選B。例2為了調(diào)查某廠工人由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在的人數(shù)是.(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù).(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù).點評：在直方圖中估計中位數(shù)、平均數(shù)。變式訓(xùn)練：某醫(yī)院急診中心關(guān)于其病人等待急診的時間記錄如下：等待時間（分鐘）人數(shù)