2022-2023學(xué)年陜西省咸陽市三渠中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年陜西省咸陽市三渠中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個棱長為1的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的表面積為A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A2.設(shè)，集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.設(shè)，則復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件是（

）

A.；

B.；

C.；

D.參考答案：C4.圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A5.已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|＜2x＜4}，則集合M∩(CRN)等于（）A．{0，1，2} B．{2，3} C． D．{0，1，2，3}參考答案：B6.在一次跳傘訓(xùn)練中,甲、乙兩位學(xué)員各跳一次.設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”,q是“乙降落在指定范圍”,則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為()A.∨ B.∨ C.∧ D.∨參考答案：A7.已知，，復(fù)數(shù)，則（

）A．2

B．1

C．0

D．－2參考答案：A8.參考答案：B略9.雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的實軸為A1A2，虛軸的一個端點(diǎn)為B，若三角形A1A2B的面積為b2，則雙曲線的離心率（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的面積建立方程關(guān)系，建立a，b，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)B（0，B），則|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面積為b2，∴S==ab=b2，即a=b，則離心率e====，故選：B．10.沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(A) (B) (C) (D)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn且Sn＝2an一2n＋1，則S10＝

參考答案：921712.已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足f（4a）+f（b﹣9）=0，則的最小值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；基本不等式．【分析】根據(jù)題意，由f（x）的解析式分析f（x）與f（﹣x）的關(guān)系，可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由f（4a）+f（b﹣9）=0，分析可得4a+b=9，對于，將其變形可得=（4a+b）（）=（5++），由基本不等式的性質(zhì)分析可得的最小值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對于函數(shù)，則有=﹣=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，y=x+sinx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+cosx≥0，函數(shù)y單調(diào)遞增，又=1﹣在R上遞增，則f（x）在R上遞增，若正實數(shù)a，b滿足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9，則=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1；即的最小值為1；故答案為：1．13.在平面幾何中，有這樣一個定理：過三角形的內(nèi)心作一直線，將三角形分成的兩部分的周長比等于其面積比.請你類比寫出在立體幾何中，有關(guān)四面體的相似性質(zhì)：____________.參考答案：14.二項式的展開式中的第八項為

.參考答案：略15.若，則的定義域為_____________________.參考答案：16.已知100名學(xué)生某月飲料消費(fèi)支出情況的頻率分布直方圖如右圖所示.則這100名學(xué)生中，該月飲料消費(fèi)支出超過150元的人數(shù)是________．參考答案：【知識點(diǎn)】頻率分布直方圖I230解析：由圖知，該月飲料消費(fèi)支出超過150元的人占的比例為，所以人數(shù)為.故答案為30【思路點(diǎn)撥】求出該月飲料消費(fèi)支出超過150元的人占的比例即可.17.從甲、乙、丙、丁四人中任選兩名志愿者，則甲被選中的概率為_______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個相異極值點(diǎn)x1、x2，求證：+＞2ae．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可，（2）函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個極值點(diǎn)x1、x2，即導(dǎo)函數(shù)g′（x）有兩個不同的實數(shù)根x1、x2，對a進(jìn)行分類討論，令=t，構(gòu)造函數(shù)φ（t），利用函數(shù)φ（t）的單調(diào)性證明不等式．【解答】解：（1）x＞0，恒有f（x）≤x成立，∴xlnx﹣x2≤x恒成立，∴≥，設(shè)g（x）=，∴g′（x）=，當(dāng)g′（x）＞0時，即0＜x＜e2，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)g′（x）＜0時，即x＞e2，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）max=g（e2）=，∴≥，∴a≥，∴實數(shù)a的取值范圍為[，+∞）；（2）g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函數(shù)g（x）=f（x）﹣x有兩個極值點(diǎn)x1、x2，即g′（x）=lnx﹣ax=0有兩個不同的實根，當(dāng)a≤0時，g′（x）單調(diào)遞增，g′（x）=0不可能有兩個不同的實根；當(dāng)a＞0時，設(shè)h（x）=lnx﹣ax，∴h′（x）=，若0＜x＜時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，若x＞時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，∴h（）=﹣lna﹣1＞0，∴0＜a＜．不妨設(shè)x2＞x1＞0，∵g′（x1）=g′（x2）=0，∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），先證+＞2，即證＜，即證ln＜=（﹣）令=t，即證lnt＜（t﹣）設(shè)φ（t）=lnt﹣（t﹣），則φ′（t）=﹣＜0，函數(shù)φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴+＞2，又∵0＜a＜，∴ae＜1，∴+＞2ae．19.已知函數(shù)，（1）函數(shù)，其中k為實數(shù)，①求F'（0）的值；②對?x∈（0，1），有F（x）＞0，求k的最大值；（2）若（a為正實數(shù)），試求函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，求出符合條件的a的個數(shù)，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，減少F′（0）的值即可；②記h（x）=F'（x），求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定k的最大值即可；（2）聯(lián)立方程組，得到G（a）=8lna﹣8ln2﹣a2+8，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：（1）由得，①F'（0）=2﹣k﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②記h（x）=F'（x），則，記m（x）=h'（x），則，當(dāng)x∈（0，1）時，（i）當(dāng)k≤2時，m'（x）＞2﹣k≥0，x∈（0，1），即m（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又m（0）=0，則h'（x）＞0，x∈（0，1），即h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又F'（0）=2﹣k≥0，則F'（x）＞0，x∈（0，1）即F（x）在（0，1）上是增函數(shù)，故F（x）＞F（0）=0，x∈（0，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ii）當(dāng)k＞2時，則存在x0∈（0，1），使得m'（x）在（0，x0）小于0，即m（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，則h'（x）＜0，x∈（0，x0），即h（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，又F'（0）=2﹣k＜0，則F'（x）＜0，x∈（0，x0），又F'（0）=2﹣k＜0，即F（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，故F（x）＜F（0）=0，x∈（0，x0），矛盾！故k的最大值為2；…（2）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）在其公共點(diǎn)x=x1處存在公切線，則，由②得，即代入①得8lna﹣8ln2﹣a2+8=0，﹣﹣﹣﹣…，記G（a）=8lna﹣8ln2﹣a2+8，則，得G（a）在（0，2）上是增函數(shù)，（2，+∞）上是減函數(shù)，又，得符合條件的a的個數(shù)為2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（未證明小于0的扣2分）20.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程

（1）若a是從—4，—3，—2，—1四個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；

（2）若a是從區(qū)間[-4，-1]中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率。參考答案：21.設(shè)f（x）=|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)﹣2≤x≤3時，f（x）≤4成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若存在實數(shù)x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當(dāng)﹣2≤x≤3時，f（x）≤4成立，可得x﹣4≤a≤x+4，即可求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）存在實數(shù)x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，轉(zhuǎn)化為﹣2|a|≤2a﹣1，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)﹣2≤x≤3時，f（x）≤4成立，即|x﹣a|≤4，可得﹣4≤x﹣a≤4，∴x﹣4≤a≤x+4，∵﹣2≤x≤3，∴﹣1≤a≤2；

…（Ⅱ）∵f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤|x﹣2a|﹣|x|≤2|a|，∵存在實數(shù)x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤2a﹣1．a(chǎn)≥0時，﹣2a≤2a﹣1，解得a≥；a＜0時，2a≤2a﹣1，矛盾