湖南省長沙市明德天心中學高三數(shù)學理期末試題含解析

湖南省長沙市明德天心中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．參考答案：A2.某幾何體的三視圖（單位：）如右圖所示，其中側視圖是一個邊長為2的正三角形，則這個幾何體的體積是A.

B.

C.

D.

參考答案：B

【知識點】利用三視圖求幾何體的體積G2解析：由圖知幾何體的體積為【思路點撥】由圖還原幾何體,再利用體積公式計算.3.已知全集U＝{，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，則(?UA)∪B為（

）A．{1，2，4}

B．{2，3，4}C．{，2，4}

D．{，2，3，4}參考答案：C因為集合A＝{1，2，3}，所以?UA={-1,4}，所以(?UA)∪B={，2，4}。4.已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f—1(x)，則函數(shù)y=f—1(1－x)的圖象是

（

）

參考答案：答案：B5.若向量；則(

)

參考答案：選

6.已知函數(shù)的三個零點值分別可以作拋物線，橢圓，雙曲線離心率，則的取值范圍

(

)A. B. C. D.參考答案：D7.曲線y=x2+1在點（1，2）處的切線為l，則直線l上的任意點P與圓x2+y2+4x+3=0上的任意點Q之間的最近距離是（）A．﹣1 B．﹣1 C．﹣1 D．2參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；點到直線的距離公式．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】利用導數(shù)求出曲線y=x2+1在點（1，2）處的切線方程，化圓的一般方程為標準式，求出圓心坐標和半徑，由圓心到直線的距離減去圓的半徑得答案．【解答】解：由y=x2+1，得y′=2x，∴y′|x=1=2，∴曲線y=x2+1在點（1，2）處的切線l的方程為：y﹣2=2（x﹣1），即2x﹣y=0．又圓x2+y2+4x+3=0的標準方程為（x+2）2+y2=1．圓心坐標為（﹣2，0），半徑為1，∴圓心到直線l的距離為，則直線l上的任意點P與圓x2+y2+4x+3=0上的任意點Q之間的最近距離是．故選：A．【點評】本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了點到直線的距離公式，是中檔題．8.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2+cx+d有極值，則c的取值范圍為（）A．c＜ B．c≤ C．c≥ D．c＞參考答案：A【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】由已知中函數(shù)解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我們易求出導函數(shù)f′（x）的解析式，然后根據函數(shù)f（x）有極值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有兩個實數(shù)解，構造關于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范圍；【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有極值，則方程f′（x）=x2﹣x+c=0有兩個實數(shù)解，從而△=1﹣4c＞0，∴c＜．故選：A9.直線l：y=kx+1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，則“△OAB的面積為”是“k=”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】直線與圓；簡易邏輯．分析；根據直線和圓相交的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結論．解：若直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點，則圓心到直線距離d=，|AB|=2，若k=，則|AB|=，d=，則△OAB的面積為×=成立，即必要性成立．若△OAB的面積為，則S===，解得k=±，則k=不成立，即充分性不成立．故“△OAB的面積為”是“k=”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關系是解決本題的關鍵．10.已知，函數(shù)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象可能為參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)且是f(x)的導函數(shù)，若,，則=

.

參考答案：略12.若，則值為

參考答案：-113.某校有學生2000人，其中高三學生500人，為了解學生的身體素質情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個200人的樣本，則樣本中高三學生的人數(shù)為

．參考答案：5014.已知函數(shù)，若，則的最小值為

．參考答案：15.函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0上，則＋的最小值為________．參考答案：4函數(shù)y＝a1－x的圖像過點(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4．16.關于的二次不等式的解集為，且，則的最小值為___________.參考答案：略17.設點在橢圓的長軸上，點是橢圓上任意一點，當?shù)哪Ｗ钚r，點恰好落在橢圓的右頂點，則實數(shù)的取值范圍為________。

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2015?梅州二模）已知函數(shù)f（x）=xe﹣x（x∈R）．（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明當x＞1時，f（x）＞g（x）．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．

【專題】綜合題；導數(shù)的概念及應用．【分析】（1）求導函數(shù)，由導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求函數(shù)的極值；（2）構造函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），證明函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，即可證得結論．【解答】（1）解：求導函數(shù)，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）=0，解得x=1由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1∴函數(shù)在（﹣∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)∴函數(shù)在x=1時取得極大值f（1）=；（2）證明：由題意，g（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）ex﹣2，令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2，∴F′（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x，當x＞1時，2x﹣2＞0，∴e2x﹣2﹣1＞0，∵e﹣x，＞0，∴F′（x）＞0，∴函數(shù)F（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)∵F（1）=0，∴x＞1時，F(xiàn)（x）＞F（1）=0∴當x＞1時，f（x）＞g（x）．【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與極值，考查不等式的證明，構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調性是關鍵．19.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點，。（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）設二面角為，求與平面所成角的大小。

參考答案：20.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點，求證：為定值．參考答案：（1）因為的焦點在軸上且長軸為，故可設橢圓的方程為（），

因為點在橢圓上，所以，

解得，

（1分）所以，橢圓的方程為．

（2）設（），由已知，直線的方程是，

由（*）

設，，則、是方程（*）的兩個根，所以有，，

所以，（定值）．

所以，為定值．21.已知函數(shù).(I)當a=2時,求曲線在點處的切線方程；(II)設函數(shù),討論的單調性并判斷有無極值,有極值時求出極值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．試題分析：（Ⅰ）根據導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率,再用點斜式寫出切線方程；（Ⅱ）由,通過討論確定的單調性,再由單調性確定極值.試題解析：（Ⅰ）由題意，所以，當時，，，所以，因此，曲線在點處的切線方程是，即.（Ⅱ）因為，所以，，令，則，所以在上單調遞增，因為，所以，當時，；當時，.（1）當時，，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以當時取到極大值，極大值是，當時取到極小值，極小值是.（2）當時，，當時，，單調遞增；所以在上單調遞增，無極大值也無極小值.（3）當時，，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以當時取到極大值，極大值是；當時取到極小值，極小值是.綜上所述：當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當時，函數(shù)在上單調遞增，無極值；當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.【考點】導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的應用【名師點睛】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內的所有根；④檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內有極值,那么y＝f(x)在(a,b)內絕不是單調函數(shù),即在某區(qū)間上單調函數(shù)沒有極值．22.（15分）已知函數(shù)，其中常數(shù)。（1）若在處取得極值，求的值；（2）求的單調遞增區(qū)間；（3）已知