緒論第一章光輝燦爛的幾何文化演示文稿

緒論第一章光輝燦爛的幾何文化演示文稿目前一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點（優(yōu)選）緒論第一章光輝燦爛的幾何文化目前二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點考核方式理論知識考查與實踐能力考察相結(jié)合。課堂內(nèi)考察（聽講，參與和思考）于課堂外考察（課外作業(yè)）作為平時成績共計30%。期末考核占70%；時間形式為期末集中考試的形式進行，考試時間120分鐘，完成一套試題。目前三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點教學方式一、3人一組，以課題加習題的形式向各小組下達學習任務，以小組團隊為單位參與“初等數(shù)學研究”課程的學習。二、分幾何證明、計算、變換、作圖、解題五個研究學習板塊，三周為一個學段完成一個板塊。小組結(jié)合教材內(nèi)容研究各自的課題和習題，課堂上進行互動交流，主要介紹自己小組的研究成果，在交流的過程中，有師生的提問和評議。三、每人撰寫一篇關(guān)于初等幾何的小論文。目前四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點課題來源《中國初等數(shù)學研究》雜志《初等數(shù)學研究》作者:甘志國，圖書館有藏書目前五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點1第章光輝燦爛的幾何文化目前六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點

幾何學是一門源遠流長，多姿多彩的學科，在人類的理性文明中，它是當之無愧的老大哥。數(shù)千年來，不論在思想領(lǐng)域的突破上，在科學方法論的創(chuàng)建上，幾何學總是扮演著“開路先鋒”的角色。今天，幾何學仍然是一門方興未艾、蓬勃發(fā)展的學科，在整個數(shù)學體系中，幾何一直是一個重要的主角。

——題記目前七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點本章提綱一、幾何的發(fā)展歷史線索二、幾何學發(fā)展概述三、中學幾何的邏輯結(jié)構(gòu)四、小結(jié)目前八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點一、幾何的發(fā)展歷史線索經(jīng)驗幾何（遠古─元前600年）論證幾何（歐氏幾何）演繹化（元前600年─400年）積累了豐富的經(jīng)驗，但未上升成系統(tǒng)理論埃及幾何跟希臘邏輯方法相結(jié)合，以抽象化、邏輯化為特點非歐幾何第Ⅴ公設(shè)研究幾何基礎(chǔ)（公理幾何）對古典公理體系的完善解析幾何射影幾何微分幾何研究方法改變拓撲學哥德堡七橋問題目前九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點畫法幾何仿射幾何代數(shù)幾何解析幾何(17世紀)（坐標法）代數(shù)法代數(shù)曲線代數(shù)曲面代數(shù)族域上多胞形微分幾何(19世紀)（分析方法）張量分析微分流形、黎曼流形、復流形大范圍微分幾何射影幾何(19世紀)（綜合法、愛爾蘭根綱領(lǐng)代數(shù)法）特例應用目前十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點非歐幾何黎曼幾何（19世紀）拓撲學（幾何與代數(shù)、分析相結(jié)合，多樣化發(fā)展）點集拓撲代數(shù)拓撲解析拓撲分形幾何微分拓撲微分流形纖維叢羅巴切夫斯基幾何目前十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點1.幾何學的產(chǎn)生——無意識幾何階段幾何學和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相似的。在遠古時代(公元前5000年以前)，人們在實踐中積累了十分豐富的有關(guān)平面、直線、方、圓、長、短、寬、窄、厚、薄等概念，并且逐步認識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學的基本概念。

二、幾何學發(fā)展概述目前十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點恩格斯說：“數(shù)學是從計算時間和器皿制造中產(chǎn)生的”。計算時間產(chǎn)生了“數(shù)”，而器皿制造則產(chǎn)生了“形”。正是這些有如器皿制造等生產(chǎn)實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗性的，但是幾何學就是建立在這些零散、經(jīng)驗性的、粗淺的幾何知識之上的。目前十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點幾何學是數(shù)學中最古老的分支之一，也是在數(shù)學這個領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。古巴比倫、古埃及、古印度、中國、古希臘都是幾何學的重要發(fā)源地。在我國的史前時期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識，這有大量出土文物可以證明，目前十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點如甘肅省景泰縣張家臺（新石器時代，約公元前2000年左右）出土的彩陶罐上發(fā)現(xiàn)的大量的平行線、三角形、正方形、圓弧等。在西安半坡遺址（新石器時代）的考古過程中發(fā)現(xiàn)一些陶罐片上繪有方格、米字、回文等幾何圖案?？匆豢催h古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當時人們掌握的幾何知識是多么豐富了。目前十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點2.幾何學的初步發(fā)展——經(jīng)驗幾何階段當人們經(jīng)歷了無意識幾何的漫長的醞釀之后、初步形成了“形”的意識，進而嘗試了一些簡單的“度量”工作，同時對幾何“結(jié)構(gòu)”關(guān)系的探索也慢慢地開始了。這樣，幾何就從無意識幾何階段步入了經(jīng)驗幾何階段。目前十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點所謂經(jīng)驗幾何，就是人們通過對大量的具體幾何素材進行反復的感受和體驗，歸納、概括出較為一般的幾何關(guān)系，在實踐中對其加以驗證和檢驗，并從中挖掘和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關(guān)系的一種實驗型幾何的歷史階段。目前十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點經(jīng)驗幾何最大的好處就是它包含了很重要的思想方法——特例研究發(fā)現(xiàn)法，即對具體事例進行分析、研究和實驗，采用歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系的本質(zhì)特征，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，尋找解決問題的辦法，從而達到解決問題的目的。目前十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點但是在經(jīng)驗幾何階段，人們的思維發(fā)展水平不高限制了對一些難度較大的問題的進一步探索，被迫轉(zhuǎn)而采用實驗的方法對問題進行粗略的、近似的處理。在這些問題中，人們首要考慮的是實際應用迫切需要但理論上又暫時得不到解決的問題，比如“如何求圓的面積”，“球體體積如何計算”等等。目前十九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點林永偉先生認為：對于現(xiàn)今中小學幾何教學而言，經(jīng)驗幾何的思想方法無疑給我們提供了許多更深層次的啟示意義：經(jīng)驗幾何能夠提供學生廣闊的數(shù)學活動空間，使數(shù)學教學成為真正意義上的“數(shù)學活動的教學”。目前二十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點以經(jīng)驗幾何的活動方式對幾何問題進行探索，不僅能使學生充分體會到幾何原理的來龍去脈，加深對其本質(zhì)意義的理解，而且其過程本身就包含了豐富的內(nèi)容，體現(xiàn)一定的趣味性和吸引力，從而使提高學生學習數(shù)學的主動性；經(jīng)驗幾何中所包含的還有另一主要思想方法——不完全歸納法，而這一方法在發(fā)展學生“策略創(chuàng)造”思維方面具有獨特的效能。目前二十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點所以在幾何教學，尤其是初等幾何教學中，我們主張先從“宏觀”——生動活潑的“策略效能”出發(fā)，再以“微觀”——一絲不茍的“邏輯演繹”予以補正。目前二十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點3.由哲學而來的新幾何——論證幾何幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學科，希臘學者的工作曾起了十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較發(fā)達，一批學者熱心追求科學知識，研究幾何就是最感興趣的內(nèi)容之一。在這里應當特別關(guān)注的是古希臘著名哲學家、幾何學家柏拉圖和亞里士多德對發(fā)展幾何學的貢獻。目前二十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點論證幾何有兩大基本要素：一是幾何的基本原理——公理是否可靠，即出發(fā)點是否正確；二是邏輯推理的過程是否嚴密。古希臘的哲學為論證幾何的產(chǎn)生和發(fā)展提供了堅實的理論基礎(chǔ)和思想支柱，因為哲學研究的思想方法就是從最簡單的始點出發(fā)演繹出最復雜、最豐富的世界。另外，對理性的追求，對嚴謹?shù)目释钌钤诠畔ＥD人的心靈深處。目前二十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點事實上，古代中國的數(shù)學研究者注重的是實際問題的解決，如土地面積計算等，這也正是為什么論證幾何沒有也不可能在中國產(chǎn)生的原因。柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學的指導逐步趨向于系統(tǒng)和嚴密的方向發(fā)展。柏拉圖在雅典給他的學生講授幾何學，已經(jīng)運用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。目前二十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點亞里士多德被公認是邏輯學的創(chuàng)始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對于幾何學的發(fā)展，影響更為巨大。到今天，在初等幾何學中，更多的仍然運用三段論的形式來進行推理。但是，盡管那時候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴明理論的學科的，是古希臘杰出的數(shù)學家歐幾里得。目前二十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點歐幾里得(EuclidofAlexandria)的生平，“從生活年代來說，屬于希臘歷史上第二個大分期，即亞歷山大里亞時期。4.歐幾里得的《幾何原本》歐幾里得在公元前300年左右生活在亞歷山大里亞城并在該處授徒，這一點是很肯定的，雖然他本人的教育可能得自雅典學院。我們對歐幾里得個人的生平幾乎就只知道這點情況，而且連這點情況也還是從Proclus《評述》的一段文字中得來的?！保ㄒ奙.克萊因《古今數(shù)學思想史》65頁）。目前二十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點《幾何原本》是歐幾里得最出名的著作。它最突出的是從一些特別提出的公理、公設(shè)和定義有計劃地來論證其它命題，其次是它第一次把豐富而散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴明的讀本。正因為如此，它成為人類歷史上最作大的科學杰作。所以他的《幾何原本》一直被后世所推崇，以至于二千多年來所有初等幾何教科書以及初等幾何的論著無不以他的《幾何原本》為根據(jù)。目前二十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點目前二十九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點由于《幾何原本》有其無與倫比的歷史意義，我們有必要對其作一個基本的介紹，特別是平面幾何部分。《幾何原本》共有十三篇。（一）第一篇先給出書中第一部分的所用概念的定義，共23個。目前三十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點定義1.點是沒有部分的東西。定義2.線只有長度而沒有寬度。定義3.一線的兩端是點。定義4.直線是它上面的點一樣地平放著的線。定義5.面只有長度和寬度。定義6.面的邊緣是線。定義7.平面是它上面的線一樣地平放著的面。定義8.平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。定義9.當包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角。目前三十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點定義10.當一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角每一個被叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。定義11.大于直角的角稱為鈍角。定義12.小于直角的角稱為銳角。定義13.邊界是物體的邊緣。定義14.圖形是一個邊界或者幾個邊界所圍成的。

目前三十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點定義15.圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等。定義16.這個點（指定義15中提到的那個點）叫做圓心。定義17.圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個方向被圓截得的線段，且把圓二等分。定義18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。目前三十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點定義19.直線形是由直線圍成的.三邊形是由三條直線圍成的,四邊形是由四條直線圍成的,多邊形是由四條以上直線圍成的。定義20.在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形。定義21.此外,在三邊形中,有一個角是直角的,叫做直角三角形;有一個角是鈍角的,叫做鈍角三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形。目前三十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點定義22.在四邊形中,四邊相等且四個角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對角相等且對邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形。定義23.平行直線是在同一個平面內(nèi)向兩端無限延長不能相交的直線。目前三十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點五個公設(shè)（公設(shè)只應用于幾何）：1.從任一點到任一點作直線[是可能的]。2.把有限直線不斷循直線延長[是可能的]。3.以任一點為中心和任一距離[為半徑]作一圓[是可能的]。4.所有直角彼此相等。5.若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側(cè)的一點。第五條公設(shè)就是著名的平行公設(shè),它引發(fā)了幾何史上最著名的長達兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論,并最終誕生了非歐幾何。目前三十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點五個公理（公理是適用于一切科學的真理）：1.跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。2.等量加等量，總量仍相等。3.等量減等量，余量仍相等。4.彼此重合的東西是相等的。5.整體大于部分。目前三十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點（二）第一篇到第四篇講直邊形和圓的基本性質(zhì)．第一篇的內(nèi)容是關(guān)于全等形的一些熟知的定理，平行線，畢達哥拉斯(Pythagoras)定理，初等作圖法,等價形(有等面積的圖形)和平行四邊形．所有圖形都是直邊的,就是說都是由直線段組成的．特別值得指出的是以下幾個定理：命題1．在給定直線上作一等邊三角形．命題4.若兩個三角形的兩邊和夾角對應相等，它們就全等．目前三十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點命題5.等腰三角形兩底角相等．命題16.三角形一角的外角大于其他兩角中的任一角．命題20.任何三角形的兩邊之和必大于第三邊．命題27.若一直線與兩直線相交并使內(nèi)錯角相等，則該兩直線平行．命題29.一直線與兩平行線相交時內(nèi)錯角相等，同位角相等，且同傍內(nèi)角之和等于兩直角．目前三十九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點命題44.在給定直線上作一平行四邊形，使其一角等于已給角，而其面積等于已知三角形.命題47.直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和。這定理告訴我們怎樣作出一個正方形使其面積為所給兩正方形之和。因此這是幾何代數(shù)法的又一個例子。命題48.若三角形一邊上的正方形等于其他兩邊上的正方形之和，則其他兩邊的夾角是直角。目前四十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點

第二篇中的突出內(nèi)容是對于幾何代數(shù)法的貢獻。如：命題4．若把一線在任意一點割開，則在整個線上的正方形等于兩段上的正方形加上以兩段為邊的矩形。命題11、分割一已給直線，使整段與其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。目前四十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點第三篇含37個命題．它開頭給出有關(guān)圓的一些幾何定義，然后著手討論弦、切線、割線、圓心角及圓周角等等．這些定理大多是中學幾何里所熟知的。第四篇在它的16個命題里論述圓的內(nèi)接和外切圖形，如三角形、正方形、正五邊形和正六邊形。最后的命題講怎樣在一給定圓內(nèi)作正15邊形。目前四十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點第五篇：比例論這一篇被認為是歐幾里得幾何的最大成就。第六篇：相似形第六篇里利用第五篇的比例理論討論相似形。這里從33個定理中舉出幾個來．看看歐幾里得怎樣用幾何來處理現(xiàn)代代數(shù)里的幾個基本結(jié)果．目前四十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點命題1.等高的三角形和等高的平行四邊形[的面積]之比等于它們的底邊之比。命題4.在各角對應相等的兩個三角形里，夾等角的邊以及所等角所對的相應邊都成比例。命題5.若兩三角形的邊成比例，則兩三角形有同樣的角且此兩三角形對應邊所對之角相等。命題12.從三根已給直線求其比例第四項．目前四十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點命題13.求兩根已給直線的比例中項。命題19.相似三角形[面積]之比等于其對應邊的二次比．命題31.直角三角形斜邊上的一直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和．這是畢達哥拉斯(Pythagoras)定理的一個推廣．目前四十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點第七、八、九篇：數(shù)論這三篇講述數(shù)論，即講述關(guān)于整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)。這三篇是《幾何原本》中純粹討論算術(shù)的唯一篇章。第十篇：不可公度量的分類

《幾何原本》第十篇著手對無理量(與給定量不可公度的量)進行分類。本篇共有115個命題。其中就有我們熟悉的是無理數(shù)的證明等。目前四十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點第十一、十二、十三篇：立體幾何及窮竭法《原本》十三篇中共含467個命題．綜上可以看出，人們普遍認為歐幾里得的《幾何原本》是一本幾何學的經(jīng)典著作，其實不盡然。甚至，我們說《幾何原本》是古代所有數(shù)學成果之大成也一點不為過。在《幾何原本》出版以來到16世紀，《幾何原本》幾乎成了數(shù)學的代名詞。目前四十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點在中國，因明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》而介紹到中國，當時稱為“形學”。在1857年李善蘭、偉烈亞力再續(xù)譯了《幾何原本》后9卷。第11次印刷成翻刊本時，徐樹勛就將其改名為《續(xù)幾何》。至此，“幾何學”就被國人普遍使用。目前四十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點歐幾里得《幾何原本》的誕生標志著幾何學已成為一門有著比較嚴密的理論系統(tǒng)和科學方法的獨立學科。從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學仍然是中小學學生學習數(shù)學基礎(chǔ)知識的經(jīng)典著作。特別是公理化思想已經(jīng)成為影響幾乎所有科學學科乃至所有文化的重要思想?；蛘哒f，公理化思想是影響世界文化的重要思想之一。目前四十九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據(jù)”問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。目前五十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點5.笛卡兒和他的《幾何》一千年后，法國數(shù)學家笛卡兒（ReneDescartes，1596～1650）在其著作《方法論》（Discoursdelaméthode）的附錄《幾何》中，將“坐標”引入幾何。由此給幾何帶來了革命性的進步——實現(xiàn)了幾何問題“代數(shù)化”和代數(shù)問題“幾何化”。目前五十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點文藝復興使“理性精神”得以復蘇和發(fā)揚。歐洲學者繼承了古希臘的嚴謹?shù)倪壿嫷膸缀螌W，同時也接受了東方傳入的代數(shù)學。用數(shù)學方法描述運動成為人們關(guān)心的中心問題之一。目前五十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點笛卡兒分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學的好處，而沒有它們的缺點的方法”。他在《幾何學》卷一中，用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的距離，用坐標來描述空間上的點。他進而創(chuàng)立了解析幾何學，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。目前五十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何相互分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學的廣闊領(lǐng)域。正如恩格斯所說：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了?！蹦壳拔迨捻揬總數(shù)九十八頁\編于十八點6.球面幾何我們生活在地球上，雖然地球的局部地貌是丘陵起伏、山川縱橫，但是其全局的形狀十分接近于一個球面。遠在公元前3世紀，古希臘亞歷山大城的依茨都山尼就應用簡單的幾何知識和日光觀察，對地球的大小作了一個初步的估計，他的計算結(jié)果化為現(xiàn)代單位，地球半徑約為7270千米，比近代人造地球衛(wèi)星測得的數(shù)據(jù)6378千米僅相差15%.目前五十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點在空間，到定點的距離等于定長的點的集合，構(gòu)成一個封閉曲面——球面。專門研究球面上幾何圖形性質(zhì)和有關(guān)的數(shù)量關(guān)系的理論叫做球面幾何。球面幾何產(chǎn)生于大地測量，航海，航空等實際需要，具有重要的實用價值。近200年來，隨著幾何學與拓撲學的發(fā)展，人們把球面看作高斯曲面為正的長曲率曲面；把球面看作一類非歐幾何的代表，并且把球面幾何與拓撲學聯(lián)系起來，這樣球面幾何的研究又具有重要的理論意義。目前五十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點球面幾何與歐氏幾何相比較，有如下的特點：（1）在相對于半徑來說，很小的一片球面看起來幾乎是一片平面。（2）一個過球心的平面與球面的截線叫做該球面的一個大圓。大圓在球面幾何中扮演的角色相當于平面幾何中的直線。（3）在球面上任意兩條直線都相交，三角形的內(nèi)角和是一個變式，且大于平角。目前五十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點三角形的研究是平面幾何學的核心問題，同樣的，球面三角形(球面上連接三個頂點的大圓圓弧，每一段均小于πR/2)的研究也是球面幾何的核心問題。大約在公元16世紀，球面幾何就成為航海、天文學研究的基本工具了。2001年，中國的第八次基礎(chǔ)教育課程改革，將“球面中的幾何”作為選修系列4中的一個專題，開設(shè)這個專題的目的就是：通過比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯(lián)系，感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學模型。目前五十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點7.現(xiàn)代幾何公理體系——希爾伯特公理體系前面提到，歐幾里得《幾何原本》并不是完美無缺的，或者說其“公理體系”存在邏輯漏洞。特別是“第五公設(shè)”的“獨立性”受大家質(zhì)疑。而正是這種“質(zhì)疑”極大地推動了幾何學的發(fā)展。德國數(shù)學家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的《幾何基礎(chǔ)》一書中提出了一個更加完善的幾何學的公理體系。這個公理體系叫做希爾伯特公理體系。目前五十九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系,并且還提出了建立一個公理系統(tǒng)的原則。第一、和諧性(無矛盾性)。就是在一個公理系統(tǒng)中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。第二、獨立性。公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。第三、完備性。公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。目前六十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。目前六十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學。目前六十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。目前六十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發(fā)展帶來了深遠的影響。可以說，希爾伯特公理體系是現(xiàn)代幾何的奠基石。下面簡單地介紹一下希爾伯特公理體系。目前六十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點希爾伯特公理體系的結(jié)構(gòu)是：1.基本概念（不加定義）基本元素：點，線，面基本關(guān)系

結(jié)合關(guān)系順序關(guān)系合同關(guān)系點與直線結(jié)合，點與平面結(jié)合一點在兩點之間線段合同角合同目前六十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點公理（五組公理共20條）：結(jié)合公理：Ⅰ1-Ⅰ8順序公理：Ⅱ1-Ⅱ4合同公理：Ⅲ1-Ⅲ5連續(xù)公理：Ⅳ1-Ⅳ2平行公理：Ⅴ以上公理組滿足和諧性、獨立性、完備性。（公理詳細內(nèi)容后面介紹。）；使用公理體系時，除邏輯法則和實數(shù)理論外，不允許利用其它知識。目前六十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點希爾伯特公理體系的產(chǎn)生源于兩個方面：一個是對“第Ⅴ公設(shè)”的試證，另一個是對古典公理體系的完善。這個公理體系是希爾伯特集前人研究之大成：

1866年，霍姆霍爾茲（1821-1924）提出了“運動”的概念，為合同公理的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。1871年，康托（1845-1918）和戴德金(1831-1905)擬成了連續(xù)公理。目前六十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點帕須(1843-1931)首先給出了順序公理；皮亞諾（1858-1932）和他的學生給出了結(jié)合公理，改進了帕須的順序公理。希爾伯特（1862-1943）完成了希爾伯特公理體系，對前人的公理作了許多修正和精煉。在所有的初等幾何公理體系中，希爾伯特公理體系的概念最簡單、陳述最簡明，闖出的路子最接近歐幾里得，最受人們的歡迎。目前六十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點希爾伯特在他的名著《幾何基礎(chǔ)》中指出：“公理化就是抽象化。幾何空間叫做幾何元素的‘對象’或‘物’的集合，它們互相之間的關(guān)系滿足一定的公理要求。這樣，所謂歐幾里得空間可以看作滿足歐幾里得幾何公理的元素的集合，所謂羅巴切夫斯基空間可以看作滿足羅巴切夫斯基公理要求的元素的集合?！蹦壳傲彭揬總數(shù)九十八頁\編于十八點附錄：皮阿諾算術(shù)公理體系1.基本概念：1

基本關(guān)系：“后繼”2.公理Ⅰ：1是數(shù)（1∈N*,N*表示正整數(shù)集。）Ⅱ：數(shù)的后繼是數(shù)（若a∈N*,則a’∈N*）Ⅲ：任何兩個數(shù)的后繼都不相同（若a、b∈N*,且a’=b’，則a=b.）Ⅳ:1不是任何數(shù)的后繼（若a∈N*,a有后繼a’，則a≠1）Ⅴ：歸納公理：若兩個條件：“1∈M”及“若a∈M,a’∈M”得到滿足，則N*是M的子集。目前七十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點§1.2中學幾何的邏輯結(jié)構(gòu)在一般的中學數(shù)學教材中，大體上是按照下面的邏輯結(jié)構(gòu)，采用演繹方法展開的：原始概念的描述定義的敘述公理的敘述命題定理——推論公式目前七十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點各章節(jié)教材在具體展開時，為便于學生接受，一般都增添了便于理解教材內(nèi)容的實例，采用如下的塊狀結(jié)構(gòu)：感性材料實例、背景設(shè)置公理定義、概念引進并證明定理、公式應用舉例目前七十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點一、中學幾何對公理體系的處理方法從它的邏輯結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容上看，基本上沿用了歐氏幾何的不完善的公理系統(tǒng)。首先選定一批基本元素和一批關(guān)系（包括基本關(guān)系）作為基本概念，采用了擴大公理體系，然后以此為出發(fā)點，用邏輯方法定義有關(guān)概念，推導一系列定理，把有關(guān)的幾何知識貫穿起來。如“在內(nèi)”、“在外”、“一旁”、“之間”、“在同一側(cè)”、“在異側(cè)”等概念在中學幾何例是作為普通常識性語言使用的。目前七十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點中學平面幾何的公理之間是相容（不矛盾）的，但所選取的公理既過剩又不足，是不獨立和不完備的。其中新增了一些公理，強化了一些公理，默認(減少)了一些公理和定理?！皟牲c之間，線段最短”，“同位角相等，則兩直線平行”等都是新增的公理；而“過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行”是強化了的平行公理。教材的這種處理方案，雖然從公理系統(tǒng)來說是不夠嚴格的，有悖于公理體系的完備性和獨立性。但是，這樣做能減少初學者的困難，便于學生接受，從教學論的角度看是有積極作用的。目前七十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點附錄一：1794年勒讓德爾編寫的新幾何教材內(nèi)容：第一章一般原則，直線型；第二章圓，角之測定，作圖題；第三章相似性，面積，作圖題；第四章正多邊形，圓之度量。二、中學幾何內(nèi)容及系統(tǒng)目前七十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點附錄二：我國中學平面幾何采用擴大公理體系的直線安排，主要內(nèi)容有：（1）基本概念：幾何圖形，線段，角等；（2）直線形：相交線和平行線，三角形和四邊形，全等形和相似性，銳角三角函數(shù)，定理和證明，畫圖和作圖，幾何變換初步，面積；（3）圓：圓，直線和園，兩圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓，基本軌跡。目前七十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點附錄三：中學幾何公理體系中學幾何公理系統(tǒng)基本概念公理原始概念——“在內(nèi)”、“在外”、“一旁”、“同側(cè)”、“異側(cè)”、“長度”等基本關(guān)系運動關(guān)系——…放…，…重合…等順序關(guān)系——在……之間結(jié)合關(guān)系點在平面上點在直線上基本元素平面直線點結(jié)合公理（4條）線段公理（3條）(刻度尺公理1條，量角器公理1條)求積公理(3條)平行公理(3條)全等公理(3條)目前七十七頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點作業(yè)：1.中學幾何公理體系與希爾伯特公理體系有哪些區(qū)別？目前七十八頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點資料：高中數(shù)學課程內(nèi)容主線—幾何《普通高中數(shù)學課程標準》（2004）將高中數(shù)學分為必修課（288學時）、選修課，選修課包括選修I（52學時）和選修II（104學時）。學校根據(jù)教學實際自行安排必修課、選修課的開設(shè)。幾何仍舊是高中數(shù)學中的核心內(nèi)容,在內(nèi)容選擇上,既有以往的經(jīng)典內(nèi)容,如立體幾何、解析幾何,也有一些新增內(nèi)容,如球面上的幾何。在教材編寫的方面,注重了幾何與其它數(shù)學領(lǐng)域的結(jié)合,特別是與代數(shù)學的結(jié)合。目前七十九頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點高中幾何結(jié)構(gòu)圖目前八十頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點幾何內(nèi)容設(shè)計的思路幾何課程的設(shè)計分為兩部分。一部分是將“把握圖形”的能力作為指導思想，貫穿在整個高中數(shù)學課程的始終。另一部分是設(shè)計相應的幾何內(nèi)容。具體的內(nèi)容見下：目前八十一頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點

平面向量目前八十二頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點異面直線的距離平面三個公理三個推論空間兩條直線平行直線公理4及等角定理相交直線異面直線垂直判定與性質(zhì)異面直線所成的角空間直線與平面直線在平面內(nèi)直線與平面平行判定與性質(zhì)直線與平面相交空間兩個平面兩個平面平行距離判定與性質(zhì)兩個平面相交二面角垂直判定與性質(zhì)定義性質(zhì)面積體積公式表面上兩點間距離棱柱、棱錐球直線與平面所成的角、三垂線定理

立體幾何直線平面簡單幾何體目前八十三頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點直線直線的傾斜角和斜率直線的方程五種形式應用兩直線的位置關(guān)系兩直線垂直兩直線平行兩直線相交夾角及公式交點點到直線的距離公式兩平行直線的距離公式圓圓的方程圓與直線的位置關(guān)系圓的標準方程圓與圓的位置關(guān)系圓的一般方程相交弦圓的切線

直線與圓目前八十四頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點圓錐曲線由圓錐曲線求方程直線和方程曲線上的點對應方程的實數(shù)解曲線的交點橢圓定義標準方程幾何性質(zhì)作圖第二定義雙曲線定義標準方程幾何性質(zhì)作圖第二定義作圖拋物線定義標準方程幾何性質(zhì)統(tǒng)一定義直線與圓錐曲線的位置關(guān)系目前八十五頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點球面上的幾何

對球面上的幾何，顧名思義，討論“球面上圖形的性質(zhì)”，基礎(chǔ)教育階段已學過平面幾何，這兩種幾何有什么相同，有什么不同？球面上的幾何有什么用處？“球面上的幾何”這一專題主要就學習這些問題。目前八十六頁\總數(shù)九十八頁\編于十八點球面上的幾何目前八十七頁\總