2020-2021學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.）1．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，那么函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)為（）A． B． C． D．12．（4分）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y（t）＝3t2+4，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A．8m/s B．12m/s C．18m/s D．24m/s3．（4分）甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中間，則不同站法種數(shù)為（）A．12 B．24 C．48 D．1204．（4分）在（3x﹣2）5的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是（）A．25 B．55 C．1 D．﹣15．（4分）將5封不同的信分別投入到4個(gè)信箱中，則不同的投送方式的種數(shù)為（）A．45 B．54 C．120 D．246．（4分）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（）A．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0 B．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0 C．f′（3）＜f′（2）＜f′（1）＜0 D．f′（3）＞f′（2）＞f′（1）＞07．（4分）若從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3中任取1個(gè)數(shù)字，則可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．18 B．24 C．28 D．328．（4分）將一個(gè)邊長(zhǎng)為6（單位：m）的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，則方盒的容積最大為（）A．1m3 B．3m3 C．12m3 D．16m39．（4分）已知函數(shù)，則該函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．10．（4分）已知可導(dǎo)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且xf′（x）＞f（x），若a＞b＞0，則（）A．bf（a）＝af（b） B．bf（a）＜af（b） C．bf（a）＞af（b） D．bf（a），af（b）的大小關(guān)系不能確定二、填空題（每小題4分，共24分.）11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)在集合A＝{2，4}內(nèi)取值，縱坐標(biāo)在集合B＝{1，3}內(nèi)取值，則不同的點(diǎn)M共有個(gè)．12．（4分）在（x+）6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為．13．（4分）在（1+2x）n的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為40，則n＝．14．（4分）現(xiàn)要從抗擊疫情的5名志愿者中選3名志愿者，分別承擔(dān)“防疫宣傳講解”、“站崗執(zhí)勤”和“發(fā)放口罩”三項(xiàng)工作，其中志愿者甲不能承擔(dān)“防疫宣傳講解”工作，則不同的選法有種．（結(jié)果用數(shù)字作答）15．（4分）已知直線y＝kx﹣2是曲線y＝lnx的切線，則k的值為．16．（4分）已知函數(shù)．（1）若a＝1，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若f（x）≥ax在區(qū)間（0，e）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（共36分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.）17．（9分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+1．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．18．（6分）某學(xué)校為普及2022年北京冬奧會(huì)知識(shí)，現(xiàn)從4名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3名同學(xué)擔(dān)任宣講員．（Ⅰ）共有多少種不同選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）（Ⅱ）如果至少有1名女同學(xué)參加，且這3名同學(xué)分別在周五、周六和周日進(jìn)行宣講，那么共有多少種不同選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）19．（9分）已知函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：f（x）＞ex﹣x．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

2020-2021學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.）1．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，那么函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)為（）A． B． C． D．1【分析】根據(jù)題意，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，將x＝代入計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝sinx，則其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝cosx，則有f′（）＝cos＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，注意導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y（t）＝3t2+4，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A．8m/s B．12m/s C．18m/s D．24m/s【分析】根據(jù)題意，求出y（t）的導(dǎo)數(shù)，將t＝2代入計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，y（t）＝3t2+4，則y′（t）＝6t，在t＝2時(shí)，y′（2）＝12，即質(zhì)點(diǎn)在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為12m/s，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中間，則不同站法種數(shù)為（）A．12 B．24 C．48 D．120【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列，再將老師安排在中間，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列，有A44＝24種排法，老師必須站在中間，有1種安排方法，則有24×1＝24種站法；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）在（3x﹣2）5的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是（）A．25 B．55 C．1 D．﹣1【分析】（3x﹣2）5的展開(kāi)式中，對(duì)x賦值1，可得答案．【解答】解：（3x﹣2）5的展開(kāi)式中，令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為（3×1﹣2）5＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查賦值法的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）將5封不同的信分別投入到4個(gè)信箱中，則不同的投送方式的種數(shù)為（）A．45 B．54 C．120 D．24【分析】根據(jù)題意，分析可得每一封信有4種投送方式，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，每一封信可以放入4個(gè)信箱中任意一個(gè)，即有4種投送方式，則5封不同的信有4×4×4×4×4＝45種投送方式，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意分步與分類計(jì)數(shù)原理的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（）A．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0 B．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0 C．f′（3）＜f′（2）＜f′（1）＜0 D．f′（3）＞f′（2）＞f′（1）＞0【分析】結(jié)合函數(shù)的圖像以及導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：結(jié)合圖像，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，故f′（x）＜0，且f′（x）遞增，故f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．7．（4分）若從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3中任取1個(gè)數(shù)字，則可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．18 B．24 C．28 D．32【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①?gòu)?，2，4中任取2個(gè)數(shù)字中不含0，②從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字中含有0，求出每種情況下的三位數(shù)數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①?gòu)?，2，4中任取2個(gè)數(shù)字中不含0，其取法有1種，從1，3中任取1個(gè)數(shù)字，其取法有2種，將選出的3個(gè)數(shù)字全排列，組成三位數(shù)，有A33＝6種情況，此時(shí)有2×6＝12個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，②從0，2，4中任取2個(gè)數(shù)字中含有0，其取法有2種，從1，3中任取1個(gè)數(shù)字，其取法有2種，用選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，有A33﹣2＝4種情況，此時(shí)有2×2×4＝16個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故有12+16＝28個(gè)符合題意的三位數(shù)；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）將一個(gè)邊長(zhǎng)為6（單位：m）的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋方盒，則方盒的容積最大為（）A．1m3 B．3m3 C．12m3 D．16m3【分析】設(shè)無(wú)蓋方盒的底面邊長(zhǎng)為a，則a＝6﹣2x，則無(wú)蓋方盒的容積為：V（x）＝x（6﹣2x）2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為多少時(shí)，無(wú)蓋方盒的容積最大．【解答】解：設(shè)無(wú)蓋方盒的底面邊長(zhǎng)為a，則a＝6﹣2x，則無(wú)蓋方盒的容積為：V（x）＝x（6﹣2x）2，得V′（x）＝12x2﹣48x+36，令V′（x）＝12x2﹣48x+36＞0，解得x＜1或x＞3；令V′（x）＝12x2﹣48x+36＜0，解得1＜x＜3，∵函數(shù)V（x）的定義域?yàn)閤∈（0，3），∴函數(shù)V（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（0，1），函數(shù)V（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（1，3），令V′（x）＝12x2﹣48x+36＝0，得x＝1或x＝3（舍），求得V（1）＝16，由V（x）的單調(diào)性知，16為V（x）的最大值，故截去的小正方形的邊長(zhǎng)x為1m時(shí)，無(wú)蓋方盒的容積最大，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題．易錯(cuò)點(diǎn)是理不清數(shù)量間的相互關(guān)系，不能正確地建立方程，是中檔題．9．（4分）已知函數(shù)，則該函數(shù)的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】求出函數(shù)的定義域，利用極限思想，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用排除法進(jìn)行求解即可．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠﹣1}，排除A，當(dāng)x＜0且x→﹣∞，f（x）→0，排除D，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝＝，則當(dāng)x＞﹣1時(shí)，當(dāng)f′（x）＞0得x＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜0時(shí)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，排除C，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的定義域，極限思想研究導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．10．（4分）已知可導(dǎo)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且xf′（x）＞f（x），若a＞b＞0，則（）A．bf（a）＝af（b） B．bf（a）＜af（b） C．bf（a）＞af（b） D．bf（a），af（b）的大小關(guān)系不能確定【分析】令g（x）＝（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：令g（x）＝（x＞0），則g′（x）＝，∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，若a＞b＞0，則g（a）＞g（b），即＞，即bf（a）＞af（b），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．二、填空題（每小題4分，共24分.）11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)在集合A＝{2，4}內(nèi)取值，縱坐標(biāo)在集合B＝{1，3}內(nèi)取值，則不同的點(diǎn)M共有4個(gè)．【分析】根據(jù)題意，分析點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)在集合A＝{2，4}內(nèi)取值，有2種情況，縱坐標(biāo)在集合B＝{1，3}內(nèi)取值，有2種情況，則不同的點(diǎn)M有2×2＝4個(gè)；故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（4分）在（x+）6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為20．【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得（x+）6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：在（x+）6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為?x6﹣3?＝＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（4分）在（1+2x）n的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為40，則n＝5．【分析】依題意，可得?（2x）2＝40x2，解之即可．【解答】解：∵（1+2x）n的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為40，∴?（2x）2＝40x2，∴＝＝10，解得：n＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（4分）現(xiàn)要從抗擊疫情的5名志愿者中選3名志愿者，分別承擔(dān)“防疫宣傳講解”、“站崗執(zhí)勤”和“發(fā)放口罩”三項(xiàng)工作，其中志愿者甲不能承擔(dān)“防疫宣傳講解”工作，則不同的選法有48種．（結(jié)果用數(shù)字作答）【分析】根據(jù)題意，依次分析“防疫宣傳講解”、“站崗執(zhí)勤”和“發(fā)放口罩”三項(xiàng)工作的安排方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①對(duì)于“防疫宣傳講解”，甲不能承擔(dān)該工作，有4種情況，②對(duì)于“站崗執(zhí)勤”，在剩下4人選擇1個(gè)即可，有4種情況，③對(duì)于“發(fā)放口罩”，在剩下3人選擇1個(gè)即可，有3種情況，則有4×4×3＝48種不同的選法；故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（4分）已知直線y＝kx﹣2是曲線y＝lnx的切線，則k的值為e．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為k及切點(diǎn)在直線y＝kx﹣2上，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入曲線方程求得k值．【解答】解：由y＝lnx，得，設(shè)直線y＝kx﹣2與曲線y＝lnx相切于（m，n），則k＝，又n＝km﹣2，∴n＝k﹣2＝﹣1，即切點(diǎn)為（，﹣1），把切點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝lnx，得﹣1＝ln，則k＝e．故答案為：e．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（4分）已知函數(shù)．（1）若a＝1，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（2）若f（x）≥ax在區(qū)間（0，e）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【分析】（1）將a＝1代入，對(duì)函數(shù)f（x）兩次求導(dǎo)可知f′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，結(jié)合f′（1）＝0，可得函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減；（2）原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)h（x）＝（1﹣lnx）x2，x∈（0，e），利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，，進(jìn)而求得a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，，，∴f′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，又f′（1）＝0，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減；（2）f（x）≥ax即為，即，設(shè)h（x）＝（1﹣lnx）x2，x∈（0，e），則h′（x）＝x（1﹣2lnx），令h′（x）＝0，解得，∴當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）在上單增，在上單減，且x→0時(shí)，h（x）＞0，當(dāng)x→e時(shí)，h（x）＞0，，∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，，∴，∴，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：（1）（0，1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查不等式的恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題（共36分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.）17．（9分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+1．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．【分析】（Ⅰ）x∈R，f′（x）＝3x2﹣3，可得：f′（0），f（0），利用點(diǎn)斜式即可得出曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程．（Ⅱ）令f′（x）＝0，解得x＝﹣1，或x＝1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極值．【解答】解：（Ⅰ）x∈R，f′（x）＝3x2﹣3，則f′（0）＝﹣3，且f（0）＝1，∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y﹣1＝﹣3（x﹣0），化為：3x+y﹣1＝0．（Ⅱ）令f′（x）＝0，解得x＝﹣1，或x＝1．列表如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，f（x）有極大值，并且極大值為f（﹣1）＝3；當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）有極小值，并且極小值為f（1）＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（6分）某學(xué)校為普及2022年北京冬奧會(huì)知識(shí)，現(xiàn)從4名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3名同學(xué)擔(dān)任宣講員．（Ⅰ）共有多少種不同選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）（Ⅱ）如果至少有1名女同學(xué)參加，且這3名同學(xué)分別在周五、周六和周日進(jìn)行宣講，那么共有多少種不同選法？（結(jié)果用數(shù)字作答）【分析】（Ⅰ）由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案；（Ⅱ）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①?gòu)?名同學(xué)抽出的3名同學(xué)，要求其中至少有1名女同學(xué)，②將這3名同學(xué)分別在周五、周六、周日進(jìn)行宣講，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）所有不同選法種數(shù)，就是從6名同學(xué)中抽出3名的組合數(shù)，所以選法種數(shù)為；（Ⅱ）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①?gòu)?名同學(xué)抽出的3名同學(xué)，要求其中至少有1名女同學(xué)，包括1名女同學(xué)2名男同學(xué)和2名女同學(xué)1名男同學(xué)兩種情況，所以選法種數(shù)為，②將這3名同學(xué)分別在周五、周六、周日進(jìn)行宣講，有A33＝6種情況，則有16×6＝96種選法．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（9分）已知函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：f（x）＞ex﹣x．【分析】（Ⅰ）f′（x）＝aex+b，根據(jù)函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2，可得f′（0）＝0，f（0）＝2，解得a，b．即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）＝ex﹣x+1．要證f（x）＞ex﹣x．只需證：ex﹣x+1＞ex﹣x．即ex﹣ex+1＞0．令g（x）＝ex﹣ex+1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）＝aex+b，∵函數(shù)f（x）＝aex+bx+1在x＝0處有極值2，∴f′（0）＝a+b＝0，f（0）＝a+1＝2，解得a＝1，b＝﹣1．經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1，b＝﹣1符合題意．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，f（x）＝ex﹣x+1．要證f（x）＞ex﹣x．只需證：ex﹣x+1＞ex﹣x．即ex﹣ex+1＞0．令g（x）＝ex﹣ex+1，則g′（x）＝ex﹣e．令g′（x）＝0，解得x＝1．列表如下：x（﹣∞，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）單調(diào)遞減1單調(diào)遞增可得：x＝1時(shí)，g（x）有最小值g（1）＝e﹣e+1＝1＞0．故f（x）＞ex﹣x成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)得f′（x）＝，分a≤0與a＞0討論，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）分a＝0、a＜0、a＞0三類討論，通過(guò)研究各種情況下函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)取值情況，可求得函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）＝﹣＝，…（2分）①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（3分）②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＝0，解得x＝a．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：