第六講時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗演示文稿

第六講時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗演示文稿目前一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機變量放寬該假設(shè)：X是隨機變量，則需進一步要求：(1)X與隨機擾動項不相關(guān)∶Cov(X,)=0(2)依概率收斂：如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。目前二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，實際的時間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)的后果——

導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題目前三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性定義：假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)；

則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（stationarystochasticprocess）。目前四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

例1．一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：

Xt=t

，t~N(0,2)該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。

由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。目前五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

例2．另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（randomwalk），該序列由如下隨機過程生成：

Xt=Xt-1+t

這里，t是一個白噪聲。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)

為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知:目前六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

…

…Xt=X0+1+2+…+t

由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此:Var(Xt)=t2即Xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。目前七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點然而，對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。

后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。目前八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=Xt-1+t

不難驗證:1)||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；

2)=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的。事實上可以證明:只有當(dāng)-1<<1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的目前九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

三、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷目前十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點目前十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點進一步的判斷:檢驗樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形

定義隨機時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。實際上,對一個隨機過程只有一個實現(xiàn)（樣本），因此，只能計算樣本自相關(guān)函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。目前十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：

隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。目前十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點目前十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點可檢驗對所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下QLB統(tǒng)計量進行：

該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。

因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設(shè)。例3:下表序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機時間序列。目前十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點目前十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。目前十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。

目前十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

序列Random2是由一隨機游走過程

Xt=Xt-1+t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，t是由Random1表示的白噪聲。目前十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后1期的計算值為5.116，超過5%顯著性水平的臨界值3.84，因此,拒絕自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。

該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。目前二十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點例檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。表1978~2000年中國支出法GDP（單位：億元）

目前二十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點目前二十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

從滯后18期的QLB統(tǒng)計量看：

QLB(18)=57.18>28.86=0.052拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。目前二十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

1、DF檢驗

隨機游走序列:Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型:Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。四、平穩(wěn)性的單位根檢驗（unitroottest）目前二十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。對式：

Xt=Xt-1+t

（*）

進行回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。目前二十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

可證明，（*）式中的參數(shù)>1或=1時，時間序列是非平穩(wěn)的;

對應(yīng)于（**）式，則是>0或

=0。

因此，針對式：

Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0目前二十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量），即DF分布（見表）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。目前二十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

因此，可通過OLS法估計：

Xt=+Xt-1+t并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：目前二十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。目前二十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

問題的提出：

在利用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗無效。

2、ADF檢驗?zāi)壳叭揬總數(shù)六十一頁\編于十八點

另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的自相關(guān)隨機誤差項問題。

為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。目前三十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：目前三十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。

檢驗的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗H0：=0，即存在一單位根。目前三十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。下表給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。目前三十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計量模型

不同模型使用的ADF分布臨界值表ststat目前三十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計量模型

不同模型使用的ADF分布臨界值表statbt目前三十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

同時估計出上述三個模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設(shè)H0：=0。

1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的；

一個簡單的檢驗過程：2）當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的。

這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。目前三十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點例檢驗1978~2000年間中國支出法GDP序列的平穩(wěn)性。1）經(jīng)過嘗試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrangemultipliertest）對隨機誤差項的自相關(guān)性進行檢驗：

LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，目前三十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從的系數(shù)看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。目前三十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點

2）經(jīng)試驗，模型2中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。常數(shù)項的t統(tǒng)計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。目前四十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點3)經(jīng)試驗，模型1中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)?？蓴喽ㄖ袊С龇℅DP時間序列是非平穩(wěn)的。目前四十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)目前四十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)目前四十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗GDPP目前四十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于時間項T的t統(tǒng)計量也小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。

目前四十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗GDPP目前四十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于常數(shù)項的t統(tǒng)計量也小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。

目前四十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗GDPP目前四十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定GDPP時間序列是非平穩(wěn)的。

目前四十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗△GDPP目前五十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點從△GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于時間項項T的t統(tǒng)計量也小于AFD分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。在1%置信度下。

目前五十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點從△GDPP(-1)的參數(shù)值看，其統(tǒng)計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于常數(shù)項的t統(tǒng)計量也小于AFD分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè)。需進一步檢驗?zāi)Ｐ?。目前五十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點從△GDPP(-1)的參數(shù)值看，其統(tǒng)計量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定△GDPP時間序列是非平穩(wěn)的。

目前五十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點ADF檢驗在Eviews中的實現(xiàn)—檢驗△2GDPP目前五十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點目前五十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點目前五十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點從△2GDPP(-1)的參數(shù)值看，其統(tǒng)計量的值小于臨界值，拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定△2