第六講時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)演示文稿

第六講時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)演示文稿目前一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：(1)X與隨機(jī)擾動項(xiàng)不相關(guān)∶Cov(X,)=0(2)依概率收斂：如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。目前二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，實(shí)際的時間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)的后果——

導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題目前三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性定義：假定某個時間序列是由某一隨機(jī)過程（stochasticprocess）生成的，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)；

則稱該隨機(jī)時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationarystochasticprocess）。目前四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

例1．一個最簡單的隨機(jī)時間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：

Xt=t

，t~N(0,2)該序列常被稱為是一個白噪聲（whitenoise）。

由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。目前五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

例2．另一個簡單的隨機(jī)時間列序被稱為隨機(jī)游走（randomwalk），該序列由如下隨機(jī)過程生成：

Xt=Xt-1+t

這里，t是一個白噪聲。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)

為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知:目前六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2

…

…Xt=X0+1+2+…+t

由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此:Var(Xt)=t2即Xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。目前七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)然而，對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。

后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。目前八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)事實(shí)上，隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=Xt-1+t

不難驗(yàn)證:1)||>1時，該隨機(jī)過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；

2)=1時，是一個隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的。事實(shí)上可以證明:只有當(dāng)-1<<1時，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的目前九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)給出一個隨機(jī)時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

三、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷目前十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)目前十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)進(jìn)一步的判斷:檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形

定義隨機(jī)時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。實(shí)際上,對一個隨機(jī)過程只有一個實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。目前十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：

隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。目前十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)目前十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)可檢驗(yàn)對所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：

該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。

因此:如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設(shè)。例3:下表序列Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機(jī)時間序列。目前十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)目前十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。目前十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期的計(jì)算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。因此，該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。

目前十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

序列Random2是由一隨機(jī)游走過程

Xt=Xt-1+t生成的一隨機(jī)游走時間序列樣本。其中，t是由Random1表示的白噪聲。目前十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后1期的計(jì)算值為5.116，超過5%顯著性水平的臨界值3.84，因此,拒絕自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。

該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。目前二十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)例檢驗(yàn)中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。表1978~2000年中國支出法GDP（單位：億元）

目前二十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)目前二十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

從滯后18期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：

QLB(18)=57.18>28.86=0.052拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。目前二十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

1、DF檢驗(yàn)

隨機(jī)游走序列:Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型:Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)（unitroottest）目前二十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。對式：

Xt=Xt-1+t

（*）

進(jìn)行回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個單位根。目前二十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

可證明，（*）式中的參數(shù)>1或=1時，時間序列是非平穩(wěn)的;

對應(yīng)于（**）式，則是>0或

=0。

因此，針對式：

Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0目前二十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗(yàn)無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見表）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。目前二十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

因此，可通過OLS法估計(jì)：

Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：目前二十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。目前二十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

問題的提出：

在利用Xt=+Xt-1+t對時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。

2、ADF檢驗(yàn)?zāi)壳叭揬總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。

為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。目前三十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)是通過下面三個模型完成的：目前三十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng)。

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。目前三十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

實(shí)際檢驗(yàn)時從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時，有各自相應(yīng)的臨界值。下表給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。目前三十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計(jì)量模型

不同模型使用的ADF分布臨界值表ststat目前三十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計(jì)量模型

不同模型使用的ADF分布臨界值表statbt目前三十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

同時估計(jì)出上述三個模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。

1）只要其中有一個模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的；

一個簡單的檢驗(yàn)過程：2）當(dāng)三個模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的。

這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。目前三十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)例檢驗(yàn)1978~2000年間中國支出法GDP序列的平穩(wěn)性。1）經(jīng)過嘗試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrangemultipliertest）對隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)：

LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，目前三十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從的系數(shù)看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。目前三十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)

2）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。目前四十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)3)經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)?？蓴喽ㄖ袊С龇℅DP時間序列是非平穩(wěn)的。目前四十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)目前四十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)目前四十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP目前四十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于時間項(xiàng)T的t統(tǒng)計(jì)量也小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。

目前四十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP目前四十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量也小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。

目前四十七頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)GDPP目前四十八頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—GDPP從GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定GDPP時間序列是非平穩(wěn)的。

目前四十九頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)△GDPP目前五十頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)從△GDPP(-1)的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于時間項(xiàng)項(xiàng)T的t統(tǒng)計(jì)量也小于AFD分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。在1%置信度下。

目前五十一頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)從△GDPP(-1)的參數(shù)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。同時，由于常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量也小于AFD分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。目前五十二頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)從△GDPP(-1)的參數(shù)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定△GDPP時間序列是非平穩(wěn)的。

目前五十三頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)ADF檢驗(yàn)在Eviews中的實(shí)現(xiàn)—檢驗(yàn)△2GDPP目前五十四頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)目前五十五頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)目前五十六頁\總數(shù)六十一頁\編于十八點(diǎn)從△2GDPP(-1)的參數(shù)值看，其統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值，拒絕存在單位根的零假設(shè)。至此，可斷定△2