曲線曲面基礎

關(guān)于曲線曲面基礎第1頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月工業(yè)產(chǎn)品外形分類

一類是僅由初等解析曲面（例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等）組成，大多數(shù)機械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機械制圖的方法完全清楚表達和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類是不能由初等解析曲面組成，而以復雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機、汽車、船舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機械制圖是不能表達清楚的。自由曲線和曲面因不能由畫法幾何與機械制圖方法表達清楚，成為工程師們首要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。第3頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月曲面造型（SurfaceModeling）是計算機輔助幾何設計（ComputerAidedGeometricDesign，CAGD）和計算機圖形學的一項重要內(nèi)容，主要研究在計算機圖形系統(tǒng)的環(huán)境下對曲線曲面的表示、設計、顯示和分析。它起源于汽車、飛機、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀六十年代奠定其理論基礎。經(jīng)過三十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面（RationalB-SplineSurface）為基礎的參數(shù)化特征設計和隱式代數(shù)曲面（ImplicitAlgebraicSurface）表示這兩類方法為主體，以插值（Interpolation）、逼近（Approximation）這兩種手段為骨架的幾何理論體系。第4頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線曲面基礎-16.1認識曲線與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線曲面的參數(shù)表達6.4Bezier曲線6.5B樣條曲線6.6NURBS曲線第5頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2曲線曲面發(fā)展歷程1963年美國波音飛機公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢來定義的佛格森雙三次曲面片。1964年，美國麻省理工學院的孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。

第6頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。

u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋7第7頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條（NURBS）方法，并已成為當前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。第8頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月非均勻有理B樣條（NURBS）成為當前大多數(shù)商用CAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達技術(shù)。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor第9頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線曲面基礎-16.1認識曲線與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線曲面的參數(shù)表達6.4Bezier曲線6.5B樣條曲線6.6NURBS曲線第10頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線曲面的參數(shù)表示非參數(shù)表示有顯式和隱式之分。顯式表示如曲面方程z=f(x,y)，式中每個z值對應唯一的x、y值，該表示計算非常方便，但無法描述多值或封閉面，如球。

隱式表示如曲面f(x,y,z)=0，這種表示不便于由已知的參量x、y計算z值。-1=0第11頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線參數(shù)表示空間曲線上一點p的每個坐標被表示成參數(shù)u的函數(shù)：x=x(u),y=y(u),z=z(u)合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：p(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];P(t)=(1-t)P1+tP2

t∈[0,1];第12頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)表示優(yōu)點易于滿足幾何不變性的要求，可以對參數(shù)方程直接進行幾何變換，節(jié)省計算量。曲線曲面參數(shù)表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標系的選擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移變換時形狀保持不變。有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。例如：一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而采用二維三次曲線的參數(shù)表達式為：則有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。第13頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)表示優(yōu)點（續(xù)）易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。易于計算曲線、曲面上的點，而隱式方程需求解非線性或者超越方程。另外，求導、等距計算也被簡化。參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限制，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學公式處理幾何分量。第14頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)基本概念介紹位置矢量切矢法矢曲率、撓率插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合（fitting）。第15頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線曲面基礎-16.1認識曲線與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線曲面的參數(shù)表達6.4Bezier曲線6.5B樣條曲線6.6NURBS曲線第16頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier參數(shù)曲線上各點坐標的插值公式是：

其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)，也稱為調(diào)和函數(shù)：

第17頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月三次Bezier曲線由P0、P1、P2、P3四個控制點構(gòu)成的控制多邊形來構(gòu)造。則三次Bezier曲線表示為：此時調(diào)和函數(shù)為：

上式展開表示為：第18頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月三次Bezier曲線性質(zhì)端點性質(zhì)曲線過控制頂點的首末頂點。將u＝0和1分別代入表達式p(u)中可知p(0)=P0,p(1)=P3。

第19頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.切矢性質(zhì)

曲線在首末兩點相切于多邊形的起、止邊。對三次Bezier曲線求一階導數(shù):第20頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4.凸包性

Bezier曲線不會越出特征多邊形的頂點所圍成的凸包。3.對稱性

將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3第21頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月三次Bezier曲線實例第22頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線的計算及繪制在參數(shù)空間t∈[0,1]進行均勻插值，計算對應的坐標點，然后連接成線，這條線就是折線逼近的Bezier曲線。

第23頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月編程實現(xiàn)：

第24頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月也可寫成矩陣表達式，式中若求PX(t)的值，則取Pi的x坐標進行計算，同理求Py(t)、Pz(t)的值，具體如下：

Px(t)＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy(t)＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz(t)＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T注意：上式基函數(shù)的計算僅需一次，不必三次。Bezier曲線的繪制：例如利用上面的計算方法可分別求出t＝0.0，0.05，0.10，0.15，……，0.95，1.0時的曲線上的點，依次連接相鄰兩點為直線段，即可得近似的曲線圖形。第25頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線幾何作圖與分割特性給定參數(shù)t（t[0,1]），把定義域[0,1]分成長度為t:(1-t)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點。對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點。重復進行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點P0n即為所求曲線上的點P(t)。例如：對三次Bezier曲線（給定參數(shù)域t[0,1]）上t＝1/3的點。把定義域分成長度為1/3:(1-1/3)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是第一級遞推生成的中間頂點P01、P11、P21。對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點P02、P12。重復進行下去，直到第3級遞推得到一個中間頂點P03，即為所求曲線上的點P(t)。第26頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月這一算法隱含說明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為[0,1/3];第二段P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為[1/3,1],分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。

第27頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線拼接，

工程實際中存在許多復雜形狀的曲線或曲面．不可能用一條Bezier曲線擬合出復雜的曲線，但可采用分段Bezier曲線經(jīng)拼接后擬合實際中存在的復雜曲線。工程應用中，希望各段曲線在連接處光滑，即切矢連續(xù)(一階幾何連續(xù))或曲率連續(xù)(二階幾何連續(xù))。這里僅討論切矢連續(xù)的問題。第28頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月，

下圖所示為兩段三次Bezier曲線的一階連續(xù)拼接：Q1’由圖中可以看出，Q1’的移動只要滿足共線要求即可滿足二曲線的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)）。而不需滿足P’(1)＝Q’(0)（即一階導數(shù)連續(xù)）。也就是說一階幾何連續(xù)比一階導數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達的優(yōu)勢之一。第29頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線的不足Bezier曲線的不足：一是特征多邊形頂點數(shù)決定了Bezier曲線的階次，并且當n很大時，特征多邊形對曲線形狀的控制將會減弱。二是Bezier曲線不能作局部修改，改變某一控制點將波及整條曲線。其原因是調(diào)和函數(shù)Bi,n(t)在整個區(qū)間內(nèi)均不為零。

三是繪制復雜曲線需要拼接，比較繁瑣。因此發(fā)展了B樣條曲線1972年Gordon等人拓展了Bezier曲線，用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進了Bezier特征多邊形與Bernstein多項式次數(shù)有關(guān)、且整體逼近的弱點。第30頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線曲面基礎-16.1認識曲線與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線曲面的參數(shù)表達6.4Bezier曲線6.5B樣條曲線6.6NURBS曲線第31頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線n+1個控制點Pi(i=0,1,…,n)構(gòu)成特征多邊形的頂點，k+1階(k次)B樣條曲線的表達式是：其中Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為：第32頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月un+k+1u0u1un+k式中：U=[u0,u1,……,un+k,un+k+1]稱為B樣條基函數(shù)的節(jié)點向量，ui為節(jié)點值，且應滿足ui

ui＋1，即節(jié)點值應滿足有序遞增（允許有重節(jié)點）。第33頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線由于B樣條曲線比較復雜，為分析的方便性，本文先以均勻三次B樣條為例進行分析，其節(jié)點矢量等距分布(即ui＋1－ui＝常數(shù))。前面的B樣條基函數(shù)可展開為：空間n+1個控制頂點Pi（i=0，1，……，n）可構(gòu)造n－2段三次（k＝3，四階）均勻B樣條曲線段，每相鄰四個點可定義一曲線段Pi(u)，（i=1，……

，n－2）。式中u＝[0,1]第34頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月如任意四個頂點Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作為特征多邊形構(gòu)造的均勻三次B樣條曲線段的方程Pi(u)可表達式為：式中：u∈[0,1]第35頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線的程序?qū)崿F(xiàn)第36頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線的幾何意義由前面可導出如下公式：()()()()()3i2i1ii1i3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p+++++++++-=-=++=&&&

(1)曲線起點位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線的1/6處。

(2)起點的切矢與Pi+2Pi平行，模為||Pi+2-Pi||/2。

(3)起點的二階導矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線方向。

(4)曲線段末點的情形與上述三點類似，只是向前推移一個頂點。第37頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由前面的推導可知，第一段曲線的末點與第二曲線的首點滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)。依次類推，各曲線段的末點與下一個曲線段的首點均滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)，這是B樣條曲線的優(yōu)勢之一。因此采用B樣條曲線直接能夠構(gòu)造光滑的復雜曲線。Pi＋4Pi＋5第38頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線的幾何作圖

根據(jù)B樣條曲線起點和終點的位置、起點和終點的切矢方向即可近似的幾何作圖。四點共線二重頂點三重頂點第39頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線性質(zhì)1.對稱性

將控制頂點反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7第40頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.凸包性

即B樣條曲線不越出特征多邊形頂點所圍成的凸包（如圖中陰影所示）。Pi＋4Pi＋5第41頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線具有局部性質(zhì)。對均勻三次B樣條曲線任意段修改時，只被相鄰的三個頂點控制，與其它的控制點無關(guān)。換句話說，每段k次B樣條曲線只涉及k＋1個基函數(shù)，并由k＋1個頂點所定義。

如圖，當修改P5時，只影響P2至P8之間的四條樣條段(A至B)，對其它段則不產(chǎn)生影響。這一特點對曲線的設計和修改非常有利。

第42頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)性均勻三次B樣條曲線段連接處具有二階連續(xù)性。一般來說，k次B樣條曲線具有k－1階函數(shù)連續(xù)性。由前面的作圖過程可知，當出現(xiàn)重復控制頂點時，曲線幾何連續(xù)性可能下降（但函數(shù)導數(shù)仍連續(xù)），甚至產(chǎn)生尖點。當節(jié)點矢量出現(xiàn)重復節(jié)點時，在其重節(jié)點處曲線連續(xù)性將逐次下降。如當在P2處為二重節(jié)點時，連接處為一階連續(xù)，而當P2為三重節(jié)點時，導數(shù)不連續(xù)，此時將出現(xiàn)尖點。5.造型的靈活性性質(zhì)4的特點說明，只要靈活選用控制點的位置和節(jié)點的重復數(shù)，可以獲得特殊要求的曲線段。第43頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線的拼接第44頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線的反算由：得：第45頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月對于開曲線，則首末點邊界切矢可由用戶隨意交互給定對于封閉曲線，則首末的位置相同，且邊界切矢方向相同邊界條件補充時應注意：第47頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線與Bezier曲線的比較1、Bezier曲線的基函數(shù)的次數(shù)等于控制頂點數(shù)減一，而B樣條曲線的基函數(shù)的次數(shù)與控制點數(shù)無關(guān)，即可用任意多的控制點來擬合三次均勻B樣條曲線。原因是B樣條曲線是分段擬合的，這樣構(gòu)造復雜曲線更方便。2、Bezier曲線的起點和終點正好是控制多邊形的首末控制點，控制形狀直觀方便。而B樣條曲線不經(jīng)過控制多邊形頂點。第48頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月3、為使B樣條曲線經(jīng)過控制多邊形首末控制頂點，使之具有Bezier類似的優(yōu)點。實際應用中常引入準均勻B樣條，即在節(jié)點矢量中兩端節(jié)點具有k＋1個重復度。例如：當控制點數(shù)n＝7，次數(shù)k＝3的準均勻三次B樣條曲線的節(jié)點矢量可定義為u＝[0，0，0，0，1，2，3，3，3，3]。第49頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4、若三次B樣條曲線n＝4，k＝3的節(jié)點矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線。

因此，可以說Bezier曲線僅是B樣條曲線的特例，也就是說B樣條表達能力完全覆蓋了Bezier表達。第50頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2