廣東省江門市百合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省江門市百合中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.由曲線與直線圍成的封閉圖形的面積A．24

B．36

C．42

D．48

參考答案：B2.右圖是某程序的流程圖，則其輸出結(jié)果為A. B.C. D.參考答案：C略3.設(shè)全集U＝R，，，則A．

B.

C.

D.參考答案：D略4.某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項(xiàng)能力（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點(diǎn)A表示甲的創(chuàng)造力指標(biāo)值為4，點(diǎn)B表示乙的空間能力指標(biāo)值為3，則下面敘述正確的是（

）A．乙的記憶能力優(yōu)于甲的記憶能力B．乙的創(chuàng)造力優(yōu)于觀察能力C．甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大能力中記憶能力最差參考答案：C由圖示易知甲的記憶能力指標(biāo)值為，乙的記憶能力指標(biāo)值為4，所以甲的記憶能力優(yōu)于乙，故排除；同理，乙的觀察能力優(yōu)于創(chuàng)造力，故排除；甲的六大能力中推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指標(biāo)值的平均值為，乙的六大能力指標(biāo)值的平均值為，所以甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙，故選.5.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以x的非負(fù)半軸為始邊作兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A,B，已知A的橫坐標(biāo)為，B的縱坐標(biāo)為，則（

）（A） （B） （C）

（D）參考答案：D考點(diǎn)：三角函數(shù)的基本關(guān)系式；二倍角公式；兩角和的正弦公式.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的基本關(guān)系式；二倍角公式；兩角和的正弦公式.利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：(1)角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)縱坐標(biāo)；(3)該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)．6.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）（A）

（B）

(C)

(D)參考答案：D略7.已知集合，若，則為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.關(guān)于函數(shù)f(x)＝，有下列四個(gè)命題：①其最小正周期為π；②其圖象由y＝2sin3x向左平移個(gè)單位而得到；③其表達(dá)式可寫成f(x)＝④在x∈上為單調(diào)遞增函數(shù)．則其中真命題為

A．①③④

B．②③④

C．①②④

D．①②③參考答案：A9.設(shè)實(shí)數(shù)滿足

，則的最小值是

參考答案：A10.已知點(diǎn)P為雙曲線=1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且|F1F2|=，I為三角形PF1F2的內(nèi)心，若S=S+λS△成立，則λ的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的邊長(zhǎng)和r表示出等式中的三角形的面積，解此等式求出λ．【解答】解：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，S△IPF1=|PF1|?r，S△IPF2=|PF2|?r，S△IF1F2=?2c?r=cr，由題意得：|PF1|?r=|PF2|?r+λcr，故λ==，∵|F1F2|=，∴=∴∴=故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合A=,函數(shù)，若,且,則的取值范圍是_________．參考答案：12.若直線與曲線恰有四個(gè)公共點(diǎn)，則的取值集合是____參考答案：13.正三角形中是上的點(diǎn)，，則_________.參考答案：1414.給出下列命題：①已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則；②若不等式對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

③不等式的解集是④如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則為銳角三角形，為鈍角三角形.其中真命題的序號(hào)是（將所有真命題的序號(hào)都填上）參考答案：124

略15.若，則圓恒過定點(diǎn)

．參考答案：(0,1)(－2,1)16.命題“若都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是_________

參考答案：答案：若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)17.已知集合A={0，1，2}，則A的子集的個(gè)數(shù)為

．參考答案：8【考點(diǎn)】子集與真子集．【分析】由集合A中的元素有3個(gè)，把n=3代入集合的子集的公式2n中，即可計(jì)算出集合A子集的個(gè)數(shù)．【解答】解：由集合A中的元素有0，1，2共3個(gè)，代入公式得：23=8，則集合A的子集有：{0，1，2}，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，?共8個(gè)．故答案為：8．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，這些人要參加社區(qū)服務(wù)工作.從這些人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳工作，另外4人負(fù)責(zé)衛(wèi)生服務(wù)工作.（Ⅰ）設(shè)M為事件；“負(fù)責(zé)文明宣傳工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M發(fā)生的概率；（Ⅱ）設(shè)X表示參加文明宣傳工作的女志愿者人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）從8人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳的基本事件的總數(shù)為，事件M包含基本事件的個(gè)數(shù)為，利用古典概型的計(jì)算公式，即可求解．（Ⅱ）由題意，得到隨機(jī)變量X可取的值，求得相應(yīng)的概率，得出相應(yīng)的分布列，利用期望的公式，即可求解．【詳解】（Ⅰ）從8人中隨機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)文明宣傳的基本事件的總數(shù)為，事件M包含基本事件的個(gè)數(shù)為，則.（Ⅱ）由題意知X可取的值為：0，1，2，3.則，，因此X的分布列為X0123P

的數(shù)學(xué)期望是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，以及隨機(jī)變量的分布列及期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，得出隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率得到分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．

19.已知三點(diǎn)A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1），P為平面ABC上的一點(diǎn)，=λ+μ，且?=0，?=3．（1）求?；（2）求λ+μ的值．參考答案：【分析】（1）求出的坐標(biāo)，代入向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算數(shù)量積；（2）用λ，μ表示出的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積公式列方程組求出λ+μ．【解答】解：（1）=（2，1），=（1，2），∴=2×1+1×2=4．（2）=λ+μ=（2λ+μ，λ+2μ），∵，∴，即，兩式相加得：9λ+9μ=3，∴λ+μ=．20.如圖所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且，，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.參考答案：(1)見解析(2)試題分析：（1）（方法一）過E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可證明EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得,所以，因此,從而得；（2）（方法一）在圖1中，過O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF，因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在圖2中，平面BFC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BEF的法向量，又,由得其中一個(gè)，設(shè)二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）證明：（方法一）過E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,從而，所以.（2）（方法一）在圖1中，過O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF.因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值為.（方法二）在圖2中，平面BFC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BEF的法向量，又,由得其中一個(gè)，設(shè)二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值為.考點(diǎn)：1.線面垂直的判定；2.二面角.21.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）寫出的最小正周期及圖中、的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：22.已知圓O：x2+y2=4和圓C：x2+（y﹣4）2=1．（Ⅰ）判斷圓O和圓C的位置關(guān)系；（Ⅱ）過圓C的圓心C作圓O的切線l，求切線l的方程；（Ⅲ）過圓C的圓心C作動(dòng)直線m交圓O于A，B兩點(diǎn)．試問：在以AB為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】直線與圓．【分析】（Ⅰ）求出兩圓的半徑和圓心距，由此能判斷兩圓的位置關(guān)系．（Ⅱ）設(shè)切線l的方程為：y=kx+4，由圓心O到直線l的距離等于半徑，能求出切線l的方程．（Ⅲ）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m經(jīng)過圓O的圓心O，由此得到圓O是滿足題意的圓；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此求出存在以AB為直徑的圓P滿足題意．從而能求出在以AB為直徑的所有圓中，存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閳AO的圓心O（0，0），半徑r1=2，圓C的圓心C（0，4），半徑r2=1，所以圓O和圓C的圓心距|OC|=|4﹣0|＞r1+r2=3，所以圓O與圓C相離．…（Ⅱ）設(shè)切線l的方程為：y=kx+4，即kx﹣y+4=0，所以O(shè)到l的距離，解得．所以切線l的方程為或…（Ⅲ）?。┊?dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m經(jīng)過圓O的圓心O，此時(shí)直線m與圓O的交點(diǎn)為A（0，2），B（0，﹣2），AB即為圓O的直徑，而點(diǎn)M（2，0）在圓O上，即圓O也是滿足題意的圓…ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有…①…由①得，…②，…③若存在以AB為直徑的圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），則MA⊥MB，所以，因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即x1