平面向量知識點(diǎn)與考點(diǎn)精(經(jīng)典)

平面向量知識點(diǎn)與考點(diǎn)精(經(jīng)典)平面向量知識點(diǎn)與考點(diǎn)精(經(jīng)典)/NUMPAGES3333/33平面向量知識點(diǎn)與考點(diǎn)精(經(jīng)典)平面向量知識點(diǎn)與考點(diǎn)精(經(jīng)典)平面向量知識點(diǎn)與2013考點(diǎn)精講知識網(wǎng)絡(luò)向量的概念向量的概念向量的運(yùn)算向量的運(yùn)用向量的加、減法實(shí)數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)運(yùn)算物理學(xué)中的運(yùn)用幾何中的運(yùn)用兩向量平行的充要條件兩向量垂直的充要條件向量的夾角向量的模兩點(diǎn)間的距離

第1講向量的概念與線性運(yùn)算★知識梳理★1．平面向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的____長度_____表示向量的大小，用_____箭頭所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.特別提醒：模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或||.零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2．向量的線性運(yùn)算1.向量的加法：（1）定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.如圖，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b特殊情況：對于零向量與任一向量a，有aaa（2）法則：____三角形法則_______，_____平行四邊形法則______（3）運(yùn)算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______2.向量的減法：（1）定義：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a,=b,則=ab即ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量注意：表示ab強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(-b)顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一a∥b∥cab=a+(b)ab3.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，規(guī)定：|λa|=|λ||a|.當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時，λa=0.（2）運(yùn)算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.特別提醒：向量的加、減及其與實(shí)數(shù)的積的結(jié)果仍是向量。重要定理：向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.向量★重難點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：理解向量及與向量相關(guān)的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則．2.難點(diǎn)：掌握向量加法的交換律、結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量化簡與計(jì)算．3.重難點(diǎn)：.問題1:相等向量與平行向量的區(qū)別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區(qū)別答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。問題3：對于兩個向量平行的充要條件：a∥ba=λb，只有b≠0才是正確的.而當(dāng)b=0時，a∥b是a=λb的必要不充分條件.問題4；向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段

【新題導(dǎo)練】題型1.概念判析[例1]判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向(2)若(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同(6)若，，則；(7)若，，則(8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9)的充要條件是且；[解題思路]：正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明。解析：解：(1)不正確，零向量方向任意,(2)不正確，說明模相等,還有方向(3)不正確，單位向量的模為1,方向很多(4)不正確，有向線段是向量的一種表示形式(5)正確，（6）正確，向量相等有傳遞性（7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8)不正確,如圖（9）不正確，當(dāng)，且方向相反時，即使，也不能得到；【名師指引】對于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相關(guān)命題?？键c(diǎn)一：向量及與向量相關(guān)的基本概念1.【2012高考浙江文7】設(shè)a，b是兩個非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥bB.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λaD.若存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命題意圖】本題考查的是平面向量，主要考查向量加法運(yùn)算，向量的共線含義，向量的垂直關(guān)系。【解析】利用排除法可得選項(xiàng)C是正確的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb．如選項(xiàng)A：|a＋b|＝|a|－|b|時，a，b可為異向的共線向量；選項(xiàng)B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，a，b可為同向的共線向量，此時顯然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．2.【2012高考四川文7】設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（）A、且B、C、D、【答案】Ｄ[解析]若使成立，則選項(xiàng)中只有D能保證，故選D.[點(diǎn)評]本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學(xué)習(xí)向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.考點(diǎn)二:向量的加、減法【指引】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識．在求解時需將雜亂的向量運(yùn)算式有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯律．題型2:結(jié)合圖型考查向量加、減法3.(2009)在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是()A．B．C．D．[解題思路]：本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中．為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施求解．BCAP5-1-2【解析】由BCAP5-1-2即,所以點(diǎn)是邊上的第二個三等分點(diǎn),如圖所示.故．【名師指引】三角形中兩邊對應(yīng)向量已知，可求第三邊所對應(yīng)的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞錯．當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)式運(yùn)算時，其運(yùn)算過程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行．4．如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點(diǎn)，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE解析：eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=－3a+2b，ABCDE因D、E為eq\o(AB,\s\up6(→))的兩個三等分點(diǎn)，故eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=－a＋b=eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))=3a－a＋b=2a＋b，eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))=2a＋b－a＋b=a＋b．考點(diǎn)三:向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義題型1:三點(diǎn)共線問題[例4]設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值[解題思路]：證明存在實(shí)數(shù)，使得解析：,使得【指引】1、逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個向量拆成兩個向量的和，一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識．2、這是一個重要結(jié)論，要牢記。題型2:用向量法解決幾何問題基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定在同一條直線上。 （ ）（2）所有的單位向量都相等。 （ ）（3）向量共線，共線，則共線。 （ ）（4）向量共線，則 （ ）（5）向量，則。 （ ）（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。 （ ）2.在四邊形ABCD中，“EQ\o(AB,\s\up5(→))＝2\o(DC,\s\up5(→))”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件3．已知向量，若向量共線，則下列關(guān)系一定成立的是（）A、B、C、D、或4．．D、E、F分別是△ABC的BC、CA、AB上的中點(diǎn)，且，，給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)是（）①②③④A、1B、2C、3D、5．已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（）A、A，B，C三點(diǎn)共線B、A，B，D三點(diǎn)共線C、C，A，D三點(diǎn)共線D、B，C，D三點(diǎn)共線6．若則向量的關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．不確定ABABCD綜合拔高訓(xùn)練7．如圖，已知，用表示，則（）A． B．C． D．答案：B解析：8．已知+=，-=，用、表示=。答案：9．已知，且，試求t關(guān)于k的函數(shù)。答案:10．如圖，在△OAB中，，，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)，，（1）試用和表示向量（2）在線段AC上取一點(diǎn)E，線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)，。求證：。

第2講平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示★知識梳理★1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個_____不共線_____不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的__任一__向量，有且只有_一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2特別提醒：(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量2．平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，，，特別提醒：設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，，則=，=兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差（2）若，，則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)（3）若和實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)4．向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是★重難點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：（1）了解平面向量基本定理及其意義,了解基底和兩個非零向量夾角的概念,會進(jìn)行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；2.難點(diǎn)：用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件,能用向量的坐標(biāo)形式判斷兩向量以及三點(diǎn)是否共線.3.重難點(diǎn)：（1）平行的情況有方向相同和方向相反兩種問題1：和=(3,－4)平行的單位向量是_________；錯解：因?yàn)榈哪５扔?，所以與平行的單位向量就是，即(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因?yàn)榈哪５扔?，所以與平行的單位向量是，即(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))或(－EQ\F(3,5)，EQ\F(4,5))★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)一:平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算1.【2012高考廣東文3】若向量，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】選

第3講平面向量的數(shù)量積★知識梳理★1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作＝，＝，則_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角.特別提醒：向量與向量要共起點(diǎn)。2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos__叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos特別提醒：（０≤θ≤π）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個非零向量，是與同向的單位向量==||cos；=0當(dāng)與同向時，=||||；當(dāng)與反向時，=||||特別的=||2或cos=；||≤||||3．“投影”的概念：如圖定義：_____|b|cos_______叫做向量b在a方向上的投影特別提醒：投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為0；當(dāng)=0時投影為|b|；當(dāng)=180時投影為|b|4．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：=數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()分配律：(+)=+5．平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量，，設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以6.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么：7.向量垂直的判定：設(shè)，，則 8.兩向量夾角的余弦（）cos=★重難點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；2.難點(diǎn)：掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題3.重難點(diǎn)：.(1)向量數(shù)量積與向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別問題1:兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量。例：規(guī)定，·=·=0(不是零向量，注意與λ=(λ∈R)區(qū)別)（2）向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)相關(guān)概念的區(qū)別問題2:表示方法的區(qū)別數(shù)量積的記號是，不能寫成，也不能寫成(所以有時把數(shù)量積稱為“點(diǎn)乘”，記號另外有定義，稱為“叉乘”)．問題3:相關(guān)概念及運(yùn)算的區(qū)別⑴若a、b為實(shí)數(shù)，且a·b=0，則有a=0或b=0，但·=0卻不能得出=或=．因?yàn)橹灰途陀小?0，而不必=或=．⑵若a、b、c∈R，且a≠0，則由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0卻不能推出=．因若、夾角為θ1，、夾角為θ2，則由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(見圖)．⑶若a、b、c∈R，則a(bc)=(ab)c(結(jié)合律)成立，但對于向量、、，則(·)·與·(·)都是無意義的，這是因?yàn)椤づc·是數(shù)量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒有點(diǎn)乘定義的．同時，(·)≠(·)，這是因?yàn)閿?shù)量·與向量相乘是與共線的向量，而數(shù)量·與向量相乘則是與共線的向量，所以一般二者是不等的．這就是說，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．⑷若a、b∈R，則|a·b|=|a|·|b|，但對于向量、，卻有|·|≤||·||，等號當(dāng)且僅當(dāng)∥時成立．這是因?yàn)閨·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【名師指引】是一個常用的結(jié)論。例1.【2012高考全國文9】中，邊的高為，若，，，，，則（A）（B）（C）（D）【答案】D考點(diǎn)二利用數(shù)量積處理夾角的范圍題型1：求夾角及其范圍例2【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），則（Ⅰ）與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________；（Ⅱ）向量b-3a與向量a夾角的余弦值為____________?！敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由，得.設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標(biāo)為.（Ⅱ）由，得.設(shè)向量與向量的夾角為，則.【點(diǎn)評】本題考查單位向量的概念，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積等.與某向量同向的單位向量一般只有1個，但與某向量共線的單位向量一般有2個，它包含同向與反向兩種.不要把兩個概念弄混淆了.今年需注意平面向量基本定理，基本概念以及創(chuàng)新性問題的考查.

第4講平面向量的應(yīng)用★知識梳理★利用向量處理幾何問題的步驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；SFSFα2.平面向量在物理中的應(yīng)用如圖5-4-3所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα.重要不等式：特別提醒：常用于求參數(shù)的范圍★重難點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題,如確定力或速度的大小以及方向.2.難點(diǎn)：加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高分析問題，解決問題的能力3.重難點(diǎn)：.1熟悉向量的性質(zhì)及運(yùn)算律；2能根據(jù)向量性質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造向量；3熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4熟練向量求解的坐標(biāo)化思路5認(rèn)識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；6認(rèn)識向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用意識★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)一：平面向量在平面幾何題型1.用向量證明幾何題[例1]已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線求證AC⊥BD[解題思路]：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件解析：證法一：∵＝＋，＝－，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝O∴⊥證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）則由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c2－a2－b2＝O∴⊥即AC⊥BD【名師指引】如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來一定的方便通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用。【新題導(dǎo)練】1．證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.[解析]設(shè)=b，=a，則=+=b+a,=b+a∵A,G,D共線，B,G,E共線ABCEFDABCEFDG則=λ=λ(b+a)=λb+λa,=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵即：b+(μb+μa)=λb+λa∴(μλ)a+(μλ+)b=0∵a,b不平行，∴2．已知，若動點(diǎn)滿足，求動點(diǎn)P的軌跡方程.[解析]由已知得，化簡得,這就是動點(diǎn)P的軌跡方程.考點(diǎn)二:平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的綜合應(yīng)有用題型1:與函數(shù)綜合題例3【2012高考陜西文7】設(shè)向量=（1.）與=（-1，2）垂直，則等于（）ABC.0D.-1【答案】C.【解析】∵向量與垂直，∴，即，∴．∴．故選C．考點(diǎn)三:平面向量在物理中的應(yīng)用題型1:用向量解決物理問題[例4]設(shè)炮彈被以初速v0和仰角拋出（空氣阻力忽略不計(jì)）.當(dāng)初速度v0的大小一定時，發(fā)射角多大時，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn).[解題思路]：上述問題中涉及速度等物理量，可根據(jù)平面向量的基本定理和物理問題的需要，把v0分解為水平方向和豎直方向兩個不共線的向量，再利用運(yùn)動學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，最后利用向量的知識求解.解析：將v0分解為水平方向和豎直方向兩個分速度v1和v2，則|v1|=|v0|cos,|v2|=|v0|sin,由物理學(xué)知識可知，炮彈在水平方向飛行的距離S=|v1|·t=|v0|cos·t（t是飛行時間）①炮彈在垂直方向的位移是0=|v2|·t-gt2（g是重力加速度）②由②得t=,③代入①得=由于|v0|一定，所以當(dāng)=45°時，S有最大值.故發(fā)射角=45°時，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn).[例5]某人騎車以每小時公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正東方向吹來，而當(dāng)速度為2時，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向.[解題