遼寧省丹東市錦山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

遼寧省丹東市錦山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=xn+1（n∈N*）的圖象與直線x=1交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值為（） A．﹣1 B． 1﹣log20142013 C． ﹣log20142013 D． 1參考答案：A2.已知邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕，將折成直二面角，則過，，，四點(diǎn)的球的表面積為（

）A．3π B．4π C．5π D．6π參考答案：C3.設(shè)集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，則A∪B=(

)A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}參考答案：B【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根據(jù)集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故選B．【點(diǎn)評】本題考查集合的并集的定義及其運(yùn)算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意并集中相同的元素只寫一個．4.若，則下列不等式中成立的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C5.點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD內(nèi)部運(yùn)動，則點(diǎn)P到此正方形中心點(diǎn)的距離均不超過的概率為()A.

B.

C.

D．π參考答案：C6.設(shè)向量=（1.）與=（-1，2）垂直，則等于（

）A

B

C.0

D.-17.參考答案：C.

，故選C.7.已知函數(shù),定義函數(shù)給出下列命題:①;②函數(shù)是奇函數(shù);③當(dāng)時,若,,總有成立,其中所有正確命題的序號是（）A．② B．①② C．③ D．②③參考答案：D8.已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，則M∩N=（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，4}D．?參考答案：A考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：由M與N，求出兩集合的交集即可．解答：解：∵M(jìn)={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}．故選：A．點(diǎn)評：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．9.等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，,則的虛軸為（

）A.

B.

C.4

D.8參考答案：B10.讀兩段程序：

對甲、乙程序和輸出結(jié)果判斷正確的是（

）A.程序不同，結(jié)果不同

B.程序不同，結(jié)果相同C.程序相同，結(jié)果不同

D.程序相同，結(jié)果相同參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線經(jīng)過點(diǎn)，且，則當(dāng)

時，取得最小值．參考答案：由直線經(jīng)過點(diǎn)，得，即，所以．又由，得，即．由柯西不等式，得，由此可得．等號成立的條件為且，即，，，所以．故填．【解題探究】本題考查柯西不等式在求解三元條件最值上的應(yīng)用．先由直線過定點(diǎn)可得，然后再思考系數(shù)的匹配，構(gòu)造柯西不等式的形式，可求出的最小值，最后由柯西不等式等號成立求出，，，可得的值．12.已知非零向量，，滿足||=||=||，＜＞=，則的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】設(shè)，=，則=．非零向量，，滿足||=||=||，可得△OAB是等邊三角形．設(shè)=，則=，=．由＜＞=，可得點(diǎn)C在△ABC的外接圓上，則當(dāng)OC為△ABC的外接圓的直徑時，取得最大值．【解答】解：設(shè)，=，則=．∵非零向量，，滿足||=||=||，∴△OAB是等邊三角形．設(shè)=，則=，=．∵＜＞=，∴點(diǎn)C在△ABC的外接圓上，則當(dāng)OC為△ABC的外接圓的直徑時，取得最大值==．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的三角形法則、等邊三角形的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知向量，設(shè)向，則

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。參考答案：-14.設(shè)x，y滿足約束條件，若x2+9y2≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為

．參考答案：【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=x2+9y2，則z＞0，即=1，則對應(yīng)的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由圖象知當(dāng)直線x+y=1與橢圓相切時，z最小，將y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，則判別式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值為，則a≤，則a的最大值為，故答案為：15.已知正態(tài)分布的密度曲線是，給出以下四個命題：①對任意，成立；②如果隨機(jī)變量服從，且，那么是R上的增函數(shù)；③如果隨機(jī)變量服從，那么的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；④隨機(jī)變量服從，，，則；其中，真命題的序號是

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．（寫出所有真命題序號）參考答案：①②④16.古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家怕普斯(Pappus,約300~約350)在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個定理:“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”如圖，半圓O的直徑AB=6cm，點(diǎn)D是該半圓弧的中點(diǎn)，那么運(yùn)用帕普斯的上述定理可以求得，半圓弧與直徑所圍成的半圓面(陰影部分個含邊界)的重心G位于對稱軸OD上，且滿足OG=

．參考答案：17.已知菱形ABCD邊長為2，，點(diǎn)P滿足=λ，λ∈R，若=﹣3，則λ的值為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】用，表示出，列出方程解出λ．【解答】解：∵=λ，∴=﹣=（λ﹣1）．∴=﹣=（λ﹣1）﹣．∵==．∴=[（λ﹣1）﹣]?（）=（1﹣λ）﹣+λ=﹣3．∵，=2×=﹣2．∴4（1﹣λ）﹣4﹣2λ=﹣3．解得．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相同的單位長度，已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求|PM|的值．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）消去參數(shù)t得直線l的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求出M，P的直角坐標(biāo)，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得直線l的普通方程為x﹣y+3=0…（2分）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，…（3分）所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2=2y．…（2）由，消去y得x2﹣2x﹣6=0…（6分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB的中點(diǎn)．因?yàn)閤1+x2=2，∴M（1，4）…（8分）又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，1），…（9分）所以…（10分）【點(diǎn)評】本題考查了直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.（本題滿分14分）已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)直線的傾斜角為時，求的長；（2）求的內(nèi)切圓的面積的最大值，并求出當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積取最大值時直線的方程.參考答案：20.等腰△ABC的底邊，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動點(diǎn)．點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB．現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．（Ⅰ）證明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P﹣ACFE的體積，求V（x）的最值．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可證明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P﹣ACFE的體積，求出底面面積，可得體積，即可求V（x）的最值．【解答】（Ⅰ）證明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，而AB∩PE=E，所以EF⊥平面PAE．（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE為四棱錐P﹣ACFE的高．由高線CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴，由題意知∴=．而PE=EB=x，∴，∴當(dāng)x=6時V（x）max=V（6）=．21.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)，得，即化簡，的又，.

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

……12分22.已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、．（Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個實(shí)數(shù)，，使得不等式成立，求的最大值．參考答案：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，，∴切線的方程為：，又切線過點(diǎn)，有，即，

（1）同理，由切線也過點(diǎn)，得．（2）由（1）、（2），可得是方程的兩根，

（*），把（*）式代入,得,因此，函數(shù)的表達(dá)