《數(shù)學分析》第二章-極限數(shù)列

第二章數(shù)列極限§2.1數(shù)列極限的概念§2.2收斂數(shù)列的性質§2.3

數(shù)列極限存在的條件§2.1數(shù)列極限的概念一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、應用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法一、概念的引入引例

1如何用漸近的方法求圓的面積S？

用圓內接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1

A2

A3

A1表示圓內接正6邊形面積,A2表示圓內接正12邊形面積,A3表示圓內接正24邊形面積,An表示圓內接正62n-1邊形面積,

,

.

顯然n越大,An越接近于S.

因此,需要考慮當n時,An的變化趨勢.2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義例如注意：1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列極限來自實踐，它有豐富的實際背景.我們的祖先很早就對數(shù)列進行了研究，早在戰(zhàn)國時期就有了極限的概念

例1戰(zhàn)國時代哲學家莊周所著的《莊子.天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！币簿褪钦f一根一尺長的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以一直無限制的進行下去。將每天截后的木棒排成一列,如圖所示,三、數(shù)列的極限（c11(k)）其長度組成的數(shù)列為

,024681000.20.40.60.81隨著n無限的增加,木棒的長度無限的趨近于零。

數(shù)列極限的演示數(shù)列極限的演示●●數(shù)列極限的演示數(shù)列極限的演示●●●●●●●●●●●●●●●●目標不惟一?。。。。。。。。。。?！例如

當n無限增大時,如果數(shù)列{xn}的一般項xn無限接近于常數(shù)a,

則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為數(shù)列極限的通俗定義三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問題:當

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:當n無限增大時,

xn無限接近于a

.當n無限增大時,|xn-a|無限接近于0.

當n無限增大時,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析

因此,如果

n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當n無限增大時,

xn無限接近于常數(shù)a.

當n無限增大時,如果數(shù)列{xn}的一般項xn無限接近于常數(shù)a,

則數(shù)列{xn}收斂a.

下頁>>>數(shù)列極限的精確定義

設{xn}為一數(shù)列

如果存在常數(shù)a

對于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當n>N

時

不等式|xna|<e

總成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限

或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

記為

如果不存在這樣的常數(shù)a

就說數(shù)列{xn}沒有極限

0,NN

當nN時

有|xna|.極限定義的簡記形式如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中注①定義1習慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標ε和N刻畫了極限的實質，用|xn－a|＜ε定量地刻畫了xn

與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：10，正數(shù)ε，20，正數(shù)N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn

逼近a時要經歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現(xiàn)），但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現(xiàn)）。

③定義中的N是一個特定的項數(shù)，與給定的ε有關。重要的是它的存在性，它是在ε相對固定后才能確定的，且由|xn－a|＜ε來選定，一般說來，ε越小，N越大，但須注意，對于一個固定的ε，合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗證xn

以a為極限時，關鍵在于設法由給定的ε，求出一個相應的N，使當n

＞N時，不等式|xn－a|＜ε成立。在證明極限時ε，n，N之間的邏輯關系如下圖所示|xn－a|＜εn

＞

N④定義中的不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）是指下面一串不等式都成立，而對則不要求它們一定成立數(shù)列極限的幾何意義使得N項以后的所有項都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個點這就表明數(shù)列xn所對應的點列除了前面有限個點外都能凝聚在點a的任意小鄰域內，同時也表明數(shù)列xn中的項到一定程度時變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂”。OK!N找到了??！n>N目的：NO,有些點在條形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●數(shù)列極限的演示N數(shù)列極限的演示e越來越小，N越來越大！數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：分析:

例1

證明

下頁

0,NN

當nN時

有|xna|.利用定義驗證數(shù)列極限，有時遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考慮，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單的不等式去尋找項數(shù)指標N放大的原則：

①放大后的式子較簡單

②放大后的式子以0為極限例

2證明證明則當n

＞N時，有例3.證明分析，要使（為簡化，限定n只要證.當n>N時有由定義

適當予先限定n＞n。是允許的！但最后取N時要保證n＞n。.

例4.證明（K為正實數(shù)）證：由于所以對任意ε＞0，取N=,當n＞N時,便有例5證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結:用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給定

尋找N,但不必要求最小的N.例6證例7證由上面數(shù)列極限的證明可總結出數(shù)列極限證明的步驟：2適當放大

，通常放大成

的形式，求出需要的

1

化簡

3解

總結用定義求極限或證明極限的關鍵是適當放大不等式，關鍵的追求有兩點，一是把隱性表達式變成顯性表達式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過份。四收斂的否定:

＞數(shù)列發(fā)散

＞＞＞五數(shù)列極限的記註:1滿足條件“”的數(shù)列:。2

改變或去掉數(shù)列的有限項,不影響數(shù)列的收斂性和極限.

重排不改變數(shù)列斂散性:3數(shù)列極限的等價定義:

對

對任正整數(shù)六無窮小數(shù)列:

定義極限為0的數(shù)列稱為無窮小量（無窮小量是指一個極限概念，趨向常數(shù)0）

命題1.的極限為n<=>是無窮小量.

變量有極限的充要條件為它可分解為加一個無窮小量。命題2無窮小量加絕對值仍為無窮小量。

命題3無窮小量與有界變量的積仍為無窮小量。命題4小結

(1),數(shù)列極限的定義;

(2),數(shù)列極限的幾何意義;

(3),應用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法.作業(yè)

P27:1,2,3,5.§2.2收斂數(shù)列的性質1、唯一性2、有界性3、保號性4、保不等式性5、四則運算6、迫斂性7、子數(shù)列的收斂性1、唯一性定理2.2每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.2、有界性例如,有界無界定理2.3收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.例1證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內.3保序性從而

定理2.6(收斂數(shù)列的保號性)

如果數(shù)列{xn}收斂于a,且a0(或a0)

那么存在正整數(shù)N

當nN時有xn0(或xn0)推論如果數(shù)列{xn}從某項起有xn0(或xn0)

且數(shù)列{xn}收斂于a

那么a0(或a0)4保號性

這說明若數(shù)列收斂且極限不為零，則當n充分大時，與0的距離不能任意小.這一事實在后面討論極限的四則運算時會用到.證5迫斂性(雙逼原理)上兩式同時成立,上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限例1解由夾逼定理得6絕對值收斂性:

(注意反之不成立

).

推論

設數(shù)列{}和{}收斂,則

7數(shù)列極限的四則運算法則定理2.8

設有數(shù)列{xn}和{yn}

如果那么例4求例4求解：分a=1，

|a|<1，|a|>1

三種情況

解：（分子有理化）例3求8、子數(shù)列的收斂性注意：例如，定理7收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．證證畢．例4對于數(shù)列xn

證此時有此時有總之：恒有Th(數(shù)列收斂充要條件){}收斂

{Th(數(shù)列收斂充要條件){}收斂

子列{}和{收斂于同一極限.}的任何子列收斂于同一極限.}Th(數(shù)列收斂充要條件){}收斂

子列{}、{}都收斂.和{思考題證明要使只要使從而由得取當時，必有成立思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為小結

(1),唯一性;

(2),有界性;

(3),保號性;

作業(yè)

P33:1,2,3,4,6.

(4),四則運算法則;

(5),不等式性;

(6),收斂數(shù)列與其子列的關系.§2.3數(shù)列極限存在的條件

一數(shù)列收斂的一個充分條件——單調有界原理

二數(shù)列收斂的充要條件——Cauchy收斂準則三關于極限

四數(shù)列單調有界證法欣賞

一單調有界原理定義稱為單調上升的，若稱為單調下降的，若

單調增加和單調減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列

提問:

收斂的數(shù)列是否一定有界？

有界的數(shù)列是否一定收斂？M定理1(單調有界定理)

單調有界數(shù)列必有極限

定理1的幾何解釋x1

x5

x4

x3

x2

xn

A

以單調增加數(shù)列為例

數(shù)列的點只可能向右一個方向移動

或者無限向右移動

或者無限趨近于某一定點A

而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件定理1(單調有界定理)

單調有界數(shù)列必有極限

證明

例1設證明數(shù)列{}收斂.例2

例3

(n重根號),···證明數(shù)列單調有界,并求極限.求(計算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到對有有↘···,例4

1）證明序列的極限存在；2）求極限解

1）因時有所以即有這表明序列有下界。又故序列下降。因此序列極限存在，記極限值為c。于是或2）因所以又即得例2證(舍去)二數(shù)列收斂的充要條件——Cauchy收斂準則1